九年级数学你能证明它们吗北师大版.doc

你能证明它们吗教学目标(一)教学知识点1经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程2经历实际操作，探索含有30角的直角三角形性质及其推理证明过程(二)能力训练要求1经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维2经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点3形成证明一些结论的基本策略，发展学生的实践能力和创新精神(三)情感与价值观要求1积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲2在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心教学重点1等边三角形判定定理的发现与证明2含30角的直角三角形的性质定理的发现与证明教学难点1含30角的直角三角形性质定理的探索与证明2引导学生全面、周到地思考问题教学方法探索发现教具准备两个全等的含30角的三角尺投影片第一张：问题串(记作113A)第二张：做一做(记作113B)第三张：例题(记作113C)第四张：试一试(记作113D)教学过程提问问题，引入新课师我们在前两节课研究并证明了等腰三角形的性质和判定定理我们知道等腰三角形中包含有一种非常特殊的三角形即等边三角形，它的性质我们已通过等腰三角形作了证明例如等边三角形的三个内角都是60等我们来看下面的问题(出示投影片113A)(1)一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形？(2)你认为有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴交流(教师应给学生自主探索、思考的时间)生等腰三角形已经有两边分别相等，所以我认为只要腰和底相等，等腰三角形就成了等边三角形生等边三角形的三个内角都相等，且分别都等于60我认为等腰三角形的三个内角都等于60，等腰三角形就是等边三角形了(此时，部分同学同意此生的看法，部分同学不同意此生的看法，引起激烈地争论教师可让同学代表充分发表自己的看法)生我不同意这位同学的看法因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形根据等角对等边，三个内角都是60，所以它们所对的边一定相等但这一问题中“已知是等腰三角形，满足什么条件时便是等边三角形”，我觉得他给的条件太多，浪费！师给三个角都是60，这个条件的确有点浪费，那么给什么条件不浪费呢？下面同学们可在小组内交流自己的看法讲述新课1探索等腰三角形成为等边三角形的条件生如果等腰三角形的顶角是60，那么这个三角形就是等边三角形师你能给大家陈述一下理由吗？生根据三角形的内角和定理，顶角是60，等腰三角形的两个底角的和就为18060120；再根据等腰三角形的两个底角是相等的，所以每个底角分别为120260，则三个内角分别相等根据等角对等边，则此时等腰三角形的三个边是相等的，即顶角为60的等腰三角形为等边三角形生等腰三角形的底角是60，那么这个三角形也为等边三角形同样根据三角形内角和定理，及等角对等边，等边对等角的性质师从同学们的自主探索和讨论的结果可以发现：在等腰三角形中，不论是底角是60，还是顶角是60，那么这个三角形都是等边三角形你能用更简捷的语言描述这个结论吗？生有一个角是60的等腰三角形是等边三角形师下面请同学们在自己的练习本上完成这个结论的证明过程，并与同伴交流证明思路(这个结论的证明对学生来说可能有一定的难度，难点是意识到分别讨论60的角是底角和顶角两种情况这是一种分类讨论的思想，教师要关注学生得出证明思路的过程，引导学生全面、周到地思考问题，并有意识地向学生渗透分类的思想方法)师你在与同伴交流的过程中，发现了什么或受到了何种启示？生我发现我的证明过程没有意识到“有一个角是60”，在等腰三角形中有两种情况：(1)这个角是底角；(2)这个角是顶角也就是说我们思考问题要全面、周到师我们来看有多少同学意识到分别讨论60的角是底角和顶角的情况我们鼓掌表示对他们的鼓励今天，我们探索、发现并证明了等边三角形的判定定理：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形我们在证明这个定理的过程中，还得出一个三角形为等边三角形的条件，是什么呢？生三个角都相等的三角形是等边三角形师下面就请同学们来证明这个结论师生共析已知：ABC中，ABC求证：ABC是等边三角形证明：AB，BCAC(等角对等边)又AC，BCAB(等角对等边)ABBCCA，即ABC是等边三角形师我们以公理和已证明的定理为基础，研究并证明了等腰三角形(包含等边三角形)的性质和判定，同学们可列表总结一下性质判定的条件等腰三角形(含等边三角形)等边对等角等角对等边“三线合一”即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高互相重合有一角是60的等腰三角形是等边三角形等边三角形的三个角都相等，且每个角都是60三个角都相等的三角形是等边三角形我们还学习过直角三角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性质大家可能已猜到，我让大家准备好的含30角的直角三角形，它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢？