焦距与视角的换算.doc

焦距与视角的换算

焦距与视角换算
焦距
视角
杂谈

原文自：從薄透鏡成像談起：焦距與視角的換算
    假设各位了解视角的定义、焦长的定义、凸透镜成像原理，以及它们的变化对成像画面有何影响，这里只是单纯的提供视角与焦长的转换原则，简单的说：影响视角的因素，包括焦长及底片（或感光元件）的片幅大小。

    在许多情况下，我们常将镜头视为一等效的薄凸透镜，此举可忽略很多光学设计上的细节与考量，但观念方面则是相符的。
    这张图片定义了镜心（或称光心）的位置O，焦点的位置F等，其中OF线段即焦距（focal length），而OF线段的延长线称为光轴（optical axis）。在此例中，光线由左而右穿过镜片。
回忆老师说过，平行光轴的光线将汇聚于镜后焦点，即F的位置，如下图所示：
    然而，底片（或感光元件）是一个平面，并不是一个点而已。其中A与B分别表示底片（或感光元件）两个端点在此侧面图的位置。 
    光线是四面八方而来的，图中的A、B两个位置也会被照顾到：
    最后，我们整理出底下这张图片，其中CW线段与DZ线段（透镜左方的两条红线）所围出来的角度便是取景范围，即所谓视角（Angel of View）。

公式推演
接下来是公式的推演，根据上图：
∵CW线段与OX线段平行，且DZ线段与OY线段平行
∴「CW线段与DZ线段的夹角」即「OX线段与线段OY」的夹角，亦等于「OA线段与OB线段」的夹角。
让我们将夹角称为θ，OF长度（焦距）称为f，将AB的长度（片幅）称为L。

■若已知焦距，片幅，欲计算视角：
∵tan(θ/2)=(L/2)/f
∴θ=2*atan((L/2)/f)
■若已知视角，片幅，欲计算焦距：
∵tan(θ/2)=(L/2)/f
∴f=(L/2)/tan(θ/2)
以上公式都是利用已知的两项条件，去计算第三项数据这里补充对L（片幅）的说明，以135相机的片幅为例：

虽然可以代入36mm与24mm而分别计算水平视角或垂直视角，但如果没有特别说明，我们通常以最大视角为准，即代入对焦线长度43.27mm。
计算实例
■50mm的焦距在135相机（底片对角长度约43.27mm）上的视角：
θ=2*atan((L/2)/f)=2*atan((43.27/2)/50=46.8°
■50mm的焦距在佳能EOS10D/300D（感光元件对角线长度约27.26毫米）的视角：
θ=2*atan((L/2)/f)=2*atan((27.26/2)/50)=30.5
■反推，视角30.5°的镜头在135相机（底片对角长度约43.27mm）上的焦距：
f=(L/2)/tan(θ/2)=(43.27/2)/tan(30.5°/2)=79.36mm
■在刚开始的薄透镜图中‥
焦平面位于焦点位置，很显然的，这表示对焦于无限远的时候，
也因此被对焦物的光线才会以平行的形式进入镜头，此时最利于后续的公式推导。
对焦位置不在无限远怎么办？还是可以推导公式，但几何作图会变得相当复杂，必须加入像距的考量。
■关于焦长转换率‥
在最后两个计算实例中，我们得知50mm镜头接在D30/D60/10D/300D机身上面时，视角为30.5 °，
而30.5°在135相机上约是80mm镜头的视角，故所谓1.6X焦长转换率来自于此。
焦长转换率是经等效视角所求得，但从另一个角度看，根据公式：
θ＝2*atan((L1/2)/f1)＝2*atan((L2/2)/f2)＝L1/f1＝L2/f2＝L1/L2＝f1/f2
换句话说，焦长转换率其实就是对角线长度的比值。
这项原理让我们在计算焦长转换率时不需代入视角的值，而直接用两种片幅的对角线长度去计算，
不过要记得它们仍然是从等效视角的换算而推导出来的。
43.27mm/27.26mm＝1.59≈1.6
一般消费型数位相机可能加挂广角或增距镜，外挂镜头所标示的倍率同上原则;
或者，不妨加挂镜头拍一张，不加镜头拍一张，求成像的边长比例，亦可得该外挂镜头所造成的倍率变化。
■对应图‥

注：这个公式是有局限性的，只适合于透视投影镜头，中长焦的可以使用，因为在小视角下各投影方程误差太小了。相反，在大视角下不适用，因为在大视角下不同投影方法大不一样，此时这个公式只能用于畸变控制很好的广角镜头。对于鱼眼镜头，都使用等距投影法，这样实际焦距比你用上面的算出来的小得多。比如，220°鱼眼是6mm，如果用上面的公式算，都是负的焦距。