九年级数学下册 函数与四边形综合类型题教案 人教新课标版.doc

函数与四边形综合类型题教案
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苏
初四数学

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教学目标
1、 学会对函数综合题如何分析的一般规律。掌握二次函数与四边形综合题的解题思路及分析方法。

授课纲要及重、难点提示
通过对典型二次函数综合题的剖析，使其掌握一般的解题分析方法及技巧，提高综合分析解决问题的能力。
重难点是灵活掌握二次函数大型综合题的解题思路及分析方法的掌握。
教学过程
一、复习
二、典例分析
（一）、与平行四边形相关
例1．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴上.
（1）求的值及这个二次函数的关系式；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.
x
y
D
C
A
O
B
E
P
F
M
例2图

例1图 例3图

例2、 抛物线与轴相交于、两点（点在的左侧），与轴相交于点，顶点为.
（1）直接写出、、三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作交抛物线于点，设点的横坐标为：①用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？
②设的面积为，求与的函数关系式．
解：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3），抛物线的对称轴是：x=1．
（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b．把B（3，0），C（0，3）分别代入得：
解得：k= -1，b=3．所以直线BC的函数关系式为：．
当x=1时，y= -1+3=2，∴E（1，2）．当时，，
∴P（m，m+3）．在中，当时，　∴
当时，∴ ∴线段DE=4-2=2，线段∵∴当时，四边形为平行四边形．
由解得：（不合题意，舍去）．因此，当时，四边形为平行四边形．
②设直线与轴交于点，由可得：∵
即．

例3、 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为第三象限内抛物线上一动点，点的横坐标为，的面积为．求关于的函数关系式，并求出的最大值．（3）若点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，判断有几个位置能够使得点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点的坐标．

例4、

解（1）略。

例5、已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴的交点分 别为，将对折，使点的对应点落在直线上，折痕交轴于点
（1）直接写出点的坐标，并求过三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为，在直线上是否存在点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设抛物线的对称轴与直线的交点为为线段上一点，直接写出的取值范围．
例5图

图10
图9

解：（1）点C的坐标为.-∵ 点A、B的坐标分别为， ∴ 可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为. 将代入抛物线的解析式，得. ∴ 过A、B、C三点的抛物线的解析式为.
（2）可得抛物线的对称轴为，顶点D的坐标为 ，设抛物线的对称轴与x轴的交点为G.
直线BC的解析式为，设点P的坐标为.
解法一：如例5图，作OP∥AD交直线BC于点P，连结AP，作PM⊥x轴于点M.∵ OP∥AD，
∴ ∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD. ∴ ，即.
解得. 经检验是原方程的解. 此时点P的坐标为.
但此时，OM＜GA. ∵
∴ OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等， ∴ 直线BC上不存在符合条件的点P.
解法二：如图9，取OA的中点E，作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于
点N. 则∠PEO=∠DEA，PE=DE.可得△PEN≌△DEG ．由，可得E点的坐标为.
NE=EG=， ON=OE－NE=，NP=DG=.∴ 点P的坐标为. ∵ x=时，，
∴ 点P不在直线BC上. ∴ 直线BC上不存在符合条件的点P .
（3）的取值范围是.
例6、

x
y
A
D
B
O
C
例7图

例6图 例8图
（二）、与菱形相关
例7、如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且 （1）求的值．
（2）若为轴上的点，且求经过、两点的直线的解析式，并判断与是否相似？
（3）若点在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点使以、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）解得，所以OA大于OB,在中，由勾股定理有,
（2）∵点在轴上，,,,由已知可知D（6，4）
设当时有,解得,,同理时，在中，,在中，,
，。（3）满足条件的点有四个
例8、

（三）、与梯形相关
例9、直线与坐标轴分别交于、两点，、的长分别是方程的两根（），动点从点出发，沿路线→→以每秒1个单位长度的速度运动，到达点时运动停止．
（1）直接写出、两点的坐标；
（2）设点的运动时间为(秒)，的面积为，求与之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；
（3）当时，直接写出点的坐标，此时，在坐标轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：. (1) .
(2)∵，，∴
当点 在上运动时，，

