北师大时间序列分析六PPT课件.ppt

第六章 多维时间序列的ARAR模型n多维平稳序列n多维平稳序列的均值和自协方差函数的估计n多维AR(p)AR(p)序列1.n例：序列y1,y2,y3分别表示我国1952年至1988年工业部门、交通运输部门和商业部门的产出指数序列。2.第一节 多维平稳序列一、二阶矩有穷的多维时间序列n定义1.1 1.1 设 为m m维随机向量序列，其中 若 ，则称 为二阶矩有穷的m m维随机向量序列，简称为m m维随机序列。记 分别称为 的均值向量函数和协方差阵函数，其中*表示共轭转置。3.4.二、多维平稳时间序列n定义1.21.2：设 为m m维二阶矩有穷随机序列，若均值向量函数 和协方差函数 满足则 称为m m维平稳序列，称为平稳相关。5.6.n定理1.1 1.1 为m m维平稳序列的协方差阵函数，则(i)(i)(ii)(ii)(iii)(iii)(iv)(iv)对任意正整数 ,m m维复向量 ,有 即 为非负定阵。7.n定义1.31.3：若m m维平稳序列 满足 (1.1)其中S0(S0(正定阵)，则称 是m m维平稳白噪声序列，简称m m维白噪声序列。8.n定义1.41.4：若m m维随机序列 满足：(1.2)其中 为满足(1.1)(1.1)的s s维白噪声序列，为 常值阵序列，满足 则称 为m m维平稳线性序列。可证(1.2)(1.2)中的每个分量都均方收敛，且有9.三、常见多维平稳模型1 1、多维滑动平均模型 2 2、多维自回归模型 10.第二节 多维平稳序列的均值和 自协方差函数的估计 简单起见，以下假定序列为实序列一.均值的估计n设 是m m维平稳序列，是观测值，均值 的点估计定义为11.相合性：n定理2.1 2.1 如果 的每个分量序列 都是严平稳遍历序列，则当 时n定理2.2 2.2 如果自协方差函数满足条件 则 其中 12.n定理2.3 2.3 如果 则当 时，有13.n定理2.4 2.4 如果 为以下的m m维平稳线性序列 14.二.自协方差函数的估计n设 是m m维平稳序列，是观测值，的估计为15.n相关系数 的估计为 其中 表示 的第(i,j)i,j)元素，自相关系数矩阵的估计是16.第三节 多维AR(p)AR(p)序列一.多维ARMAARMA模型n定义3.1 3.1 设 为实m m维平稳序列，称它为m m维ARMA(p,q)ARMA(p,q)序列，如果 满足如下m m维随机差分方程 (3.1)其中 为 实系数阵，为实m m维白噪声序列，记 (3.2)17.且满足如下条件：(i)i)(ii)(ii)和 是左互质，即若 ，则 (iii),rankiii),rank表示秩。若满足条件(i)i)，则称(3.1)(3.1)具有平稳性和可逆性，且有当p=0p=0时，称(3.1)(3.1)为m m维MA(q)MA(q)模型，当q=0q=0时，称(3.1)(3.1)为m m维AR(p)AR(p)模型。18.n多维ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型(3.1)(3.1)的传递形式和逆转形式分别为：且19.n注：对多维ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型建模时遇到两大困难，(1)(1)多维ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型的参数不可由 唯一决定，当然也不可由 的自协方差函数唯一决定称之为多维ARMAARMA模型的不可识别性。(2)(2)一维ARMAARMA模型中，对滑动平均参数的估计常要采用非线性最小二乘估计，对于多维情形就更复杂、更困难。20.二.多维ARAR模型n定义3.2 3.2 设 为实m m维平稳序列，称它为m m维AR(p)AR(p)序列，如果 满足如下m m维随机差分方程 (3.3)其中 为 实系数阵，为实m m维白噪声序列，记 (3.4)21.