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垂径定理—知识讲解（提高）

【学习目标】
1． 理解圆的对称性；
2． 掌握垂径定理及其推论；
3．学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题．

【要点梳理】
知识点一、垂径定理
1.垂径定理
　　垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.推论
　　平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

要点诠释：
　(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即

　(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
知识点二、垂径定理的拓展
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
（1） 平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
（4） 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
要点诠释：
在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）

【典型例题】
类型一、应用垂径定理进行计算与证明
　　1. 如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是 ．

【答案】.
【解析】作OM⊥AB于M、ON⊥CD于N，连结OA，
∵AB=CD，CE=1，ED=3，
∴OM=EN=1，AM=2，
∴OA=.
【点评】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.
举一反三：
【变式1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．

【答案】如图所示，过点O分别作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则四边形MONH为矩形，连结OB，
∴
，
，
∴ 在Rt△BOM中，．
【高清ID号： 356965 关联的位置名称（播放点名称）：例2-例3】
【变式2】如图，AB为⊙O的弦，M是AB上一点，若AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半径.

【答案】14cm.

【高清ID号：356965 关联的位置名称（播放点名称）：例2-例3】
　2. 已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.
【思路点拨】
在⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.
【答案与解析】
(1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，
并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO.
　　　　 ∵AB∥CD
　　　　 ∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.
　　　　 ∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，

　　　　 　 =8+6
　　　　 　 =14(cm)

图1 图2
(2)如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时，
　　　　 　同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)
　　　　 　∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.
【点评】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.
举一反三：
【变式】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________．
【答案】2或8．

类型二、垂径定理的综合应用
3. 要测量一个钢板上小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果用一个直径为10mm的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h＝8mm(如图所示)，求此小孔的直径d．

【思路点拨】
此小孔的直径d就是⊙O中的弦AB．根据垂径定理构造直角三角形来解决．
【答案与解析】
过O作MN⊥AB，交⊙O于M、N，垂足为C，
则，OC＝MC－OM＝8－5＝3mm．
在Rt△ACO中，AC＝，
∴ AB＝2AC＝2×4＝8mm．
答：此小孔的直径d为8mm．
【点评】应用垂径定理解题，一般转化为有关半径、弦、弦心距之间的关系与勾股定理的运算问题.
4. 不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F．
(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；
(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA＝OB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；
(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．

【答案与解析】
(1)如图所示，
在图①中AB、CD延长线交于⊙O外一点；
在图②中AB、CD交于⊙O内一点；
在图③中AB∥CD．

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