高中应用题.doc

数学应用问题
 一、知识要点
    数学应用题是指有实际背景或问题有实际意义的数学问题。数学的高度抽象决定了数学应用的广泛性，因而应用题的非数学背景是多种多样的，解应用题往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的有关问题，并舍弃与数学无关的非本质因素，通过抽象转化为相应的数学问题。解题的一般步骤为：
    （1）缜密审题：要冷静读题，理解问题的实际背景，明确题意，把握问题的数学本质。
    （2）建立数学模型：具体分析问题中的数量关系，根据题目的特点，建立能正确反映原问题实质的数学模型，将应用问题转化为数学问题。
    （3）运用数学知识和方法解决上述数学问题，检验结果的实际意义，作出答案。建立数学模型是解应用题的关键，要注重积累，认真总结，掌握常见数学模型的构作方法。

二、例题解析
例1、 某林场原有森林木材存量为a，木材以每年25%的增长率生长，若每年冬天需要砍伐的木材量是一个常量，为了实现经过20年达到木材存量至少翻两番的目标，那么每年至多只能砍伐多少木材量？（计算时取 lg2=0.30 ）。

解：本例可以将实际问题归纳为数列问题，然后通过解不等式解决，它是一类问题的代表。
设每年冬天木材砍伐量为x，扣除砍伐量后，木材存量组成一个数列，
解：本例可以将实际问题归纳为数列问题，然后通过解不等式解决，它是一类问题的代表。
设每年冬天木材砍伐量为x，扣除砍伐量后，木材存量组成一个数列，

即数列是等比数列，首项为，公比

  则lgA=20(lg5-lg4)=20(1-3lg2)=2
∴A=100

即数列是等比数列，首项为，公比

  则lgA=20(lg5-lg4)=20(1-3lg2)=2
∴A=100

答：每年至多只能砍伐木材量。

例2、 假设国家收购某种农产品的价格是120元/担，其中征税标准为每100元征8元（叫作税率为8个百分点，即8%）。计划可收购m万担，为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点。
（1）写出税收y（万元）与x的函授关系式；
（2）要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78%，试确定x的范围。

解：解答实际应用题的关键在于如何将文字语言转化为数学中的符号语言。
（1）由题设，调节后税率为（8-x）%，预计可收购
          m(1+2x%)万担，总金额为120m（1+2x%) 万元，
    依题意得 ：

（2）原计划税收为万元，依题意有：

       故为所求。

例3、在一张半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度I和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角的正弦成正比，而和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即：，其中k是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h，才能使桌子边缘处最亮？

解：本题即为题目中提供解决问题的经验公式的一类应用题，如图所示，问题的本质是求照度I取最大值时，高度h 应取何值，从题设公式 中，可以看出影响I的大小变化的是两个变量与 r ，如何用h表示与r，或者设法消去与 r 中的一个，总之使照度 I 成为一元函数，再求出函数取得最大值的条件即成为解题的关键。

为便于求I的最大值，可先求的最大值，
（常数）
当且仅当，即时，上式取等号，亦即取得最大值，同时I取得最大值。
此时，
∴当把灯挂在桌面正中央离桌面处时，桌子边缘亮度最大。

例4、某工厂拟建造一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面图如下），由于地形限制，长、宽都不能超过16米。如果池外圈周壁造价为每米400元，中间两条隔墙造价为每米248元，池底造价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计。试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。

解：设污水池长x米，则宽为米，
总造价:

当且仅当，即x=18时取等号。

  即Q(x)最小值不是44800元。
为求Q(x)在上的最小值，不妨研究 Q(x)的单调性：

故在上是减函数
故最小值为
即x=16米时，
综上知，当污水池长为16米，宽为12.5米时，总造价最低，为45000元。

三、复习思考
1、将一半径为R的木球加工成一正方体木块，则木块的最大体积为（ ）
  A、    B、   C、     D、

2、某抛物线形拱桥的跨度为20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需用一根柱支撑，其中最长的支柱是（ ）
  A、1.48米      B、2.92米     C、3.84米     D、4米

3、某工厂生产机器的产量，第二年比第一年增长的百分率为，第三年比第二年增长的百分率为，第四年比第三年增长的百分率为，设年平增长率为P，且++为定值，则P的最大值为     

4、某地区有绿地 1000亩，计划以后三年中每年比前一年增加10%，则三年后绿地的亩数是     

5、某企业经过调整后，第一年的资金增长率为300%，以后每年的资金增长率都是前一年增长率的。
（1）经过4年后，企业的资金是原来资金的多少倍？
（2）如果由于某种原因，每年损失资金的5%，那么经过多
     少年后企业的 资金开始下降？

