二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质—知识讲解(提高).doc

二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质—知识讲解（提高）
责编：常春芳
【学习目标】
1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．
2．会作出y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．
3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．
5.掌握二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c (a≠0)的图象之间的关系.
【要点梳理】
要点一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质
1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象
二次函数y=ax2的图象（如图），是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.
抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴是y轴，它的顶点是坐标原点.当a＞ 0时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点.
2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法——描点法
描点法画图的基本步骤：列表、描点、连线.
（1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的x的值，求出相应的y值，填入表中.（自变量x的值写在第一行，其值从左到右，从小到大.）
（2）描点：以表中每对x和y的值为坐标，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地，点取的越多，图象就越准确.
（3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连结起来.
要点诠释：
（1）用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值.
（2）二次函数y=ax2(a≠0)的图象，是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数.
（3）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质
二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：
函数

图象
开口方向
顶点坐标
对称轴
函数变化
最大（小）值
y=ax2
a＞0

向上
（0，0）
y轴
x＞0时，y随x增大而增大；
x＜0时，y随x增大而减小.
　当x=0时，y最小=0
y=ax2
a＜0

向下
（0，0）
y轴
x＞0时，y随x增大而减小；
x＜0时，y随x增大而增大.
　当x=0时，y最大=0
要点诠释：
顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.
│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.
要点二、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象与性质
1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象
（1）

（2）

2.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质
关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：
函数

图象

开口方向
向上
向下
顶点坐标
(0，c)
(0，c)
对称轴
y轴
y轴
函数变化
当时，y随x的增大而增大；
当时，y随x的增大而减小.
当时，y随x的增大而减小；
当时，y随x的增大而增大.
最大（小）值
当时，
当时，
3.二次函数与之间的关系
的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象.
要点诠释：
抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同．
函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．
抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．

【典型例题】
类型一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质
1．（2014•宁夏）已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】本题可先由一次函数y=ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2的图象相比较看是否一致．（也可以先固定二次函数y=ax2图象中a的正负，再与一次函数比较．）
【答案】C；
【解析】A、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＞0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误；
B、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＞0，故B错误；
C、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＜0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；
D、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＜0，故D错误．
故选：C．
【总结升华】解此类题的基本方法有两种：方法一，根据选项逐个验证；方法二，分a＞0和a＜0两种情况讨论直接找答案.但要注意图象的交点情况.
举一反三：
【变式】在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象大致为（ ）．
【答案】B.
2.根据下列条件求a的取值范围：
(1)函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；
(2)函数y＝(3a-2)x2有最大值；
(3)抛物线y＝(a+2)x2与抛物线的形状相同；
(4)函数的图象是开口向上的抛物线．
【思路点拨】根据二次函数y=（a≠0）的图形和性质，结合草图解决问题.
【答案与解析】
(1)由题意得，a-2＜0，解得a＜2．
(2)由题意得，3a-2＜0，解得．
(3)由题意得，，解得，．
(4)由题意得，，解得a1＝-2，a2＝1，但a＞0，∴a＝1．
【总结升华】解答此类问题，要注意联想二次函数的图象和性质，抓住形状、开口、最值、增减性等特征，并结合草图去确定二次项系数的取值范围．
举一反三：
【变式】二次函数y＝mx有最高点，则m＝___________．
【答案】-2.
3. 二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2013在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2013在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2012B2013A2013都为等边三角形，求△A2012B2013A2013的边长．

【思路点拨】分别求出△A0A1B1，△A1A2B2，△A2A3B3的边长，找出边长的变化规律.
【答案与解析】
如图所示，作B1C1⊥y轴，垂足为C1．
∵△A0A1B1为等边三角形，∴∠A0B1C1＝30°．
设A0C1＝a，则A0B1＝2a，B1C1＝．∴B1(，)，
∴，∴，∴．
作B2C2⊥y轴，设A1C2＝m，则A1B2＝2m，C2B2＝m，
∴．
∴．
∴2m2-m-1＝0，
即(2m+1)(m-1)＝0，∴m＝1或(舍)．
∴A1B2＝2．
同理可求A2B3＝3，A3B4＝4，…
∴△A2012B2013A2013的边长为2013．
【总结升华】在△A0A1B1，△A1A2B2，△A2A3B3中，运用勾股定理表示出B1、B2、B3的坐标，利用抛物线解析式建立等式是关键.
类型二、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象与性质
4.（2014•江阴市校级二模）关于二次函数y=2x2+3，下列说法中正确的是（　　）
A. 它的开口方向是向下；
B. 当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；
C. 它的对称轴是x=2；
D. 当x=0时，y有最大值是3.
【答案】B.
【解析】
A、∵二次函数y=2x2+3中，x=2＞0，∴此抛物线开口向上，故本选项错误；
B、∵抛物线的对称轴x=﹣=0，∴当x＜﹣1时函数图象在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故本选项正确；
C、抛物线的对称轴为x=0，故本选项错误；
D、∵抛物线开口向上，∴此函数有最小值，故本选项错误．
故选B．
【总结升华】本题考查了二次函数的性质，主要涉及开口方向，对称轴，与y轴的交点坐标，最值问题，熟记二次函数的性质是解题的关键．

举一反三：
【变式】如图所示，抛物线交x轴于G、F，交y轴于点D，在x轴上方的抛物线上有两点B、E，它们关于y轴对称，点G、B在y轴左侧，BA⊥OG于点A，BC⊥OD于点C．四边形OABC与四边形ODEF的面积分别为6和10，则△ABG与△BCD的面积之和为________．

【答案】4.（提示：10-6=4.）
5.有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）若要在隧道壁上点P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m．求灯与点B的距离．

【思路点拨】（1）根据抛物线在坐标系的位置可设解析式：y=ax2+6，把点A（-4，0）代入即可；（2）灯离地面高4.5m，即y=4.5时，求x的值，再根据P点坐标，勾股定理求PB的值.
【答案与解析】
解：（1）由题意，设抛物线所对应的函数关系为y=ax2+6（a＜0），
∵点A（-4，0）或B（4，0）在抛物线上，
∴0=a•（-4）2+6，
16a+6=0，16a=-6，
．
故抛物线的函数关系式为.
（2）过点P作PQ⊥AB于Q，连接PB，则PQ=4.5m．
将y=4.5代入，得x=±2．
∴P（-2，4.5），Q（-2，0），
于是|PQ|=4.5，|BQ|=6，
从而|PB|=
所以照明灯与点B的距离为7.5m．
【总结升华】本题考查建系确定点的坐标，应用二次函数解决实际问题，建系的方法不唯一.