二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质—知识讲解(提高).doc

二次函数y=ax2(a0)的图象与性质知识讲解（提高）责编：常春芳 【学习目标】1经历探索二次函数y=ax2和y=ax2c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验2会作出y=ax2和y=ax2c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响3能说出y=ax2c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标4体会二次函数是某些实际问题的数学模型5.掌握二次函数y=ax2(a0)与y=ax2+c (a0)的图象之间的关系.【要点梳理】要点一、二次函数y=ax2（a0）的图象与性质1.二次函数y=ax2(a0)的图象二次函数y=ax2的图象（如图），是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线. 抛物线y=ax2（a0）的对称轴是y轴，它的顶点是坐标原点.当a 0时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当a0时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点.2.二次函数y=ax2(a0)的图象的画法描点法描点法画图的基本步骤：列表、描点、连线.（1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的x的值，求出相应的y值，填入表中.（自变量x的值写在第一行，其值从左到右，从小到大.） （2）描点：以表中每对x和y的值为坐标，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地，点取的越多，图象就越准确.（3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连结起来.要点诠释：（1）用描点法画二次函数y=ax2（a0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值.（2）二次函数y=ax2(a0)的图象，是轴对称图形，对称轴是y轴y=ax2(a0)是最简单的二次函数.（3）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.3.二次函数y=ax2(a0)的图象的性质二次函数y=ax2（a0）的图象的性质，见下表： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a0 向上 （0，0） y轴 x0时，y随x增大而增大； x0时，y随x增大而减小. 当x=0时，y最小=0 y=ax2 a0 向下 （0，0） y轴 x0时，y随x增大而减小； x0时，y随x增大而增大. 当x=0时，y最大=0 要点诠释： 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. a相同，抛物线的开口大小、形状相同.a越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，a越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.要点二、二次函数y=ax2+c(a0)的图象与性质 1.二次函数y=ax2+c(a0)的图象（1） （2） 2.二次函数y=ax2+c(a0)的图象的性质关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数图象开口方向向上向下顶点坐标(0，c)(0，c)对称轴y轴y轴函数变化当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.最大（小）值当时，当时，3.二次函数与之间的关系的图象向上（c0）【或向下（c0）】平移c个单位得到的图象.要点诠释：抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c) 抛物线yax2(a0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已【典型例题】类型一、二次函数y=ax2（a0）的图象与性质1（2014宁夏）已知a0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（）ABCD【思路点拨】本题可先由一次函数y=ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2的图象相比较看是否一致（也可以先固定二次函数y=ax2图象中a的正负，再与一次函数比较）【答案】C；【解析】A、函数y=ax中，a0，y=ax2中，a0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误；B、函数y=ax中，a0，y=ax2中，a0，故B错误；C、函数y=ax中，a0，y=ax2中，a0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；D、函数y=ax中，a0，y=ax2中，a0，故D错误故选：C【总结升华】解此类题的基本方法有两种：方法一，根据选项逐个验证；方法二，分a0和a0两种情况讨论直接找答案.但要注意图象的交点情况. 举一反三：【变式】在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象大致为（ ）【答案】B.2.根据下列条件求a的取值范围： (1)函数y(a-2)x2，当x0时，y随x的增大而减小，当x0时，y随x的增大而增大； (2)函数y(3a-2)x2有最大值； (3)抛物线y(a+2)x2与抛物线的形状相同； (4)函数的图象是开口向上的抛物线【思路点拨】根据二次函数y=（a0）的图形和性质，结合草图解决问题.【答案与解析】(1)由题意得，a-20，解得a2 (2)由题意得，3a-20，解得 (3)由题意得，解得， (4)由题意得，解得a1-2，a21，但a0，a1【总结升华】解答此类问题，要注意联想二次函数的图象和性质，抓住形状、开口、最值、增减性等特征，并结合草图去确定二次项系数的取值范围举一反三：【变式】二次函数ymx有最高点，则m_【答案】-2.3. 二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，A2013在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，B2013在二次函数位于第一象限的图象上，若A0B1A1，A1B2A2，A2B3A3，A2012B2013A2013都为等边三角形，求A2012B2013A2013的边长 【思路点拨】分别求出A0A1B1，A1A2B2，A2A3B3的边长，找出边长的变化规律.【答案与解析】如图所示，作B1C1y轴，垂足为C1 A0A1B1为等边三角形，A0B1C130 设A0C1a，则A0B12a，B1C1B1(，)， ，作B2C2y轴，设A1C2m，则A1B22m，C2B2m，2m2-m-10，即(2m+1)(m-1)0，m1或(舍)A1B22同理可求A2B33，A3B44，A2012B2013A2013的边长为2013【总结升华】在A0A1B1，A1A2B2，A2A3B3中，运用勾股定理表示出B1、B2、B3的坐标，利用抛物线解析式建立等式是关键.类型二、二次函数y=ax2+c(a0)的图象与性质4.（2014江阴市校级二模）关于二次函数y=2x2+3，下列说法中正确的是（）A. 它的开口方向是向下；B. 当x1时，y随x的增大而减小；C. 它的对称轴是x=2；D. 当x=0时，y有最大值是3.【答案】B.【解析】A、二次函数y=2x2+3中，x=20，此抛物线开口向上，故本选项错误；B、抛物线的对称轴x=0，当x1时函数图象在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故本选项正确；C、抛物线的对称轴为x=0，故本选项错误；D、抛物线开口向上，此函数有最小值，故本选项错误故选B【总结升华】本题考查了二次函数的性质，主要涉及开口方向，对称轴，与y轴的交点坐标，最值问题，熟记二次函数的性质是解题的关键举一反三：【变式】如图所示，抛物线交x轴于G、F，交y轴于点D，在x轴上方的抛物线上有两点B、E，它们关于y轴对称，点G、B在y轴左侧，BAOG于点A，BCOD于点C四边形OABC与四边形ODEF的面积分别为6和10，则ABG与BCD的面积之和为_【答案】4.（提示：10-6=4.）5.有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）若要在隧道壁上点P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m求灯与点B的距离 【思路点拨】（1）根据抛物线在坐标系的位置可设解析式：y=ax2+6，把点A（-4，0）代入即可；（2）灯离地面高4.5m，即y=4.5时，求x的值，再根据P点坐标，勾股定理求PB的值.【答案与解析】解：（1）由题意，设抛物线所对应的函数关系为y=ax2+6（a0），点A（-4，0）或B（4，0）在抛物线上，0=a（-4）2+6，16a+6=0，16a=-6，故抛物线的函数关系式为.（2）过点P作PQAB于Q，连接PB，则PQ=4.5m 将y=4.5代入，得x=2 P（-2，4.5），Q（-2，0）， 于是|PQ|=4.5，|BQ|=6， 从而|PB|= 所以照明灯与点B的距离为7.5m【总结升华】本题考查建系确定点的坐标，应用二次函数解决实际问题，建系的方法不唯一.