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集合的含义和表示

知识点一：集合的含义
集合的概念：一般地，我们将研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫为集合（简称集）。元素用
小写字母a,b,c表示，集合用大写字母A,B,C表示。
集合中元素的性质：
确定性：即那些元素是属于这个集合的，那些元素不属于这个集合是明确的。比如高山就不构成集合，胖
人也不构成集合。
互异性：集合中的元素互不相同。
无序性：元素之间是没有顺序的，如：{0,1}={1,0}
元素与集合的关系：“属于”和“不属于”
（1）如果是集合的元素，就说属于，记作∈
（2）如果不是集合的元素，就说不属于，记作 （“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过
来写）
集合的分类：
　　 1、  有限集：含有有限个元素的集合。
　　 2、  无限集：含有无限个元素的集合。
　　 3、  空集：不含任何元素的集合。记作Φ，如：

例：
1，①接近于0的数的全体； ②比较小的正整数全体；
③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；
⑤的近似值的全体．
其中能构成集合的组数有( )
A．2组 B．3组 C．4组 D．5组

2对于集合A＝{2，4，6}，若a∈A，则6－a∈A，那么a的值是______．
3集合{3，x，x2－2x}中，x应满足的条件是______

知识点二：常用数集的记法

（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N，
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+
（3）整数集：全体整数的集合记作Z ,
（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,
（5）实数集：全体实数的集合记作R
注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0
（2）非负整数集内排除0的集记作N*或N+。
例： ①1______N，0______N．－3______Q，0.5______Z，______R．
②______R，______Q，｜－3|______N＋，｜－｜______Z．

知识点三：集合的表示方法
（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2
5y3-x，x2+y2}，…；各元素之间用逗号分开。
（2）描述法：把集合中的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成的行
式。
注：用描述法表示集合，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应该符合什么条件，从而准确理解
集合的意义．例如：
①集合 中的元素是 ，它表示函数 中自变量 的取值范围，即
；
②集合 中的元素是 ，它表示函数值。的取值范围，即 ；
　　 ③集合 中的元素是点 ，它表示方程 的解组成的集合，或者理解为表示曲线
上的点组成的集合；
实际上，这是三个完全不同的集合
A
1 2 3 4
（3）韦恩（Venn）图示意

例 ：请表示下列集合：，
①方程x2－ 9=0的解的集合；
②大于0且小于10的奇数的集合；
③不等式x－7<3的解集；
④抛物线y=x2上的点集；

课堂练习：
1． 下列说法正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　　)
A.,是两个集合 B.中有两个元素
Ｃ.是有限集　　　　Ｄ.是空集
2.将集合用列举法表示正确的是　　　　　　(　　　　)
Ａ.　　Ｂ. Ｃ.　　　Ｄ.
3.给出下列４个关系式：其中正确的个数是(　　)
Ａ.１个　　　Ｂ.２个　　　Ｃ.３个　　　Ｄ.４个
4.已知A＝{x|3－3x>0}，则下列各式正确的是(　　)
A．3∈A B．1∈A
C．0∈A D．－1∉A

555435455
5.5高考资源网5下列四个集合中，不同于另外三个的是(　　)
A．{y|y＝2} B．{x＝2}
C．{2} D．{x|x2－4x＋4＝0}
6.下列关系中，正确的个数为________．
①∈R；②∉Q；③|－3|∉N*；④|－|∈Q.

7用列举法表示A={y|y=x2+1,-2≤x≤2,xÎZ}为_______________.
8已知集合Ａ＝则在实数范围内不能取哪些值＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
9(创新题)已知集合中的三个元素是的三边长,那么一定不是
Ａ.锐角三角形　　　　Ｂ.直角三角形　　　　Ｃ.钝角三角形　　　Ｄ.等腰三角形
10已知集合{1,a,b}与{-1,-b,1}是同一集合,求实数a、b的值.

11已知集合，a为实数
（1）若A是空集，求a的取值范围（2）若A是单元素集，求a的值
（3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围

课后练习：
一、选择题
1．下列命题中正确的(　　)
①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x－1)2(x－2)＝0的所 有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x|4<x<5}可以用列举法表示．
A．只有①和④ B．只有②和③
C．只有② D．以上语句都不对
2．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为(　　)
A．{1,1} B．{1}
C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}
3．已知集合A＝{x∈N*|－≤x≤}，则必有(　　)
A．－1∈A B．0∈A
C.∈A D．1∈A
4．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为(　　)
A．0 B．2
C．3 D．6
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知集合A＝{1，a2}，实数a不能取的值的集合是________．
6．已知P＝{x|2＜x＜a，x∈N}，已知集合P中恰有3个元素，则整数a＝________.
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．选择适当的方法表示下列集合集．
(1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；
(2)大于2且小于6的有理数；
(3)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．

8．设A表示集合{a2＋2a－3,2,3}，B表示集合{2，|a＋3|}，已知5∈A且5∉B，求a的值．

四、 能力提高题
9．(10分)已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}．
(1)若A中有两个元素，求实数a的取值范围；
(2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．

课后练习答案：
1【解析】　{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；②符合集合中元素的无序性，正确；③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．故选C.
【答案】　C
C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}
2【解析】　集合{x|x2－2x＋1＝0}实质是方程x2－2x＋1＝0的解集，此方程有两相等实根，为1，故可表示为{1}．故选B.
【答案】　B
C.∈A D．1∈A
3【解析】　∵x∈N*，－≤x≤，
∴x＝1,2，
即A＝{1,2}，∴1∈A.故选D.
【答案】　D
4【解析】　依题意，A*B＝{0,2,4}，其所有元素之和为6，故选D.
【答案】　D
5【解析】　由互异性知a2≠1，即a≠±1，
故实数a不能取的值的集合是{1，－1}．
【答案】　{1，－1}
6【解析】　用数轴分析可知a＝6时，集合P中恰有3个元素3,4,5.
【答案】　6
7【解析】　(1)方程的实数根为－1,0,3，故可以用列举法表示为{－1,0,3}，当然也可以用描述法表示为{x|x(x2－2x－3)＝0}，有限集．
(2)由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q|2<x<6}，无限集．
(3)用描述法表示该集合为
M＝{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}或用列举法表示该集合为
{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}
8【解析】　因为5∈A，所以a2＋2a－3＝5，
解得a＝2或a＝－4.
当a＝2时，|a＋3|＝5，不符合题意，应舍去．
当a＝－4时，|a＋3|＝1，符合题意，所以a＝－4.
9【解析】　(1)∵A中有两个元素，
∴方程ax2－3x－4＝0有两个不等的实数根，
∴即a＞－.∴a＞－，且a≠0.
(2)当a＝0时，A＝{－}；
当a≠0时，若关于x的方程ax2－3x－4＝0有两个相等的实数根，Δ＝9＋16a＝0，即a＝－；
若关于x的方程无实数根，则Δ＝9＋16a＜0，
即a＜－；
故所求的a的取值范围是a≤－或a＝0.