山东省枣庄第四十二中学九年级中考数学《一元二次方程》复习课教案北师大版.doc

山东省枣庄第四十二中学九年级中考数学复习课《一元二次方程》教案北师大版
中考要求：
1.了解一元二次方程的概念，并会用直接开平方法、因式分解法、公式法和配方法解一元二次方程；
2.了解一元二次方程根的判别式，并会用其判断根的情况；
3.了解根与系数的关系；
4.会列一元二次方程解实际问题．
教学目标：

教学重点：
会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程．
教学难点：
解题分析能力的提高．
教学准备：
多媒体课件、《新课程初中复习指导丛书——数学》、“知识梳理”纸
教法学法：
教法分析：引导学生自主探索，合作交流，归纳总结．
学法分析：在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流的研讨式学习方式．
教学过程：
一、课题引入，明确要求
师：同学们，今天这节课我们来对“一元二次方程”的相关知识进行复习（板书课题）．首先我们来看一下在中考中对这一部分的知识的考试要求．
课件出示：
中考要求：
1.了解一元二次方程的概念，并会用直接开平方法、因式分解法、公式法和配方法解一元二次方程；
2.了解一元二次方程根的判别式，并会用其判断根的情况；
3.了解根与系数的关系；
4.会列一元二次方程解实际问题．
师：看完这些“中考要求”同学们感觉怎么样？
生1：我们在学习这一章的时候，这些都是我们重点学习的内容．
生2：这些内容我都有印象．
师：仅仅有印象是不够的．我们进行第一轮复习的目的就是使“课本知识系统化，解题思路经验化、思想方法渗透化”．下面我们就正式进入对“一元二次方程”的复习．
设计意图：使学生明确复习的方向．
二、知识梳理，整体感知
师：我们丛书上版面有限，有一些基础知识没有一一呈现，现在请同学们利用“知识梳理纸”，对这部分内容进行整体回顾，遇到问题还是老办法：①查阅九年级下册数学课本第二章②小组讨论③寻求“数学活字典”——老师的帮助．5分钟后我们共同进行梳理．
学生开始知识梳理．
知识梳理纸：（注：含横线的部分需要学生来填写）
一元二次方程
1．一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：
2．一元二次方程的解法：
⑴ 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；④化原方程为(x+m）2=n的形式；⑤如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解．
⑵ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是(b2－4ac≥0)
⑶ 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．
3、一元二次方程根的三种情况：
（1）一元二次方程的根的判别式Δ=．
Δ>0时，方程有两个不相等的实数根．
Δ=0时，方程有两个相等的实数根．
Δ<0时，方程没有实数根．
以上定理也可以逆向应用．在应用判别式之前，要把方程化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值．
注意：①根的判别式是指Δ=，不是Δ=，
②使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般形式．
（2）根的判别式有以下应用：
①不解一元二次方程，判断根的情况．
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围．
③证明字母系数方程有实数根或无实数根．
注意：
①如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时≥0，切勿丢掉等号．
②根的判别式的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0.
4、一元二次方程根与系数的关系：
对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；．
处理方式：学生整理基础知识的基础上，师生共同梳理，构建本章知识的结构．梳理完毕，安排学生将“知识梳理纸”贴在《复习丛书——数学》的第22页上．
活动效果：基于对学生两年来的不间断训练，绝大分学生可以对本章的主要内容以及注意点详细地总结出来，只是呈现形式略微不同.但也有少数同学只是泛泛地停留在书本上的定义、黑体字上，对于更深入的内容总结不到位，这部分同学在教学中往往也是需要特别关注的同学，需要我们教师从各方面来激发他们对数学学习的兴趣.
设计意图：学生在整理本章知识结构的同时，可以回顾本章的重点内容，细细体会解一元二次方程的“转化”思想，找寻利用方程解决实际问题的关键.老师可以利用这一环节观察学生对这一部分的知识的掌握情况，以确定下一阶段需要重点强调的知识点和重点关注的学生．
三、典例探究，发散思维：
师：通过以上的复习回顾，我们对“一元二次方程”的有关知识有了整体的认识，下面我们结合具体的题目再来积累一下解题经验．
课件出示：

师：请同学们先来独立完成这两道题目，一会儿找同学来说一下思路．
生思考题目，并将过程写在在练习本上．
处理方式：教师提问学生回答这两题的答案和解题思路，在学生回答的时候，教师适时的点名题目的考点，如果学生分析不到位的地方，教师做出点评．
生1：答案为．根据方程根的定义，将代入方程，得到关于为指数系数m的方程为4+2m-6=0，解这个方程得到m=1.此时原方程为．运用公式法（或者配方法、因式分解法均可）求出它的两个根为．所以方程的另一个根为．

