九年级数学你能证明它们吗北师大版.doc

你能证明它们吗
教学目标
(一)教学知识点
1．经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程．
2．经历实际操作，探索含有30°角的直角三角形性质及其推理证明过程．
(二)能力训练要求
1．经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．
2．经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．
3．形成证明一些结论的基本策略，发展学生的实践能力和创新精神．
(三)情感与价值观要求
1．积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
教学重点
1．等边三角形判定定理的发现与证明．
2．含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．
教学难点
1．含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明．
2．引导学生全面、周到地思考问题．
教学方法
探索——发现
教具准备
两个全等的含30°角的三角尺
投影片
第一张：问题串(记作§1．1．3A)
第二张：做一做(记作§1．1．3B)
第三张：例题(记作§1．1．3C)
第四张：试一试(记作§1．1．3D)
教学过程
Ⅰ．提问问题，引入新课
[师]我们在前两节课研究并证明了等腰三角形的性质和判定定理．我们知道等腰三角形中包含有一种非常特殊的三角形即等边三角形，它的性质我们已通过等腰三角形作了证明．例如等边三角形的三个内角都是60°等．我们来看下面的问题(出示投影片§1．1．3A)．
(1)一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形？
(2)你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴交流．
(教师应给学生自主探索、思考的时间)
[生]等腰三角形已经有两边分别相等，所以我认为只要腰和底相等，等腰三角形就成了等边三角形．
[生]等边三角形的三个内角都相等，且分别都等于60°．我认为等腰三角形的三个内角都等于60°，等腰三角形就是等边三角形了．
(此时，部分同学同意此生的看法，部分同学不同意此生的看法，引起激烈地争论．教师可让同学代表充分发表自己的看法．)
[生]我不同意这位同学的看法．因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形．根据等角对等边，三个内角都是60°，所以它们所对的边一定相等．但这一问题中“已知是等腰三角形，满足什么条件时便是等边三角形”，我觉得他给的条件太多，浪费！
[师]给三个角都是60°，这个条件的确有点浪费，那么给什么条件不浪费呢？下面同学们可在小组内交流自己的看法．
Ⅱ．讲述新课
1．探索等腰三角形成为等边三角形的条件．
[生]如果等腰三角形的顶角是60°，那么这个三角形就是等边三角形．
[师]你能给大家陈述一下理由吗？
[生]根据三角形的内角和定理，顶角是60°，等腰三角形的两个底角的和就为180°－60°＝120°；再根据等腰三角形的两个底角是相等的，所以每个底角分别为120°÷2＝60°，则三个内角分别相等．根据等角对等边，则此时等腰三角形的三个边是相等的，即顶角为60°的等腰三角形为等边三角形．
[生]等腰三角形的底角是60°，那么这个三角形也为等边三角形．同样根据三角形内角和定理，及等角对等边，等边对等角的性质．
[师]从同学们的自主探索和讨论的结果可以发现：在等腰三角形中，不论是底角是60°，还是顶角是60°，那么这个三角形都是等边三角形．你能用更简捷的语言描述这个结论吗？
[生]有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
[师]下面请同学们在自己的练习本上完成这个结论的证明过程，并与同伴交流证明思路．
(这个结论的证明对学生来说可能有一定的难度，难点是意识到分别讨论60°的角是底角和顶角两种情况．这是一种分类讨论的思想，教师要关注学生得出证明思路的过程，引导学生全面、周到地思考问题，并有意识地向学生渗透分类的思想方法)
[师]你在与同伴交流的过程中，发现了什么或受到了何种启示？
[生]我发现我的证明过程没有意识到“有一个角是60°”，在等腰三角形中有两种情况：(1)这个角是底角；(2)这个角是顶角．也就是说我们思考问题要全面、周到．
[师]我们来看有多少同学意识到分别讨论60°的角是底角和顶角的情况．我们鼓掌表示对他们的鼓励．
今天，我们探索、发现并证明了等边三角形的判定定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．我们在证明这个定理的过程中，还得出一个三角形为等边三角形的条件，是什么呢？
[生]三个角都相等的三角形是等边三角形．
[师]下面就请同学们来证明这个结论．
[师生共析]已知：△ABC中，∠A＝∠B＝∠C．

求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵A＝∠B，
∴BC＝AC(等角对等边)．
又∵∠A＝∠C，
∴BC＝AB(等角对等边)．
∴AB＝BC＝CA，即△ABC是等边三角形．
[师]我们以公理和已证明的定理为基础，研究并证明了等腰三角形(包含等边三角形)的性质和判定，同学们可列表总结一下．