当点 在上运动时，作于点，
有
∵，∴∴
（3）当时，，， 此时，过各顶点作对边的平行线，与坐标轴无第二个交点，所以点不存在， 当时，，， 此时，、。

例10、如图，在菱形中，，，为边中点，点从点开始沿方向以每秒cm的速度运动，同时，点从点出发沿方向以每秒的速度运动，当点到达点时，同时停止运动，设运动的时间为秒．（1）当点在线段上运动时．①请用含的代数式表示的长度；
②若记四边形的面积为，求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
2）显然，当时，四边形即梯形，请问，当在线段的其他位置时，以为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的的值；若不能，请说明理由．

（1）①由题意得∠BAO=30°，AC⊥BD ∵AB=2 ∴OB=OD=1，OA=OC= ∴OP=
②过点E作EH⊥BD，则EH为△COD的中位线， ∴ ∵DQ=x ∴BQ=2-x
∴
（2）能成为梯形，分三种情况： 当PQ∥BE时，∠PQO=∠DBE=30° ∴
即 ∴x=此时PB不平行QE，∴x=时，四边形PBEQ为梯形.
当PE∥BQ时，P为OC中点 ∴AP=，即 ∴ 此时，BQ=2-x=≠PE，∴x=时，四边形PEQB为梯形. 当EQ∥BP时，△QEH∽△BPO ∴ ∴
∴x=1（x=0舍去） 此时，BQ不平行于PE，∴x=1时，四边形PEQB为梯形.
综上所述，当x=或或1时，以P，B，E，Q为顶点的四边形是梯形.
例11、如图，为正方形的对称中心，，，直线交于，于，点从原点出发沿轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点从出发沿方向以个单位每秒速度运动，运动时间为．求：（1）的坐标为 ；（2）当为何值时，与相似？
（3）求的面积与的函数关系式；并求以为顶点的四边形是梯形时的值及的最大值．

（1）Ｃ（４，１） （2）当∠MDR＝45０时，ｔ＝2,点Ｈ（2，0）当∠DRM＝45０时，ｔ＝3,点Ｈ（3，0）
（３）Ｓ＝－ｔ２＋２ｔ（０＜ｔ≤４）；（1分）Ｓ＝ｔ２－２ｔ（ｔ＞４）当ＣＲ∥ＡＢ时，ｔ＝，
Ｓ＝ 当ＡＲ∥ＢＣ时，ｔ＝， Ｓ＝ 当ＢＲ∥ＡＣ时，ｔ＝， Ｓ＝ ）
例12、如图，在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，与轴交于点，将△沿翻折后，点落在点处．（1）求点、的坐标；（2）求经过、、三点的抛物线的解析式；
（3）若抛物线的对称轴与交于点，点为线段上一点，过点作轴的平行线，交抛物线于点．
①当四边形为等腰梯形时，求出点的坐标；②当四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标.

解：（1）如图所示，∵点关于轴的对称点为，与轴交于点，∴⊥轴于，，
．∴．∴，
由题意可知 ， ．∴．过点作轴于，轴于，在中， , ．由矩形得．
∵点在第四象限∴．
（2）设经过、、三点的抛物线的解析式为. 依题意得
解得 ∴此抛物线的解析式为．
（3）∵，∴点为抛物线的顶点．∴直线为抛物线的对称轴，交于，由题意可知 ，，∴，∴，∴，∴是等边三角形，．∴．
①当点在上时，四边形为等腰梯形.∵∥∥，与不平行，∴四边形为梯形.要使梯形为等腰梯形，只需满足.∵,∴点在上.
由、求得直线的解析式为.又∵点在抛物线上，∴. 解得（与点重合，舍）.∴点横坐标为.
由、求得直线的解析式为.
∵点在上，∴ ．∴．
②当点在上时，四边形为平行四边形，此时点坐标为. 综上所述，当时，为等腰梯形；当时，为平行四边形．

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