生2：本题的答案是2012．欲求的值，先把代入一元二次方程，得出，可求得再由根与系数的关系，求得，代入数值计算即可：．
师：本题的考点是根与系数的关系以及一元二次方程的解．此题主要考查了根与系数的关系，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．
（二）知识考点二：一元二次方程的解法：
(2012山东省临沂市）用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ）
A. B. C. D.
处理方式：学生独立完成后师生共同讲评．
生3：解：

所以答案选D.
师：本题的考点是一元二次方程的解法——配方法．解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值，难度适中．
（三）知识考点三：一元二次方程的应用：
1.(2012山东德州中考)若关于x的方程有实数解，那么实数a的取值范围是_____________．
变式练习：
（2012湖北襄阳）如果关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k＜ B．k＜且k≠0 C．－≤k＜ D．－≤k＜且k≠0
处理方式：学生先独立解题，如有困难可在小组内讨论．师巡视并适时的做出指导，然后组织讲评．
生1：由题意，△=≥0，解得a≥-1
师：本题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程根的情况有３种：当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△>0时， 方程有两个不相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根．
生2：解：由题意，得解得－≤k＜且k≠0．所以选择D．
师：解决此题需要从三方面综合考虑，一是由“一元二次方程”知k≠0，二是由二次根式的意义知2k＋1≥0，三是由原方程有两个不相等的实数根知()2－4k＞0，三者缺一不可．同时，本题也是一道易错题，同学们千万不要会忽视这一符号条件，否则会造成错选．
设计意图：上述这一组题目主要目的是巩固对一元二次方程定义的理解、熟练地解一元二次方程.其中，第一组题，加深学生对一元二次方程和一元一次方程定义的理解；第二组题是对学生一元二次方程的解法的检验，让学生熟练方程的解法.；第三组题是一元二次方程的应用，让学生关注了方程中的易错点，对于今后的学习也作了部分铺垫.
四、问题情境，合作学习
师：一元二次方程有关的实际问题有很多，但概括起来主要有三种题型：利润问题、周长一定的面积问题、道路设计问题．下面我们以这三题为例，再来回顾一下这三类题目的解法．
课件出示：
1.（2012山东莱芜）为落实“两免一补”政策，某市2011年投入教育经费2500万元，预计2013年要投入教育经费3600万元，已知2011年至2013年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2012年要投入的教育经费为 万元．
2．（2012•湘潭）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．
3.(2013中考预测题)如图，在宽为20 m、长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为草坪，要使草坪的面积为540 m2，求道路的宽．

第2题 第3题
处理方式：生在练习本上完成以上三道题目，师安排三名学生进行板书，之后师生共同讲评．
生1：解：设2011年至2013年的教育经费的年平均增长的百分率为x,根据题意得：

