九年级数学上册 21.2 解一元二次方程 公式法讲学稿2 新人教版-新人教版初中九年级上册数学教案.doc

21.2 解一元二次方程 公式法
选题：本题选自数学课本第10页第二十一章《解一元二次方程》的第二节探索题。
题目：
一元二次方程求根公式的推导。
1、讲题目标：
知识与技能
使用配方法推导出一元二次方程的根，获得另一种求一元二次方程根的模型————求根公式：()。
过程与方法
经历推导公式法的过程，提升用配方法解决问题的能力，感悟配方法、分类讨论和建模思想在问题解决中的作用，发展建模与应用意识。
情感与价值观
通过对求根公式的推导，感受探索的乐趣，培养学习数学的兴趣，养成仔细、准确、耐心的习惯。
重点：类比“用配方法解数字系数的一元二次方程的步骤与方法”推导一元二次方程的求根公式。
难点：二次根式的运算（化简、加减）、分式的运算（通分），分类讨论
2、学情分析
本校位于城市片区，学生的基础良好，能较好掌握用配方法解一元二次方程。但也存在一些问题，主要体现在：当系数为分数时，计算与二次根式的化简易出错。
3、讲题内容
(1)复习回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的步骤
(2)用“一化二移三配四开五解”书写求根公式的推导过程
(3)结束语
4、讲题过程
(1)回顾用配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程：
解：二次项系数化为1，得：
移项，得：
配方，得：
即：
开方，得：
解：
上述用配方法解数字系数的一元二次方程的练习，通过投影练习让学生复
习回顾用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数)；
②移项:把常数项移到方程的右边；
③配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方
⑤开方:根据平方根意义，方程两边开平方;
⑥定解:写出原方程的解。
设计目的：通过用配方法解数字系数的一元二次方程，既巩固了配方法解一元二次方程的步骤，又激活了学生头脑中与新知识密切相关的已有知识经验。在此过程中，学生认识到这种方法步骤多，有时计算繁琐。从而引发认知冲突，自然引出今天的题目。
(2)求根公式的推导过程
由于任意一个一元二次方程都可以变形为一般式：，因此本节课，我们类比“解数字系数的一元二次方程的步骤和方法”，用配方法解，试图得到它的“通解”，即求根公式。
解：注意到，
方程两边同时除以，得：
移项，得：
配方，得：
化简，得: （※）
当学生未考虑的符号直接开方时，教师运用启发性提示语反问：你认为直接开方妥当吗？是否记得开方时对开方数的要求吗？
再次引发学生的认知冲突，产生新的疑难和困惑，从而弥补已有认知的缺陷，认识到时才能直接开方，从而获得一元二次方程的求根公式。
设计目的：学生在本节课体验到用配方法解非数字系数的一般形式的一元二次方程的必要性，引导学生对一般形式的一元二次方程进行配方。通过教师“能否直接开方？”的反问，引发学生深层思维和探索兴趣，识到对需要进行分类讨论。同时使求根公式由潜在发展水平转化到对学生的现有水平发展，又为一元二次方程根的判别式与根的关系这个新的潜在发展水平做了铺垫，使学生进入新的最近发展区。
因为，所以。
当时，，由（※）得

①当，方程有两个不等的实数根
，
②当，方程有两个相等的实数根

③当，由（※）可知，即方程无实数根。
设计目的：在引导学生分类讨论推导求根公式的过程中，首先要强调二次根式的化简，即对的开方结果，因为，所以分母，而对于分子的符号并不知晓，使学生通过已有的认识突破难点，对的大小进行分类讨论。让学生通过经历知识形成的全过程，从而提高自身的观察能力，分析问题和解决问题的能力，发展了理性思维。
（3）结束语
从公式推导可知，一元二次方程的根是由其系数决定的，它们的关系表述为()。这个模型是另一种解一元二次方程的方法——公式法。