2018年高考文科数学分类汇编：专题三函数与导数.doc

《2018年高考文科数学分类汇编》
第三篇:函数与导数
一、 选择题
1.【2018全国一卷6】设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为
A． B． C． D．
2.【2018全国二卷10】若在是减函数，则的最大值是
A． B． C． D．
3.【2018全国三卷9】函数的图像大致为

4.【2018浙江卷5】函数y=sin2x的图象可能是

A． B． C． D．
二、填空题
1.【2018全国二卷13】曲线在点处的切线方程为__________．
2.【2018天津卷10】已知函数f(x)=exlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′（1）的值为__________．
3.【2018江苏卷11】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 ．

三． 解答题
1.【2018全国一卷21】已知函数．
（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，．

2.【2018全国二卷21】已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）证明：只有一个零点．

3．【2018全国三卷21】已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：当时，．

4.【2018北京卷19】设函数.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；
（Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围.

5.【2018天津卷20】设函数，其中,且是公差为的等差数列．
（I）若求曲线在点处的切线方程；
（II）若，求的极值；
（III）若曲线与直线有三个互异的公共点，求d的取值范围．

6．【2018江苏卷17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．
（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；
（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

7.【2018江苏卷19】（本小题满分16分）
记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．
（1）证明：函数与不存在“S点”；
（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；[来源:Zxxk.Com]

8.【2018浙江卷22】已知函数f(x)=−lnx．
（Ⅰ）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2；
（Ⅱ）若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．

9.【2018上海卷19】（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
（单位：分钟），
而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
I）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
II）求该地上班族S的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义.

参考答案
一、 选择题
1.D 2.A 3.D 4.D
二、填空题
1. 2. 3．
三．解答题
1．解：（1）f（x）的定义域为，f ′（x）=aex–．
由题设知，f ′（2）=0，所以a=．
从而f（x）=，f ′（x）=．
当0<x<2时，f ′（x）<0；当x>2时，f ′（x）>0．
所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．
（2）当a≥时，f（x）≥．
设g（x）=，则
当0<x<1时，g′（x）<0；当x>1时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．
故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．
因此，当时，．

2．解：（1）当a=3时，f（x）=，f ′（x）=．
令f ′（x）=0解得x=或x=．
当x∈（–∞，）∪（，+∞）时，f ′（x）>0；
当x∈（，）时，f ′（x）<0．
故f（x）在（–∞，），（，+∞）单调递增，在（，）单调递减．
（2）由于，所以等价于．
设=，则g ′（x）=≥0，仅当x=0时g ′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．
又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一个零点．
综上，f（x）只有一个零点．

3.解：（1），．
因此曲线在点处的切线方程是．
（2）当时，．
令，则．
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以．因此．

4.解：（Ⅰ）因为，
所以.
，
由题设知，即，解得.
（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.
若a>1，则当时，；
当时，.
所以在x=1处取得极小值.
若，则当时，，
所以.
所以1不是的极小值点.
综上可知，a的取值范围是.
方法二：.
（1）当a=0时，令得x=1.
随x的变化情况如下表：
x

1

+
0
−

↗
极大值
↘
∴在x=1处取得极大值，不合题意.
（2）当a>0时，令得.
①当，即a=1时，，∴在上单调递增，
∴无极值，不合题意.
②当，即0<a<1时，随x的变化情况如下表：
x

1

+
0
−
0
+

↗
极大值
↘
极小值
↗
∴在x=1处取得极大值，不合题意.
③当，即a>1时，随x的变化情况如下表：
x

+
0
−
0
+

↗
极大值
↘
极小值
↗
∴在x=1处取得极小值，即a>1满足题意.
（3）当a<0时，令得.
随x的变化情况如下表：
x

−
0
+
0
−

↘
极小值
↗
极大值
↘
∴在x=1处取得极大值，不合题意.
综上所述，a的取值范围为.

