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轴对称图形提高练习题
一、 教学目标
掌握利用轴对称图形的性质解决最短路线问题的方法；等腰三角形性质的活用
二、 教学重难点
重点：轴对称的实际应用、等腰三角形性质
难点：轴对称的应用、角平分线与垂直平分线的应用、等腰三角形相关计算与证明
三、 基础知识梳理
轴对称的性质可运用于实际问题中的最短路线问题、球的反弹、光线反射等，解决办法是作对称点；
等腰三角形所有的性质包括：等边对等角等角对等边、三线合一、轴对称性等，主要应用于求跟角平分线和中垂线结合的求解问题
四、 典型例题分析
题型一：角平分线及其中垂线的应用
例1. （1）三角形内一点到三角形的三个顶点的距离相等的点是三角形____ ____的交点．
（2） 三角形内一点到三角形的三边的距离相等的点是三角形____ ____的交点．
（3）
例2. △ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，且BD：CD=3：2，BC=15cm，则点D到AB的距离是__________．

例3. 已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB = AC，BD平分∠ABC．求证：BC = AB + AD

例4. 如图，BP是△ABC的外角平分线，点P在∠BAC的角平分线上．求证：CP是△ABC的外角平分线．

练习：
1. 如图,裁剪师傅将一块长方形布料ABCD沿着AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，若∠BAF=60°，则∠DAE=
2. 如图,在△ABC中，∠C=90°，AD的平分∠BAC交BC 于D，点D到AB的距离为7 cm，CD=
3. 在△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，∠A=40°，则∠CDB= ，∠CBD=
4. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于D，若∠B=20°，
则∠DAC=

1题图 2题图 3题图 4题图

5. 如图，△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若AC = 10cm，则△DBE的周长等于( )
A．10cm B．8cm C．6cm D．9cm

④

①

②

③

6. 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
Ａ．1处 Ｂ．2处 Ｃ．3处 Ｄ．4处

7. 如图,△ABC中,∠BAC=110°,AB的垂直平分线交BC于点D,AC的垂直平分线交BC于点E,BC=10cm.
(1) 求△ADE的周长;(2)求∠DAE的度数.

、

题型二：轴对称性质的应用——最短路线问题

例5. 如图，EFGH是一个长方形的弹子球台面，有黑白两球分别位于A、B两点的位置．
（1）试问：怎样撞击黑球A，使黑球A先碰撞台边EF反弹后再撞击白球B？
（2）怎样撞击黑球A，使黑球先碰撞台边GH反弹后再击台边EF，最后击白球B？

例6. (1)在锐角∠AOB内有一定点P，试在OA、OB上确定两点C、D，使△PCD的周长最短．

(2)在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．

练习：
1. 在一条大的河流中有一形如三角形的小岛（如图3），岸与小岛有一桥相连．现准备在小岛的三边上各设立一个水质取样点．水利部门在岸边设立了一个观测站，每天有专人从观测站步行去三个取样点取样，然后带回去化验．请问，三个取样点应分别设在什么位置，才能使得每天取样所用时间最短(假设速度一定)?

小岛小岛
观测点

2. 如图，在直线CD上有一动点P，P在CD上从右往左运动的过程中，找出
（1） 点P到A、B距离之和最小时的位置；
（2） 点P到A、B距离相等时的位置；
（3） 点P到A、B的距离之差最大时P的位置。

题型三：等腰三角形的性质
例7. 一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少，求这个三角形的三个内角的度数。

例8. 如图，△ABC中，AB=AC,BC=BD=ED=EA求∠A的度数

A
B
C
D
E

例9. 如图，已知：在中，，，，。
求：的度数。

例10. 如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，
①求证：△BCE≌△ACD；
②求证：CF=CH；
③判断△CFH的形状并说明理由．

例11. 如图，在△ABC中， P是的BC边上一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R，若AQ=AR，则△ABC是等腰三角形吗？请说明理由。

练习：

1. 等腰三角形的一个角为45°，则它的底角为
等腰三角形的一个角为96°，则它的底角为

2. 等腰三角形的两个内角之比是1∶2，那么这个等腰三角形的顶角度数为___________.
3. 等腰三角形的周长是25 cm,一腰上的中线将周长分为3∶2两部分，则此三角形的底边长为____ _.

4. 如图， 中， ，试说明： ．

5. 如图，已知：是等边三角形，分别在AC、BC边上取点E、F，使，BE、AF相交于点D.求证：.

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