(出示投影片113B)做一做用含30角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由由此你能想到，在直角三角形中，30角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？(让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明)生用含30角的直角三角尺摆出了如下两个三角形其中图(1)是等边三角形因为ABDACD，所以ABAC又因为RtABD中，BAD60，所以ABD60有一个角是60的等腰三角形是等边三角形生图(1)中，BC60，BACBADCAD303060，所以BCBAC60，即ABC是等边三角形师同学们从不同角度说明了自己拼成的图(1)是等边三角形由此你能得出在直角三角形中，30角所对的直角边与斜边的关系吗？生在直角三角形中，30的角所对直角边是斜边的一半师我们仅凭实际操作得出的结论还需要给出证明，你能证明它吗？生可以，在图(1)中，我们已经知道它是等边三角形，所以ABBCAC而ADB90即ADBC，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BDDCBC所以BDAB即在RtABD中，BAD30，它所对的边BD是斜边AB的一半师生共析这位同学能结合前后知识，把问题思路解释得如此清晰，很了不起下面我们一同来完成这个定理的证明过程定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半已知：如图，在RtABC中，C90，BAC30求证：BCAB分析：从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长BC至D，使CDBC，连接AD证明：在ABC中，ACB90，BAC30，则B60延长BC至D，使CDBC，连接AD(如图所示)ACB90，ACD90ACAC，ABCADC(SAS)ABAD(全等三角形的对应边相等)ABD是等边三角形(有一个角是60的等腰三角形是等边三角形)BCBDAB师这个定理在我们实际生活中有广泛的应用因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系下面我们就来看一个例题(出示投影片113C)例题等腰三角形的底角为15，腰长为2a，求腰上的高已知：在ABC中，ABAC2a，ABCACB15，CD是腰AB上的高求：CD的长分析：观察图形可以发现在RtADC中，AC2a，而DAC是ABC的一个外角，则DAC21530，根据在直角三角形中，30角所对的直角边是斜边的一半，可求出CD解：ABCACB15，DACABCACB151530CDAC2aa(在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半)师一个问题“反过来”思考，就可能形成一个真命题你能举个例子吗？生例如“等边对等角”反过来“等角对等边”也是真命题生例如“等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60，反过来“三个角都相等的三角形是等边三角形”生但有些命题“反过来”就不成立例“对顶角相等”反过来“相等的角是对顶角”就不成立师的确如此“反过来”写出的命题是否成立，需推理证明，我们来看投影片113D试一试命题“在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30”是真命题吗？如果是，请你证明它师生共析我们可从证明“在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的辅助线的作法中得到启示已知：如图，在RtABC中，C90，BCAB求证：BAC30证明：延长BC至D，使CDBC，连接ADACB90，ACD90又ACAC，ACBACD(SAS)ABADCDBC，BCBD又BCAB，ABBDABADBD，即ABD是等边三角形B60在RtABC中，BAC30课时小结这节课，我们自主探索，思考了等腰三角形成为等边三角形的条件，并对这个结论的证明有意识地渗透分类的思想方法接着在公理和已证明的定理的启发下推理证明了含30角的直角三角形的边的关系，这节课我们学的都是非常重要的定理，在我们今后的学习中起着非常重要的作用课后作业习题13第1、2、3、4题活动与探究如图(1)，ABCD是一张正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的折痕将A翻折，使得点A落在EF上如图(2)，折痕交AE于点G，那么ADG等于多少度？你能证明你的结论吗？过程我们在前面已证明了“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30”从图中可以看出，A1DGADG，但它们在直角三角形的大小无法直接求出，如果能求出A1DA，问题就可解决但A1DA在哪一个直角三角形中，这时提示我们引出辅助线过A1作A1HAD，H为垂足，根据题意可知，A1HABADA1D所以A1DH30结果ADG15板书设计113 你能证明它们吗(三)问题1一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形？等腰三角形等边三角形三角形等边三角形证明：(略)问题2在直角三角形中，30角所对的直角边与斜边有怎样的关系？从两个含30角的三角尺，拼出图形寻找结论