5.解：（I）由已知，可得f(x)=x(x−1)(x+1)=x3−x，故=3x2−1，因此f(0)=0，=−1，又因为曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y−f(0)=(x−0)，故所求切线方程为x+y=0．
（Ⅱ）由已知可得
f(x)=(x−t2+3)(x−t2)(x−t2−3)=(x−t2)3−9(x−t2)=x3−3t2x2+(3t22−9)x−t23+9t2．
故=3x2−6t2x+3t22−9．令=0，解得x=t2−，或x=t2+．
当x变化时，，f(x)的变化如下表：
x
(−∞，t2−)
t2−
(t2−，t2+)
t2+
(t2+，+∞)

+
0
−
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以函数f(x)的极大值为f(t2−)=(−)3−9×(−)=6；函数f(x)的极小值为f(t2+)=()3−9×()=−6．
（Ⅲ）解：曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−6有三个互异的公共点等价于关于x的方程(x−t2+d)(x−t2)(x−t2
−d)+(x−t2)+ 6=0有三个互异的实数解，令u=x−t2，可得u3+(1−d2)u+6=0．
设函数g(x)=x3+(1−d2)x+6，则曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−6有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点．
=3x3+(1−d2)．
当d2≤1时，≥0，这时在R上单调递增，不合题意．
当d2>1时，=0，解得x1=，x2=．
易得，g(x)在(−∞，x1)上单调递增，在[x1，x2]上单调递减，在(x2，+∞)上单调递增．
g(x)的极大值g(x1)=g()=>0．
g(x)的极小值g(x2)=g()=−．
若g(x2)≥0，由g(x)的单调性可知函数y=g(x)至多有两个零点，不合题意．
若即，也就是，
此时，
且，
从而由的单调性，可知函数在区间内各有一个零点，符合题意．
所以，的取值范围是．

6．解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．
过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，
故OE=40cosθ，EC=40sinθ，
则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），
△CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．
过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．
令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）．
当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，
所以sinθ的取值范围是[，1）．
答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为
1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．
（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），
则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）
=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．
设f（θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），
则．
令，得θ=，
当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为增函数；
当θ∈（，）时，，所以f（θ）为减函数，
因此，当θ=时，f（θ）取到最大值．
答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．[来源:学§科§网]

7.解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．
由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x），得
，此方程组无解，
因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．
（2）函数，，
则．
设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），得
，即，（*）
得，即，则．
当时，满足方程组（*），即为f（x）与g（x）的“S”点．
因此，a的值为．
（3）对任意a>0，设．
因为，且h（x）的图象是不间断的，
所以存在∈（0，1），使得．令，则b>0．
函数，
则．
由f（x）=g（x）且f′（x）=g′（x），得
，即，（**）
此时，满足方程组（**），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”．
因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．

8.解：（Ⅰ）函数f（x）的导函数，
由得，
因为，所以．
由基本不等式得．
因为，所以．
由题意得．
设，则，
所以
x
（0，16）
16
（16，+∞）

−
0
+

2−4ln2

所以g（x）在[256，+∞）上单调递增，
故，
即．
（Ⅱ）令m=，n=，则
f（m）–km–a>|a|+k–k–a≥0，
f（n）–kn–a<≤<0，
所以，存在x0∈（m，n）使f（x0）=kx0+a，
所以，对于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直线y=kx+a与曲线y=f（x）有公共点．
由f（x）=kx+a得．
设h（x）=，
则h′（x）=，
其中g（x）=．
由（Ⅰ）可知g（x）≥g（16），又a≤3–4ln2，
故–g（x）–1+a≤–g（16）–1+a=–3+4ln2+a≤0，
所以h′（x）≤0，即函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，因此方程f（x）–kx–a=0至多1个实根．
综上，当a≤3–4ln2时，对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．

9.解（1）①当时，自驾群体人均通勤时间为分钟，
公交群体人均通勤时间为分钟，此时公交群体人均通勤时间大于自驾群体人均通勤时间。
②当时：
令，得。
解得：或，
所以当时，自驾群体的人均通勤时间大于分钟，
此时公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间。
综上所述，当时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间。
（2）当时，，
当时，，
所以，
所以，
当时，。
所以当时，；
当时，，
则在上单调递减，
当时，，
则在上单调递增。
表示当自驾群体的范围在时，上班族的人均通勤时间随自驾群体的增加而减少；当自驾群体占比为时，人均通勤时间为最小值；当自驾群体超过时，上班族的人均通勤时间随自驾群体的增多而增加。