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2013学年奉贤区调研测试
高三数学试卷（文科） 2014.1.
（考试时间：120分钟，满分150分）
一. 填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-13题每个空格填对得4分，14题每空填对得2分否则一律得零分.
1、设,, 则=
2、函数的反函数
3、执行如图所示的程序框图．若输出，则输入角
4、已知是公比为2的等比数列，若，
则=
5、函数图像上一个最高点为, 相邻的一个最低点为,则
6、的三内角所对边的长分别为，设向量, ，若∥,则角的大小为 ．
7、已知函数，若且，则的取值范围是
8、已知定点和圆＋＝4上的动点，点是线段的中点，则点的轨迹方程为
9、等腰直角的一条直角边长为4，若将该三角形绕着直角边旋转一周所得的几何体的体积是,则
10、数列，如果是一个等差数列，则
11、四棱锥的底面是矩形,顶点在底面的射影是矩形对角线的交点，且四棱锥及其三视图如下(平行于主视图投影平面)，则四棱锥的体积为
第11题文科图
B
A
C
D
S
主视图
左视图
俯视图
2
6
4
12、函数的定义域,它的零点组成的集合是,的定义域,它的零点组成的集合是，则函数零点组成的集合是 （答案用、、的集合运算来表示）
13、已知定义在R上的函数对任意的都满足，当时，，则时的解析式是
14、已知函数，任取，定义集合:. 设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记.则 (1) 若函数，则=
（2） 若函数，则的最大值为
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15、空间过一点作已知直线的平行线的条数……………………………………………………（ ）
（A）0条 （B）1条 （C）无数条 （D）0或1条
16、设是上的任意函数，则下列叙述正确的是……………………………………（ ）
（A）是奇函数 （B）是奇函数
（C）是偶函数 （D）是偶函数
17、 椭圆的内接三角形（顶点、、都在椭圆上）
第17题图
的边分别过椭圆的焦点和，则周长………（ ）
（A）总大于 （B）总等于
（C）总小于 （D）与的大小不确定
18、**设双曲线上动点到定点的距离的最小值为，则的值为……………………（ ）
（A） （B） （C） 0 （D）1
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19、如图，正四面体中，为线段的中点，求异面直线与所成的角（结果用反三角函数值表示）。(12分)
20、已知函数．
（1）求方程的解集；（8分）
（2）当，求函数的值域。（6分）
21、在直角坐标系中，点到两点的距离之和等于4，设点的轨迹为，直线与交于两点．
（1）线段的长是3，求实数；（9分）
（2）求证：（5分）
22、投资公司拟投资开发某项新产品，市场评估能获得10~1000万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于万元，同时不超过投资收益的.
（1）设奖励方案的函数模型为，试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型的基本要求；(4分）
（2）公司预设的一个奖励方案的函数模型：；试分析这个函数模型是否符合公司要求；（6分）
（3）假设下面这个函数模型是符合公司的一个奖励方案： 求实数满足的条件（6分）
23、已知数列的各项均为正数，，且对任意，都有．数列前项的和.
（1）若数列是等比数列，求的值和（7分）；
（2）若数列是等差数列，求与的关系式（5分）；
（3）当时，求证：是一个常数（6分）；
2013学年奉贤区调研测试
高三数学试卷（文科）参考答案
一. 填空题 (本大题满分56分）
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 3 11. 16 12.
13. 14. (1) 2 (2) 2
二．选择题（本大题满分20分）
15. D 16. D 17. C 18. A
三． 解答题（本大题满分74分）
19. 取线段AB的中点N，连接MN、PN，M、N分别为线段BC、AB的中点
则，
所以为异面直线与所成的角（或其补角） 5分
设正四面体的棱长为
等边三角形PBC中，M为BC的中点，
等边三角形PBA中，N为BA的中点，
8分
三角形PMN中，
10分
得故异面直线与所成的角为 12分
20. （1）解法一：由，得 1分
由，得，（） 4分
由，
得，，（）． 7分
所以方程的解集为 8分
解法二： 4分
由，得，，，
所以方程的解集为 8分
（2）
因为 所以 所以 12分
所以 14分
21. 解：（1）设，由椭圆定义可知，点的轨迹是以为焦点，长半轴为2的椭圆， 2分
， 3分
故曲线的方程为． 4分
设，其坐标满足
消去并整理得， 5分
6分
8分
， 9分
（2） 10分
12分
因为A在第四象限，故．由知，
从而．又， 13分
故，即在题设条件下，恒有 14分
22. 解：（1）由题意知，公司对奖励方案的函数模型的基本要求是：
当时，
①是增函数；②恒成立；③恒成立 4分
（2）对于函数模型：
当时，是增函数， 5分
则显然恒成立 6分
而若使函数在上恒成立，整理即恒成立，
而， 8分
∴不恒成立． 9分
故该函数模型不符合公司要求． 10分
（3）对于函数模型符合要求，
当时有意义， 11分
则成立．
∴恒成立． 12分
设恒成立，所以
又在单调递增故
恒成立 13分
函数递增
14分
15分
，所以 16分
23. 解：(1)由题意得： 1分
2分
因为数列的各项均为正数，所以
当时，， 4分
当且时， 5分
6分
当时
当时所以
7分
(2)由题意得： 8分
9分
10分
12分
（3）计算
猜想 14分
欲证明恒成立
只需要证明恒成立
即要证明恒成立
即要证明恒成立 （***）
（***）左边=
（***）右边=
所以(***)成立 18分
方法二：计算
猜想 14分
由于，上式两边同除以，
得
所以，
所以 是常数 18分
·14·
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