且满足如下条件：(i)i)(ii)(ii)22.VAR(1)模型的解:23.VAR(1)序列的自协方差函数:24.三.多维ARAR模型的参数估计n目的：假定自回归的阶数p p已知，求出自回归系数阵 和白噪声方差阵S S的估计。1.1.自回归系数阵的矩估计 设 为VAR(p)VAR(p)序列 (3.3)对(3.3)(3.3)等式两边右乘 ，再求数学期望得，25.26.(3.5)(3.5)式取n=1,2,n=1,2,p,p可表为矩阵型的线性方程组：(3.7)令27.称(3.6)(3.6)式为Yule-WalkerYule-Walker方程，它可表为 (3.7)n设 为 的长度为n n的样本，当n n充分大时，m m维样本自协方差阵 (3.8)可作为 的估计。于是，系数阵的估计：AR(p)AR(p)模型的系数阵的估计 (3.9)称 为 的矩估计，又称为Yule-Yule-WalkerWalker估计。28.n白噪声方差S S的矩估计为 (3.10)29.2.2.多维AR(p)AR(p)模型系数的最小二乘估计n求 使得，(3.11)达最小，则 必须满足：(3.12)其中 是 的第 行第j j列的元素。30.则有，(3.13)记 (3.14)则(3.13)(3.13)为 (3.15)当n n充分大时，渐近相等。31.n系数阵的最小二乘估计：由(3.15)(3.15)解出 ，记 称之为 的最小二乘估计。nm m维白噪声序列 的方差阵S S的最小二乘估计：(3.16)32.3.3.多维AR(p)AR(p)模型系数阵的递推估计1).m1).m维ARAR模型系数阵随阶数p p的递推算法n为了表示自回归系数阵 随着模型阶数p p而变，将它表示为 则模型表示为：(3.17)n相应的 记为 ，它满足 (3.18)33.记 ，并定义 (3.20)其中称之为(3.18)(3.18)的对偶方程，解为 (3.21)34.n定理3.1 3.1 多维ARAR模型系数阵估计随阶数p p有如下递推公式：35.2).2).m m维ARAR模型白噪声方差阵估计随阶数p p的递推算法n定理3.2 3.2 当m m维ARAR模型的阶数p p增加时，白噪声方差阵估计 有如下递推公式其中I I为m m阶单位阵。n注：由定理3.23.2可递推得到：其中 是0 0阶自回归序列 的方差阵估计，可取为：36.四.多维ARAR模型的定阶1.FPE1.FPE定阶准则(最终预报误差准则)为 (3.22)满足 的相应 作为m m维ARAR模型阶数的估计，此时m m维ARAR模型的一步预报误差方差阵达最小。37.2.2.AICAIC定阶准则为 (3.23)其中 ，满足 的相应 作为AICAIC定阶准则下的m m维ARAR模型的定阶。38.3.3.BICBIC定阶准则为 (3.24)满足 的相应 作为BICBIC准则下的m m维ARAR模型的定阶。n注：FPEFPE准则与AICAIC准则是一致的。39.五.多维ARAR模型的维数选取与预报1.1.维数的选取n目的：设 为m m维ARAR序列，考察m m维时序 所提供的信息能否用部分分量序列。n依据：前 个分量记为 引入，(3.25)其中 表示 阵 的左上角 阶子方阵，表示AR(p)AR(p)序列 的最终预报误差方差阵，它与(3.25)(3.25)比较，如果：40.(3.26)则认为仅考虑前 维时序 就够了。如果，(3.27)则应考虑用m m维时序 。n步骤：在m m维时序 每去掉一维进行比较，由(3.26),(3.27)(3.26),(3.27)决定取舍，逐步反复比较。41.2.2.m m维AR(p)AR(p)序列的预报n 步最小均方误差阵的预报为：(3.28)n 步线性最小均方误差阵的预报为：(3.29)42.n例：序列X1,X2,X3X1,X2,X3分别表示我国19521952年至19881988年工业部门，交通运输部门和商业部门的产出指数序列，试建立多维ARAR模型。估计：为避免数据的剧烈波动，首先对序列进行对数化处理。