绝对值(提高)知识讲解.doc

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绝对值（提高）
撰稿：孙景艳 审稿：赵炜
【学习目标】
1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；
2．进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；
3．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；
4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.
【要点梳理】
要点一、绝对值
1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.
要点诠释：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：

（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
要点二、有理数的大小比较
1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．
2.法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
两数同号
同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号
正数大于负数
－数为0
正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0
要点诠释：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2） 比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．
3. 作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．
4. 求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立． 若a、b为任意负数，则与上述结论相反．
5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.
【典型例题】
类型一、绝对值的概念
1．计算：（1） （2）|-4|+|3|+|0| （3）-|+(-8)|
【答案与解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果.
解：(1) ，
(2)|-4|+|3|+|0|＝4+3+0＝7，
(3)-|+(-8)|＝-[-(-8)]＝-8．
【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解，一种是利用绝对值的代数意义求解，后种方法的具体做法：首先判断这个数是正数、负数还是0．再根据绝对值的代数意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0．从而求出该数的绝对值．
2．如果|x|＝6，|y|＝4，且x＜y．试求x、y的值．
【思路点拨】6和-6的绝对值都等于6，4和-4的绝对值都等于4，所以要注意分类讨论．
【答案与解析】
解：因为|x|＝6，所以x＝6或x＝-6；
因为|y|＝4，所以y＝4或y＝-4；
由于x＜y，故x只能是-6，因此x＝-6，y＝±4．
【总结升华】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数.此外，此题x＝-6，y＝±4，就是x＝-6，y＝4或x＝-6，y＝-4.
举一反三：
【变式1】 (1)如果|x|＝6，|y|＝4，且x＞y，则x、y的值各是多少?
【答案】x＝6，y＝±4
【变式2】如果数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为 ．
如果｜x－2｜＝1，那么x＝ ；
如果｜x｜＞3，那么x的范围是 ．
【答案】6或-6；1或3；或
【变式3】已知| a |＝3，| b |＝4，若a，b同号，则| a +b |＝_________；若a，b异号，则| a+b |＝________．据此讨论| a+b |与| a | + | b |的大小关系．
【答案】7，1；若a，b同号或至少有一个为零，则|a+b|=|a|+|b|；若a，b异号，则|a+b|＜|a|+|b|，
由此可得：|a+b|≤|a|+|b| .
类型二、比大小
3． 比较下列每组数的大小：
(1)-(-5)与-|-5|；(2)-(+3)与0；(3)与；(4)与．
【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与0、负数与0、正数与负数、两个正数还是两个负数”，然后比较．

【答案与解析】
解： (1)化简得：-(-5)＝5，-|-5|＝-5．
因为正数大于一切负数，所以-(-5)＞-|-5|．
(2)化简得：-(+3)＝-3．因为负数小于零，所以-(+3)＜0．
(3)化简得：．这是两个负数比较大小，因为，，且．所以．
(4)化简得：-|-3.14|＝-3.14，这是两个负数比较大小，因为 |-π|＝π，|-3.14|＝3.14，而π＞3.14，所以-π＜-|-3.14|．
【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断．
举一反三：
【高清课堂：绝对值比大小 例（简单举例）】
【变式1】比大小：
（1） －0.3 （2） ．
【答案】＞；＞
【高清课堂：绝对值比大小 典型例题2（最后两个）】
【变式2】比大小：（1）______－1.384；（2） －π___－3.14．
【答案】＞；＜
【变式3】若m＞0，n＜0，且|m|＞|n|，用“＞”把m，-m，n，-n连接起来．
【答案】解法一：∵ m＞0，n＜0，
∴ m为正数，-m为负数，n为负数，-n为正数．
又∵ 正数大于一切负数，且|m|＞|n|，
∴ m＞-n＞n＞-m．
解法二：因为m＞0，n＜0且|m|＞|n|，
把m，n，-m，-n表示在数轴上，如图所示．

∵ 数轴上的数右边的数总比左边的数大，
∴ m＞-n＞n＞-m．
类型三、含有字母的绝对值的化简
4. 把下列各式去掉绝对值的符号．
(1)|a-4|(a≥4)；(2)|5-b|(b＞5)．
【答案与解析】
(1)∵ a≥4，∴a-4≥0，∴ |a-4|＝a-4．
(2)∵ b＞5，∴ 5-b＜0，∴ |5-b|＝-(5-b)＝b-5．
【总结升华】由字母的取值范围来判断绝对值里面的符号情况，再根据绝对值的意义去掉绝对值的符号.
举一反三：
【变式1】已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示：

化简：.
【答案】
解：由图所示，可得．
　　∴ ，，，
　　∵
　　　　　 ．
　　∴ 原式．
【变式2】求的最小值．
【答案】
解法一：当时，则

当时，则
当时，则
综上：当时，取得最小值为：5.
解法二：借助数轴分类讨论： ①； ②； ③.
　　　　的几何意义为对应的点到-2对应点的距离与对应点到3对应点的距离和．

由图明显看出时取最小值．
所以，时，取最小值5.
类型四、绝对值非负性的应用
5. 已知a、b为有理数，且满足：，则a=_______，b=________．
【答案与解析】由，，，可得 ∴
【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0．几个非负数的和为0，则每一个数均为0．
举一反三：
【变式1】已知，则x的取值范围是________．
【答案】；提示：将看成整体，即，则，故，．
【变式2】已知b为正整数，且a、b满足，求的值．
【答案】解：由题意得 ∴ 所以，
类型五、绝对值的实际应用
6．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．
【答案与解析】
解：因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．
【总结升华】绝对值越小，越接近标准.
举一反三：
【变式】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?
【答案】
解：小虫爬行的总路程为：
|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm)
小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒)
答：小虫一共可以得到108粒芝麻.

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