浙江省杭州市三墩中学九年级数学《图形的相似与全等》教案 人教新课标版.doc

九、图形的相似与全等
教学目标：
1． 立足教材，打好基础，查漏补缺，系统复习，熟练掌握本部分的基本知识、基本方法和基本技能.
2． 让学生自己总结交流所学内容，发展学生的语言表达能力和合作交流能力．
情感目标：
通过学生自己归纳总结本部分内容，使他们在动手操作方面，探索研究方面，语言表达方面，分类讨论、归纳等方面都有所发展，激发学生的意识 。
教学重点与难点
重点：将本部分的知识有机结合，强化训练学生综合运用数学知识的能力，．
难点：把数学知识转化为自身素质. 增强用数学的意识．
相似比k=1
命题证明
定义、命题、公理、定理
证 明
三角形全等
三角形全等的识别
直角三角形全等的识别
图形的全等
基本作图
图形的相似
对应边成比例，对应角相等的两个多边形是相似多边形
相似三角形的识别方法和性质
相似三角形
相似多边形
坐标与图形的运动
坐标表示物体的位置
教学过程：
【知识回顾】
1、知识脉络

2、基础知识
比例线段，若（或a∶b=c∶d），则四条线段a、b、c、d叫做比例线段.比例基本性质：若，则ad=bc.
在比例中运用设k法.
相似多边形，对应边成比例，对应角相等.（识别方法）
相似三角形的相似比（当k=1时,得特殊的相似三角形，称为全等三角形）.
相似三角形的判定定理：
(1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么两个三角形相似；
(2)如果一个三角形的两边分别与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角对应相等，那么两个三角形相似；
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么两个三角形相似；
(4)如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
相似三角形的性质定理：
(1)若两个三角形相似，则这两个三角形的对应边成比例，对应角相等.
(2)若两个三角形相似，它们对应中线的比，角平分线的比，高的比都等于相似比.
(3)若两个三角形相似，它们周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
直角三角形中的射影定理.
利用相似三角形的性质解决一些实际问题.
画相似图形，利用位似方法，把一个多边形放大和缩小.
全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
命题、定理、公理.
五种基本作图及简单的作图题.
3、能力要求
例1 已知△ABC中，∠ACB=90º，CD⊥AB于D， AD∶BD=2∶3且CD=6.
A
B
C
D
┐
求（1）AB；（2）AC.
【分析】设AD=2k，BD=3k.根据直角三角形和它斜边上的高，可知△ABC∽△ACD∽△CBD.通过相似三角形对应边成比例求出其中k的大小；但是如果根据用射影定理，那么就可以直接计算出k的大小.
解：设AD=2k，BD=3k（k >0）.
∵∠ACB=90º， CD⊥AB.∴CD2=AD•BD，
∴62=2k•3k，∴k=.
∴AB=.
又∵AC2=AD•AB，∴AC =.
【说明】解题的方法可以不止一种，本题采用了补充的射影定理来解，其中通过设k法
将两线段的比转化成两线段的长2k和3k，建立关于k的等式.在含有比例的解题中设k法是常用的解题方法之一.
例2 已知△ABC中，∠ACB=90º，CH⊥AB，HE⊥BC，HF⊥AC.
A
B
C
F
E
H
求证：（1）△HEF ≌△EHC；（2）△HEF∽△HBC.
【分析】从已知条件中可以获得四边形CEHF是矩形，要证明三角形全等要收集到三个条件，有公共边EH,根据矩形的性质可知EF=CH,HF=EC.
要证明三角形相似，从条件中得∠FHE=∠CHB=90º,由全等三角形可知，∠HEF=∠HCB,这样就可以证明两个三角形相似.
【证明】∵HE⊥BC，HF⊥AC，
∴∠CEH =∠CFH=90º.又∵∠ACB=90º，∴四边形CEHF是矩形.
∴EF=CH,HF=EC，∠FHE=90º.
又∵HE=EH，
∴△HFE ≌△EHC.∴∠HEF=∠HCB.
∵∠FHE=∠CHB=90º，
∴△HEF∽△HBC.
【说明】在这一题的分析过程中，走“两头凑”比较快捷，从已知出发，发现有用的信息，从结论出发，寻找解决问题需要的条件.解题中还要注意上下两小题的“台阶”关系.培养学生良好的思维习惯.
C
E
A
D
M
B
┌
┐
例3 两个全等的含30º，60º角的三角板ADE和ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连结ME，MC.试判断△EMC的形状，并说明理由.
【分析】判断一个三角形的形状，可以结合所给出的图形作出假设，或许是等腰三角形.这样就可以转化为另一个问题：尝试去证明EM= MC，要证线段相等可以寻找全等三角形来解决，然而图中没有形状大小一样的两个三角形.这时思考的问题就可以转化为这样一个新问题：如何构造一对全等三角形？根据已知点M是直角三角形斜边的中点，产生联想：直角三角形斜边上的中点是斜边的一半，得：MD= MB= MA.连结M A后，可以证明△MDE≌△MAC.
【答】：△EMC的形状是等腰直角三角形.
【证明】连接AM,有题意得,
DE = AC，AD=AB，∠DAE+∠BAC=90º. ∴∠DAB=90º.
∴△DAB为等腰直角三角形.
又∵MD= MB，
∴M A= MD= MB，AM⊥DB，∠MAD=∠M AB=45º.
∴∠MDE=∠MAC=105º， ∠DMA=90º.
∴△MDE≌△MAC.
∴∠DME=∠AMC，ME=MC.
又∠DME+∠EMA=90º，
∴∠AMC+∠EMA=90º.
∴MC⊥EM.
∴△EMC的形状是等腰直角三角形.
【说明】构造全等三角形是解决这个问题的关键，那么构造全等又如何进行的呢？对条件的充分认识和对知识点的联想可以找到添加辅助线的途径.构造过程中要不断地转化问题或转化思维的角度.会转化，善于转化，更能体现思维的灵活性.在问题中创设三角板为情境也是考题的一个热点.
2003年2月27日《广州日报》报道，2002年底广州市自然保护区覆盖率为4.65%，尚未达到国家级标准，因此，市政府决定加快绿化建设，力争到2004年底自然保护区覆盖率达到8%以上，若要达到最低目标8%，则广州市自然保护区面积的平均增长率应是多少？（结果保留三个有效数字）

