九年级数学相似多边形浙教版.doc

相似多边形
教学目标
1．知识目标：掌握相似多边形的定义以及相似比，会判断两个多边形是否是相似多边形.
2．能力目标：通过探索图形的边、角关系，培养学生的观察能力，分析判断能力.
3．情感目标：通过观察分析，培养学生的数学猜想能力和创造力.
教学重点
判断两个多边形是否相似
教学难点
推导相似多边形的定义的过程
教学方法
教师指导，学生探索法
教学过程
1．创设情境，自然引入
上课时，老师经常用幻灯片，下图中的两个多边形分别是幻灯片上的多边形ABCDEF和银幕上的多边形A1B1C1D1E1F1，它们的形状相同吗？

（1）在上图的两个多边形中，是否有相等的内角？设法验证你的猜测.
（2）在上图的两个多边形中，相等内角的两边是否成比例？
在上图中，六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1是形状相同的图形，其中∠A与∠A1，∠B与∠B1，∠C与∠C1，∠D与∠D1，∠E与∠E1，∠F与∠F1分别对应相等，称为对应角，AB与A1B1，BC与B1C1，CD与C1D1，DE与D1E1，EF与E1F1，FA与F1A1的比都相等，称为对应边.
2．设问质疑，探究尝试
从上可知，幻灯片上的六边形与银幕上的六边形形状相同，只是大小不同，它们的对应角相等、对应边成比例.那么，形状相同的多边形是都有这种关系呢，还是只有六边形才有呢？下面我们继续进行探讨.
例1．下列每组图形形状相同，它们的对应角有怎样的关系呢？对应边呢？
（1）正三角形ABC与正三角形DEF；
（2）正方形ABCD与正方形EFGH.
解：（1）由于正三角形每个角都等于60°，所以
∠A=∠D=60°，∠B=∠E=60°,∠C=∠F=60°
由于正三角形三边相等，所以
.
（2）由于正方形的每个角都是直角，所以
∠A=∠E=90°，∠B=∠F=90°，
∠C=∠G=90°，∠D=∠H=90°.
由于正方形四边相等，所以

对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形（similar polygons）.相似多边形对应边的比叫做相似比（similarity ratio）.
相似多边形的表示：六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似.记作六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1，其中AB∶A1B1等于相似比.
在记两个多边形相似时，要注意把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.
如果两个多边形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例.
3．变式训练，巩固提高
（1）观察下面两组图形，①中的两个图形相似吗？为什么？②中的两个图形呢？与同伴交流.

（2）如果两个多边形不相似，那么它们的各角可能对应相等吗？它们的各边可能对应成比例吗？
（3）一块长3 m，宽1.5 m的矩形黑板如图所示，镶在其
外围的木质边框宽7.5 cm.边框的内外边缘所成的矩形相似吗？
为什么？请大家交流后回答.

（4）正多边形是指各边都相等，各角都相等的多边形，所有的边数相同的正多边形都相似吗？
答案：
（1）①中的两个图形不相似.因为相似形需要满足两个条件，一个是对应角相等，一个是对应边成比例，虽然①中的两个图形对应边成比例，但对应角不相等,所以两个图形不相似.②中的两个图形也不相似.因为它们的对应边不成比例，所以两个图形不相似.
（2）如果两个多边形不相似，那么它们的对应角也可能都相等，如②中的两个图形；如果两个多边形不相似，那么它们的对应边也可能成比例，如①中的两个图形对应边成比例，但对应角不相等.
（3）不相似.内边缘的矩形长为300 cm，宽为150 cm，外边缘的矩形长为315 cm，宽为165 cm，因为≠，所以内外边缘所成的矩形不相似.
（4）相似，因为各角都相等，各边都相等，所以在两个图形中满足对应角相等、对应边成比例，因此这两个正多边形相似.
4．总结串联，纳入系统
通过对相似多边形满足的条件的研究，从而推导出相似多边形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形（similar polygons）.相似多边形对应边的比叫做相似比（similarity ratio），并能根据定义判断某些图形是否为相似多边形.

教学检测
一、请你选一选
1．下列结论不正确的是( )
A.所有的矩形都相似 B.所有的正方形都相似
C.所有的等腰直角三角形都相似 D.所有的正八边形都相似
2．五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，若对应边AB与A′B′的长分别为50厘米和40厘米，则五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE的相似比是( )
A.5∶4 B.4∶5 C.5∶2 D.2∶5
3．如果一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是( )
A.2∶1 B.4∶1 C.∶1 D.1∶
二、请你填一填
1．所有的黄金矩形都是________.
2．两个相似多边形的对应边的比是，则这两个多边形的相似比是________.
3．两个相似多边形的相似比是，则这两个多边形的对应对角线的比是________.
4．在菱形ABCD和菱形A′B′C′D′中，∠A=∠A′=60°，若AB∶A′B′=1∶，则BD∶A′C′=________.
5．以下五个命题：①所有的正方形都相似 ②所有的矩形都相似 ③所有的三角形都相似 ④所有的等腰直角三角形都相似 ⑤所有的正五边形都相似.
其中正确的命题有_______.
三、请你来判断
判断下列每组中的两个图形是相似多边形吗？并说明理由.
1．两个大小不等的矩形；
2．两个大小不等的正五边形；
3．一个正方形与一个平行四边形；
4．两个大小不等的菱形.
四、请你来解答
1．如下图，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB=1.求矩形ABCD的面积.

2．如下图①②,等腰梯形ABCD与等腰梯形A′B′C′D′相似,∠A′=65°,A′B′=6 cm, AB=8 cm, AD=5 cm,试求梯形ABCD的各角的度数与A′D′、B′C′的长.

3．如下图，将一张长、宽之比为的矩形纸ABCD依次不断对折，可以得到矩形纸BCFE，AEML，GMFH，LGPN.

（1）矩形ABCD、BCFE、AEML、GMFH、LGPN长与宽的比改变了吗？
（2）在这些矩形中，有成比例的线段吗？
（3）你认为这些大小不同的矩形相似吗？

参 考 答 案

一、请你选一选
1．A 2．B 3．C
二、请你填一填
1．相似形 2． 3． 4．1∶3 5．①④⑤
三、请你来判断
1．两个大小不等的矩形不一定相似，虽然它们的对应角相等，都是直角，但它们的对应边不一定成比例.
2．两个大小不等的正五边形是相似多边形，因为它们的对应角相等，对应边成比例.
3．一个正方形与一个平行四边形不相似，因为平行四边形的四个角不相等，四条边也不相等，所以对应角不相等，对应边也不成比例.
4．两个大小不等的菱形不一定相似.因为菱形的边长相等，两个菱形满足对应边成比例，但对应角不一定相等，所以不一定相似.
四．请你来解答
1．由矩形ABCD∽矩形EABF可得，
设AE=x，则BC=2x，
又AB=1，
所以，
S矩形ABCD=2x·1=
2．解：∵等腰梯形ABCD与A′B′C′D′相似，∠A′=65°
∴∠A=65°,∠B=65°
∠D=∠C=180°－65°=115°
又,
∴,
∴A′D′=cm
∴B′C′=A′D′=cm
3．解：（1）矩形ABCD、BCFE、AEML、GMFH、LGPN长与宽的比不改变.
设纸的宽为a，长为a，则
BC=a，BE=a
AE=a，ME=
MF=，HF=a
LG=a，LN=
∴=a∶a=
= a∶=
∶
a∶=
所以五个矩形的长与宽的比不改变.
（2）在这些矩形中有成比例的线段.
（3）这些大小不同的矩形都相似.