解：本例可以将实际问题归纳为数列问题，然后通过解不等式解决，它是一类问题的代表。
设每年冬天木材砍伐量为x，扣除砍伐量后，木材存量组成一个数列，

即数列是等比数列，首项为，公比

  则lgA=20(lg5-lg4)=20(1-3lg2)=2
∴A=100

一、知识要点
    数学应用题是指有实际背景或问题有实际意义的数学问题。数学的高度抽象决定了数学应用的广泛性，因而应用题的非数学背景是多种多样的，解应用题往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的有关问题，并舍弃与数学无关的非本质因素，通过抽象转化为相应的数学问题。解题的一般步骤为：
    （1）缜密审题：要冷静读题，理解问题的实际背景，明确题意，把握问题的数学本质。
    （2）建立数学模型：具体分析问题中的数量关系，根据题目的特点，建立能正确反映原问题实质的数学模型，将应用问题转化为数学问题。
    （3）运用数学知识和方法解决上述数学问题，检验结果的实际意义，作出答案。建立数学模型是解应用题的关键，要注重积累，认真总结，掌握常见数学模型的构作方法。

二、例题解析
例1、 某林场原有森林木材存量为a，木材以每年25%的增长率生长，若每年冬天需要砍伐的木材量是一个常量，为了实现经过20年达到木材存量至少翻两番的目标，那么每年至多只能砍伐多少木材量？（计算时取 lg2=0.30 ）。

解：本例可以将实际问题归纳为数列问题，然后通过解不等式解决，它是一类问题的代表。
设每年冬天木材砍伐量为x，扣除砍伐量后，木材存量组成一个数列，

即数列是等比数列，首项为，公比

  则lgA=20(lg5-lg4)=20(1-3lg2)=2
∴A=100

答：每年至多只能砍伐木材量。

例2、 假设国家收购某种农产品的价格是120元/担，其中征税标准为每100元征8元（叫作税率为8个百分点，即8%）。计划可收购m万担，为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点。
（1）写出税收y（万元）与x的函授关系式；
（2）要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78%，试确定x的范围。

解：解答实际应用题的关键在于如何将文字语言转化为数学中的符号语言。
（1）由题设，调节后税率为（8-x）%，预计可收购
          m(1+2x%)万担，总金额为120m（1+2x%) 万元，
    依题意得 ：

（2）原计划税收为万元，依题意有：

       故为所求。

例3、在一张半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度I和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角的正弦成正比，而和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即：，其中k是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h，才能使桌子边缘处最亮？

解：本题即为题目中提供解决问题的经验公式的一类应用题，如图所示，问题的本质是求照度I取最大值时，高度h 应取何值，从题设公式 中，可以看出影响I的大小变化的是两个变量与 r ，如何用h表示与r，或者设法消去与 r 中的一个，总之使照度 I 成为一元函数，再求出函数取得最大值的条件即成为解题的关键。

为便于求I的最大值，可先求的最大值，
（常数）
当且仅当，即时，上式取等号，亦即取得最大值，同时I取得最大值。
此时，
∴当把灯挂在桌面正中央离桌面处时，桌子边缘亮度最大。

例4、某工厂拟建造一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面图如下），由于地形限制，长、宽都不能超过16米。如果池外圈周壁造价为每米400元，中间两条隔墙造价为每米248元，池底造价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计。试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。

解：设污水池长x米，则宽为米，
总造价:

当且仅当，即x=18时取等号。

  即Q(x)最小值不是44800元。
为求Q(x)在上的最小值，不妨研究 Q(x)的单调性：

故在上是减函数
故最小值为
即x=16米时，
综上知，当污水池长为16米，宽为12.5米时，总造价最低，为45000元。

三、复习思考
1、将一半径为R的木球加工成一正方体木块，则木块的最大体积为（ ）
  A、    B、   C、     D、

2、某抛物线形拱桥的跨度为20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需用一根柱支撑，其中最长的支柱是（ ）
  A、1.48米      B、2.92米     C、3.84米     D、4米

3、某工厂生产机器的产量，第二年比第一年增长的百分率为，第三年比第二年增长的百分率为，第四年比第三年增长的百分率为，设年平增长率为P，且++为定值，则P的最大值为     

4、某地区有绿地 1000亩，计划以后三年中每年比前一年增加10%，则三年后绿地的亩数是     

5、某企业经过调整后，第一年的资金增长率为300%，以后每年的资金增长率都是前一年增长率的。
（1）经过4年后，企业的资金是原来资金的多少倍？
（2）如果由于某种原因，每年损失资金的5%，那么经过多
     少年后企业的 资金开始下降？