例4 如图，已知∠MON=90º，等边三角形ABC的一个顶点A是射线OM上的一定点，顶点B与点O重合，顶点C在∠MON内部.
（1）当顶点B在射线ON上移动到B1时，连结AB1为一边的等边三角形AB1C1（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）设AB1与OC交于点Q，AC的延长线与B1C1交于点D.求证：；
（3）连结CC1，试猜想∠ACC1为多少度？并证明你的猜想.
【分析】用尺规作图画出符合题意的等边三角形AB1C1是对问题（2）研究的关键.分别以A、B1两点为圆心，AB1长为半径作弧，两弧的交点即为点C1.然后把等积式改写比例式，找出所需的两个相似三角形.
【解】 （1）如图所示；
【证明】（2）∵△AOC与△AB1C1等边三角形，
∴∠ACB=∠AB1D=60º.
又∵∠CAQ=∠B1AD, ∴△ACQ∽△AB1D；

(3) 猜想∠ACC1=90º.
证明:∵△AOC和△AB1C1为正三角形,AO=AC，AB1=AC1，
∴∠OAC=∠C1AB1，
∴∠OAC-∠CAQ=∠C1AB1-∠CAQ，∴∠OAB1=∠CAC1 .∴△AO B1 ≌ △AC C1.
∴∠ACC1=∠AOB1=90º.
【说明】问题中要求学生画出正△AB1C1，是对学生理解能力和动手能力的考验,教材中安排的五种基本作图，教学中应当给予一定的重视.同时通过比例线段确认要证的相似三角形是常用方法之一. 问题(3) 是一道结论开放的问题，根据对已知条件的分析，对图形的观察，猜想直角，再根据所推断出的目标，去证明猜想是正确的.这样既培养学生的合情推理能力，也给了学生一个探索的平台.
例5 (1)已知如图①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60º.
求证：①AC=BD,②∠APB=60º.
(2) 如图②，在△AOB和△COD中，OA=OB,OC=OD, ∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系式为______________；∠APB的大小为_____________.
(3) 如图③，在△AOB和△COD中，OA=kOB,OC=kOD(k>1), ∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系式为_________________；∠APB的大小为_____________.

【分析】要证AC=BD，在图①可以找AC 与BD所在的两个三角形全等。即证明△AOC≌△BOD可以解决.求∠APB的度数可以通过三角形内角和转化成∠AOB的度数. (2)、 (3)题的答案，可以“复制”（1）题中的解题思路来完成.
【证明】∵△AOB和△COD为正三角形,
∴OA=OB， OD=OC，∠AOB=60º，∠COD=60º.
∵∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，∴∠AOC=∠BOD.
∴△AOC≌△BOD ，∴AC=BD.∴∠OAC=∠OBD，
∴∠APB=∠AOB= 60º.
(2)AC与BD间的等量关系式为AC=BD；∠APB的大小为α.
(3)AC与BD间的等量关系式为AC=kBD；∠APB的大小为180º-α.
【说明】三个问题的设计是一个逐步深入的过程,有特殊到一般的过程,图形的展示是一个动态过程,但在变化中却蕴含着不变的事项,例如解决问题时都用到了△AOC和△BOD，都用到了三角形内角和定理来决定∠APB与α的大小关系. (2) 、(3)小题的解决思路可从题(1)中吸取.这也是这样一类变式题常用的思维方法.
例6 一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2,工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形，请两位同学进行设计加工方案，甲设计方案如图(1),乙设计的方案如图(2) . 你认为那位同学设计的方案较好？试说明理由.（加工损耗忽略，计算结果可保留分数）
【分析】方案(1),设正方形的边长为x m，通过相似三角形对应边成比例建立方程,求出边长.
方案(2), 设正方形的边长为xm,通过相似三角形对应高的比等于相似比建立方程, 求出边长.
【解】方案(1)：有题意可知, DE∥BA，
得△CDE∽△CBA.∴；
方案(2):作BH⊥AC于H. DE∥AC，得△BDE∽△BAC.
∴.∵∴如图(1)加工出的正方形面积大.
综上所得，甲同学设计的方案较好.
【说明】利用相似三角形的性质解决实际问题，让学生感受生活中的数学.在解决几何中相关的一些计算问题时往往可以转化方程来讨论.当然在教学中可将问题改成：请你给出设计方案，并加于说明.” 这样更突出了问题的探究性，让学生自主探究也是新课标所倡导的.