解得20%，（舍去），
所以，2012年要投入的教育经费为3000万元
师：本题考查了用一元二次方程解增长率问题，考察了一元二次方程的解法，以及根据实际问题选择适当的解.这类方法的解题思路是固定的，同学要作为解题经验积累起来．
生2：解：设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m．根据题意可得，
x（50﹣2x）=300，
解得：x1=10，x2=15，
当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，
故x1=10（不合题意舍去），
所以，可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形．
师：本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙MN最长可利用25m，舍掉不符合题意的数据．
生3：解：设道路的宽为x m，根据题意得，
(20－x)(32－x)＝540，
∴x2－52x＋100＝0，
∴x1＝2，x2＝50(不合题意，舍去)
所以道路的宽为2m．
师：解这类题目同学们要记住一句话：道路变化多端，思路基本不变．（万变不离其宗）
设计思路：让学生熟悉一元二次方程应用中的几种主要模型，明确解决各类问题的关键是找寻题目中蕴含的等量关系；另外，这几种问题情景也是在二次函数中频繁出现的实际问题，若在此处有一个良好的基础，势必会对学习二次函数的学习起到事半功倍的效果．
五、综合检测
一、选择题(每小题6分，共30分)
1.下列方程中，是一元二次方程的是( )
①2x2－3x=1+x2 ②y2=2 ③ +x2－3=0 ④1+x2=1－xy
A．① B．①④ C．①② D．②③④
2.(2012山东日照)已知关于x的一元二次方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A.k>且k≠2 B.k≥且k≠2 C.k >且k≠2 D.k≥且k≠2
3.（2012广东湛江）湛江市2009年平均房价为每平方米4000元．连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米5500元，设这两年平均房价年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．5500（1+x）2=4000 B．5500（1﹣x）2=4000
C．4000（1﹣x）2=5500 D．4000（1+x）2=5500
二、填空题(每小题6分，共24分)
4.（2012山东省滨州）方程x（x﹣2）=x的根是 ．
5.(2012山东日照)已知x1、x2是方程2x2+14x－16=0的两实数根，那么的值为 .
6.（2012年福建福州质量检查）已知x＝－1是一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则m2－2mn＋n2的值为_____________．
三、解答题(共46分)
7.(2012四川省南充市) 关于x的一元二次方程的两个实数根分别为.
（1）求m的取值范围；
（2）若，求m的值.
8.（2012江苏省无锡市）某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20％的价格进行回购．投资者可在以下两种购铺方案中作出选择：
方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可获得的租金为商铺标价的10％.
方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可获得的租金为商铺标价的10％，但要缴纳租金的10％作为管理费用．
（1）请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？（注：％）
（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？
处理方式：学生独立完成后，教师进行批改，针对出现错误比较集中的地方进行集体讲评，个别问题单独指出．
参考答案：
1.解析：选C.根据一元二次方程的定义知①②正确.
2．解析：由△=(2k+1)2-4(k-2)2×1=20k-16>0，得k >，又(k-2)2≠0，故k≠2，所以k >且k≠2.所以选C．
3．解析：设年平均增长率为x，那么2010年的房价为：4000（1+x），2011年的房价为：4000（1+x）2=5500．故选：D．
4．解析：原方程可化为x（x﹣2）﹣x=0，x（x﹣2﹣1）=0，x=0或x﹣3=0，解得：x1=0，x2=3．
答案：x1=0，x2=3．
点评：本题考查解一元二次方程的方法-因式分解法．用提公因式法分解因式是解方程比较简单的方法，属于简单题此题．
5.解析：由根与系数的关系，得x1+x2=-7，x1x2=-8，所以=
===-．
解答：填-．
点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是运用乘法公式把所给式子变形用x1+x2，x1x2表示出来.
6.解析：因为x＝－1是一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一个根，所以，即，又因为，将代入原式，原式=1.
7.解析：（1）因为一元二次方程有两个实数根，所以△≥0，从而解出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系，可以用含有m的代数式所表示出及，代入即可求出m的值．
答案：解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴，
解之，得：.
（2）由韦达定理，得：，
∴，
解之，得：.
点评：本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用．需要注意的是当题中没有明确两根是否相等时，应两种可能都要考虑，即△≥0．
8.解析：（1）本题以实际问题背景，在两个方案中进行比较，应设商铺标价为x万元，根据不同方案的计算方法，用x表示出各自方案下的投资收益，进一步根据％求出两种方案下的投资收益率．（2）根据5年后两人获得的收益将相差5万元，列出方程求出各自的投资额．
答案：解:（1）设商铺标价为x万元，若按方案一购买，则可获投资收益
（120％－1）·x+x·10％×5=0.7x,投资收益率为×100％=70％.若按方案二购买，则可获投资收益（120％－0.85）·x+x·10％×（1－10％）×3=0.62x, 投资收益率为×100％≈72.9％，∴投资者选择方案二所获得的投资收益率更高．
（2）由题意得0.7x－0.62x=5，解得x=62.5, ∴甲投资了62.5万元，乙投资了53.125万元．
点评：本题解决的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，表示出各自方案下的投资收益，进而求出对应的投资收益率．根据等量关系列出方程，解出方程的解．让学生认识到学习数学可以解决实际问题的价值所在．
设计意图：对本节知识进行巩固练习.通过对这些题目的具体分析，学生再次经历在实际问题中抽象出一元二次方程的过程，发展他们分析问题、解决问题的意识和能力，也为下学期二次函数的学习奠定一定的基础，体现了教材螺旋式上升的设计意图．
六、课时小结，回顾整理
师：同学们看这是“一元二次方程”的知识结构图，同学们结合这个图，同位之间互相说一下通过本节课的复习，你有什么收获．
丰富的问题情景
一元二次方程
相关概念
解法
一元二次方程在实际生活中的应用
配方法
公式法
分解因式法
分解因式法
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式
学生活动．
课件出示：

学生谈完收获后，师引导学生注意以下几点：
⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x的方程（k2－1）x2+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．
⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a、b、c的值；③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解．
⑶ 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）．
⑷ 注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．
（5）构建一元二次方程数学模型：一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型，通过审题弄清具体问题中的数量关系，是构建数学模型，解决实际问题的关键．
（6）注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．
设计思路：关注学生对数学知识的理解、数学方法的掌握和数学情感的感悟，力争使每个层次的学生在本节课学有所获.
七、布置作业
必做题：《新课程初中复习指导丛书——数学》24-26页．
选做题：已知关于x的一元二次方程x2－2(k＋r)x＋d2＝0没有实数根，其中k、r分别为⊙O1、⊙O2的半径，d为此两圆的圆心距，则⊙O1与⊙O2的位置关系为 ．
设计意图：作业分层，让能力不同的每个学生都能各有所得．
八、板书设计
一元二次方程

丰富的问题情景
一元二次方程
相关概念
解法
一元二次方程在实际生活中的应用
配方法
公式法
分解因式法
分解因式法
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式

教学反思：