43.n对估计结果的几点注释：1.考虑到有同样变量的多个滞后，可能由于多重共线性，所估计的每一个系数不都是统计上显著的，但集体地看这些系数也许会在标准的F检验的基础上显著。例如在对LY1的回归中，仅在滞后1，2的LY1系数和滞后1期的LY2的系数是统计上显著的而其余的都不是，但总的系数的F检验是统计显著的。44.2.最值得关注的是窗口的最后一部分，其结果是针对Var系统整体而言，其中包括决定性残差协方差、对数似然函数值和AIC与SC信息量。本例中AIC函数当P=3时最小，而SC则在P=1时最小，故，考虑由LR（似然比）检验进行取舍。原假设 模型的最大滞后期为1，即P=1.检验统计量：其中，分别表示p=1,p=3时模型整体的对数似然函数值。在零假设下，该统计量渐近 分布，自由度为从Var(3)到Var(1)对模型参数施加的零约束的个数。Pval=0.00096,故拒绝原假设，采用滞后期为3。45.n预报：46.47.n六.VarVar建模的一些问题1.1.优点 方法简单 无须决定哪些变量是内生的，哪些变量是外生的。估计简单 常用的OLSOLS法可用于逐个地估计每一方程。预报好 在许多案例中，用此法得到预报优于用更复杂的联立方程模型得到的预报。48.2.存在的问题：n不同于联立方程模型,Var利用较少的先验信息，所以是乏理论的（atheoretic）。n由于重点放到预测，Var模型较不适合于政策分析n对Var建模最大的挑战在于选择适当滞后长度n模型中m个分量严格讲应该是（联合）平稳的，如不然，则有必要适当变换数据（如：差分）。这给估计带来较大的难度n所估计的模型中的系数往往难于逐一地加以解释，故Var技术的操作人员常估计一种所谓的脉冲响应函数以描述Var系数中的因变量如何响应与方程种的误差项的冲击。49.第四节 脉冲响应函数n脉冲响应函数(IRF:Impulse Response Function)IRF:Impulse Response Function)用于衡量来自随机扰动项的一个标准差冲击对内生变量当前和未来取值的影响1.1.定义 一个向量自回归写成向量 的形式50.1.1.定义 一个向量自回归写成向量 的形式于是，即 的第i i行，第j j列元素等于时期t t第j j个变量的创新增加一个单位而其他时期其他创新为常数的情况下对时期t+st+s的第i i个变量的值()()的影响。定义 的第i i行，第j j列元素51.定义 的第i i行，第j j列元素作为s s的一个函数，称作脉冲-响应函数，它描述了在时期t t的其他变量和早期变量不变情况下对 的一个暂时变化的反应。52.n例：考虑如下的两变量Var(1)模型：其中，P和M分别表示产量和货币流通额，模型中随机扰动项也称为新息(Innovation)。由上面两式构成的Var(1)模型中，如果 发生变化，不仅当前的P值立即改变，而且还会通过当前的P值影响到变量P和M今后的取值。脉冲响应函数试图描述这些影响的轨迹。显示任意一个变量的扰动如何通过模型影响其他变量，最终又反馈到自身的过程。53.2 2 对所建Var(3)Var(3)模型进行脉冲响应函数的分析54.55.56.第五节 方差分解一.方差分解的主要思想n把系统中每个内生变量（共k个）波动（L步预报均方误差）按其成因分解为与各方程新息相关联的k个组成部分，从而了解各新息对模型内生变量的相对重要性。n记，向量自回归t时刻的s步预报误差为57.因而s步预测的均方误差为下面，我们考虑每一个正交化扰动 对MSE的贡献。作变换其中，各个 互不相关。将上式右乘以它的转置，再取期望得58.经计算得，59.n于是，我们可计算第j j个正交化创新对t t时刻的s s步预报的MSEMSE的贡献：（*）当 时，对于一个协方差平稳的向量自回归有即向量 的无条件方差。因此令S S足够大，运用（*）可求出 的总方差中归因于扰动 的部分。60.3.例：对所建Var(3)Var(3)模型进行方差分解61.62.