泛函及泛函极值.doc

泛函和泛函的极值
泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。
变分法的基本问题是求解泛函的极值。
作为变分法的简单例题。考察x,y平面上连接两个定点的所有曲线中，求满足边界条件的任意曲线y(x)中最短曲线。
设P1（x1，y1）和P2（x2，y2）为平面上给定的两点，y（x）为连接两点的任意曲线。于是，这一曲线的长度为

    连接P1，P2两点的曲线有无数条，每一条曲线都有一个L值与其对应。满足边界条件的y（x）称为容许函数，问题是要从这些曲线，容许函数中找出使得曲线长度L最小的一条。
根据上式，L [y]依赖于y（x），而y（x）是x的函数，因此称y（x）为自变函数；L [y]是倚赖于自变函数的函数，称为泛函。
求解最短程线问题，即在满足边界条件
在x=x1时， y（x）=y1   y'（x1）= y'1
在x=x2时， y（x）=y2   y'（x1）= y'1
的函数y（x）中，求使得泛函L [y]为极值的特定函数。因此 y（x）称为容许函数。
    上述问题应用变分法可以概括为求解泛函

在边界条件 y（x1）=y1,  y（x2）=y2的极小值问题。

假设函数y（x）是使得泛函L [y]为最小的特定函数（真实的）。变分法有兴趣研究的是邻近于y（x）的任意容许函数 引起泛函L []的改变。设

其中e 为小参数，而h (x)为边界值为零的任意函数。当x固定时，容许函数与y（x）的差 d y 称为泛函自变函数的变分，即

类似地，容许函数的斜率与y（x）斜率的差d y', 称为泛函自变函数斜率的变分，即

应该注意 d y 与函数y（x）的微分dy之间的差别，dy是自变量x的改变量dx引起的y（x）的无穷小增量。而变分d y 是 y（x）的任意一个微小的改变量。
设泛函增量

按泰勒级数展开，则

设泛函的增量由泛函的变分表示，有

分别定义为泛函的一阶，二阶或k阶变分，分别为e 的一次，二次或者k次齐次式。
    根据假设，y（x）是使得泛函J[y]为最小的特定函数。从而泛函增量D J 大于零。注意到当参数e 减小时，函数 趋近于y（x），泛函增量D J 趋近于零。
    首先讨论泛函J[y]为极值的条件，考虑泛函增量各项相对量阶的大小。由于一阶变分d y 与小参数e 成正比，而二阶变分d 2y 与小参数e2 成正比，一般的讲，而k阶变分d ky与小参数ek 成正比。因此，当e 充分小时，二阶以上各项变分与一阶变分d J 比较，可以忽略不计。所以，泛函增量D J 趋近于零的条件为
D J =0
    在泛函极值条件确定后，如果分析泛函的极值是最小值还是最大值，需要考虑泛函的二阶变分d 2J。
在泛函极值条件确定后，如果分析泛函的极值是最小值还是最大值，需要考虑泛函的二阶变分 。因为满足极值条件时

    由于二阶变分d 2J与小参数e 成正比，而k阶变分d kJ 与小参数e k 成正比。因此，当e 充分小时，三阶以上变分与二阶变分d 2J 比较，可以忽略不计。因此，如果d 2J ≥0，则 D J＞0，泛函J[y]为极小值的；反之，如果 d 2J ≤0，则D J ＜0，泛函J[y]为极大值的。
    因此可以得出结论，泛函J具有极值的条件是其一阶变分d J=0，如果二阶变分d 2J是正定的，则此极值是最小值；如果二阶变分d 2J是负定的，则此极值是最大值。
    上述条件为泛函极值的充分条件。以下讨论泛函J [y]极值的必要条件。
    对于泛函J[y]的一阶变分        

    由于变分d y 和d y' 不是独立无关的，因此上式第二项积分可以写作

回代则

回代，则

    由于函数y（x）在P1，P2 两点的值为已知，d y=在这两点不可能有变化，即在x=x1和x=x2时， d y=0，所以

    由于d y在区间（x1,x2）是x的任意函数,所以上式成立的必要条件为积分函数在区间（x1,x2）内为零。即y（x）能使得泛函为最大或者最小的必要条件是

    上式称为欧拉(Euler)方程。求解此方程并且利用相应的边界条件, 就可以确定y（x）。欧拉方程仅仅是泛函极值存在的必要条件，并不是充分条件。如果要确定泛函J为极大值或者极小值，还需要判断其二阶变分d 2 J 大于还是小于零。
例题III-1 已知泛函

满足边界条件 ，试求泛函在什么曲线上取极值。
解：  欧拉方程为                   
通解                             
根据边界条件，可得：                C=0， D=1
  所以                              
即泛函 在正弦函数曲线上达到极值。