性质
判定的条件
等腰三角
形(含等边三角形)
等边对等角
等角对等边
“三线合一”即等腰
三角形顶角平分
线，底边上的中线、
高互相重合
有一角是60°
的等腰三角形
是等边三角形
等边三角形的三
个角都相等，且每
个角都是60°
三个角都相等
的三角形是等
边三角形
我们还学习过直角三角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性质．大家可能已猜到，我让大家准备好的含30°角的直角三角形，它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢？
(出示投影片§1．1．3B)
做一做
用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．
由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？
(让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明)
[生]用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形．

其中图(1)是等边三角形．因为△ABD≌ACD，所以AB＝AC．又因为Rt△ABD中，∠BAD＝60°，所以∠ABD＝60°．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
[生]图(1)中，∠B＝∠C＝60°，∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝30°＋30°＝60°，所以∠B＝∠C＝∠BAC＝60°，即△ABC是等边三角形．
[师]同学们从不同角度说明了自己拼成的图(1)是等边三角形．由此你能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？
[生]在直角三角形中，30°的角所对直角边是斜边的一半．
[师]我们仅凭实际操作得出的结论还需要给出证明，你能证明它吗？
[生]可以，在图(1)中，我们已经知道它是等边三角形，所以AB＝BC＝AC．而∠ADB＝90°即AD⊥BC，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD＝DC＝BC．所以BD＝AB．即在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，它所对的边BD是斜边AB的一半．
[师生共析]这位同学能结合前后知识，把问题思路解释得如此清晰，很了不起．下面我们一同来完成这个定理的证明过程．
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°．

求证：BC＝AB．
分析：从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长BC至D，使CD＝BC，连接AD．

证明：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，则∠B＝60°．
延长BC至D，使CD＝BC，连接AD(如图所示)．
∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°．
∵AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC(SAS)．
∴AB＝AD(全等三角形的对应边相等)．
∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．
∴BC＝BD＝AB．
[师]这个定理在我们实际生活中有广泛的应用．因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系．下面我们就来看一个例题．
(出示投影片§1．1．3C)
[例题]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高．

已知：在△ABC中，AB＝AC＝2a，∠ABC＝∠ACB＝15°，CD是腰AB上的高．
求：CD的长．
分析：观察图形可以发现在Rt△ADC中，AC＝2a，而∠DAC是△ABC的一个外角，则∠DAC＝2×15°＝30°，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，可求出CD．
解：∵∠ABC＝∠ACB＝15°，
∴∠DAC＝∠ABC＋∠ACB
＝15°＋15°＝30°．
∴CD＝AC＝×2a＝a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)．
[师]一个问题“反过来”思考，就可能形成一个真命题．你能举个例子吗？
[生]例如“等边对等角”反过来“等角对等边”也是真命题．
[生]例如“等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°，反过来“三个角都相等的三角形是等边三角形”．
[生]但有些命题“反过来”就不成立．例“对顶角相等”反过来“相等的角是对顶角”就不成立．
[师]的确如此．“反过来”写出的命题是否成立，需推理证明，我们来看投影片§1．1．3D．
试一试
命题“在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”是真命题吗？如果是，请你证明它．
[师生共析]我们可从证明“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的辅助线的作法中得到启示．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB．

求证：∠BAC＝30°．
证明：延长BC至D，使CD＝BC，连接AD．

∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°．
又∵AC＝AC，
∴△ACB≌△ACD(SAS)．
∴AB＝AD．
∵CD＝BC，∴BC＝BD．
又∵BC＝AB，∴AB＝BD．
∴AB＝AD＝BD，
即△ABD是等边三角形．
∴∠B＝60°．在Rt△ABC中，∠BAC＝30°．
Ⅲ．课时小结
这节课，我们自主探索，思考了等腰三角形成为等边三角形的条件，并对这个结论的证明有意识地渗透分类的思想方法．接着在公理和已证明的定理的启发下推理证明了含30°角的直角三角形的边的关系，这节课我们学的都是非常重要的定理，在我们今后的学习中起着非常重要的作用．
Ⅳ．课后作业
习题1．3第1、2、3、4题
Ⅴ．活动与探究
如图(1)，ABCD是一张正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的折痕将A翻折，使得点A落在EF上〔如图(2)〕，折痕交AE于点G，那么∠ADG等于多少度？你能证明你的结论吗？

[过程]我们在前面已证明了“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”．从图中可以看出，∠A1DG＝∠ADG，但它们在直角三角形的大小无法直接求出，如果能求出∠A1DA，问题就可解决．但∠A1DA在哪一个直角三角形中，这时提示我们引出辅助线．过A1作A1H⊥AD，H为垂足，根据题意可知，A1H＝AB＝AD＝A1D．所以
∠A1DH＝30°．
[结果]∠ADG＝15°．
板书设计
§1．1．3 你能证明它们吗(三)
[问题1]一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形？
等腰三角形等边三角形
三角形等边三角形
证明：(略)
[问题2]在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的关系？
从两个含30°角的三角尺，拼出图形寻找结论．