振动和波_新版教材.doc

6.1 如题6.1图所示，用一根金属丝把一均匀圆盘悬挂起来，悬线OC通过圆盘质心，圆盘呈水平状态，这个装置称为扭摆，当使圆盘转过一个角度时，金属线受到扭转，从而产生一个扭转的回复力矩。若扭转角度很小，圆盘对OC轴的转动惯量为I，扭转力矩可表示为，求扭摆的振动周期。

题6.1图
C
O

解：已知，
由转动方程，可得：
，
，
对比（6.2）式可知：，
所以
6.2 一质量为m的细杆状一米长的直尺，如果以其一端点为轴悬挂起来，轴处摩擦不计，求其振动周期。

题6.2图
解：复摆（物理摆）小角度振动时方程为：

对比（5.2）式，可知
因为以一端为轴的直尺的转动惯量为，

所以
6.3 有一立方形的木块浮于静水之中，静止时浸入水中的部分高度为。若用力稍稍压下，使其浸入水中部分的高度为b，如题5.3图所示，然后松手，任其作自由振动。试证明，如果不计水的粘滞阻力，木块将作简谐振动，并求其振动的周期和振幅。

题6.3图
解：设s为木块底面积，
浮力与重力相等处于平衡状态时有：

所以
当木块偏离平衡位置x后，有：

6.4 一质量为1.0×10-3千克的质点，作简谐振动，其振幅为2.0×10-4米，质点在离平衡位置最远处的加速度为8.0×103米/秒。（1）试计算质点的振动频率；（2）质点通过平衡位置时的速度；（3）质点位移为1.2×10-4米时的速度；（4）写出作用在这质点上的力作为位置的函数和作为时间的函数。
解：已知，。
令
则
由已知条件可得
（1）

（2）
过平衡点时，速度为最大值：

（3）

（4）

6.5 如题6.5图所示，一重力作用下的弹簧振子，振子静止时弹簧伸长l=10厘米；将振子向下拉一段距离d=2.0厘米，并在位移方向给它一个向下的初始速度v0=10厘米/秒，任其运动，不计空气阻力，试求：（1）振动频率；（2）振幅A；（3）初相位j；（4）振动表达式。(g取10米/秒2)
解：（1）振动频率
（2）振幅
（3）初相位

题6.5图
(v0>0取正号，v0<0取负号)
（4）振动表达式.
6.6 一不计质量，自然长度为l的弹簧，两端分别系上质量为m1和m2的质点，放在光滑的水平桌面上，开始时两手持m1和m2把弹簧拉长至l’，停止不动，然后两手同时放开，试问这系统将如何运动？
解：无外力，整个过程质心不动，t时刻m1和m2位置分别为x1和x2，故有：

题5.6图
m1
m2

最大位移:

与（5.2）式对比可得：

此系统作振幅为A，圆频率为w的简振动。
6.7 有一鸟类学家，他在野外观察到一种少见的大鸟落在一棵大树的细枝上，他想测得这只鸟的质量，但不能捉住来称量，于是灵机一动，测得这鸟在树枝上在4秒内来回摆动了6次，等鸟飞走以后，他又用一千克的砝码系在大鸟原来落的位置上，测出树枝弯下了12厘米，于是他很快算出了这只鸟的质量。你认为这位鸟类学家是怎样算的？你想到了这种方法吗？这只鸟的质量是多少？

解：可以认为树技与鸟组成一个谐振子。
利用砝码测得树枝的弹性系数为：

因为，鸟在树枝上在4秒内来回摆动了6次，
所以，
又因为
可得：
6.8 如题6.8图所示，有一弹簧振子，弹簧的倔强系数为k，振子的质量为m’，开始时处于静止平衡状态，有一发质量为m的子弹以速度v0沿弹簧方向飞来，击中振子并埋在其中，试以击中为计时零点，写出此系统的振动表达式。
解：碰撞时动量守恒,碰后机械能守恒可列方程：

题6.8图
所以 ，代入下式

所以

取向右为正方向，

6.9 如题6.9图所示振动系统，振子是一个作纯滚动的圆柱体，已知圆柱体的质量为m，半径为R，弹簧的倔强系数为k，并且弹簧是系于圆柱体的中心旋转对称轴上。试求这一振动系统的频率。
解：设弹簧原长处为平衡点，又因弹簧质量不计，对圆柱体在运动中的受力进行分析有：
（1）

题6.9图
（2）
由（2）式可得
代入（1）式得：
推出

6.10 如题6.10图所示，弹簧的倔强系数为k，定滑轮的质量为m’，半径为R，转动惯量为I，物体的质量为m。轴处摩擦不计，弹簧和绳的质量也不计，绳与滑轮间无相对滑动。（1）试求这一振动系统的振动频率，（2）如果在弹簧处于原长时由静止释放物体m，m向下具有最大速度时开始计时，并令m向下运动为x的正坐标，试写出m的振动表达式。
解：（1）设弹簧原长l0，系统平衡时，弹簧伸长x0，平衡时m所在点为坐标原点，
有
运动中，由转动定理有：

题6.10图

对于m，有
又因
联立以上各式，可得：

即
设
则
（2）以弹簧原长时释放m，

所以，
又 ，，
则
∴振动表达式为
6.11 在LC电路中，电容极板上的电量若为q，电容器将储能，流经电感中的电流若为i，电感中将储存磁能，且=恒量，试求LC电路的固有振荡频率。
解：

6.12 假定有两个质量均为m的离子，它们之间的势能为：，（1）试用a和b表示其平衡位置；（2）试证明其振动圆频率为
解：（1）保守力平衡点f=0

（2）作微振动f可写成

将f作一级近似：

6.13 质量m=1.0×10-2千克的小球与轻质弹簧组成的振动系统按的规律振动，式中各量均为SI单位。求（1）振动的圆频率、周期、振幅和初始相位；（2）振动的速度和加速度（函数式）；（3）振动的总能量E；（4）振动的平均动能和平均势能；（5）t=1.0秒、10秒等时刻的相位。
解：
（1）与振动表达式比较便直接可得：

（2）

（3）
（4）
6.14 在阻尼振动中，量叫做弛豫时间。（1）证明t的量纲是时间；（2）经过时间t后，这振子的振幅变为多少？能量的最大值变为多少？（3）把振幅减小到其初值的一半所需的时间（用t表示)；（4）当经过的时间等于上述（3）中求出值的2倍、3倍···时，求振幅的值。
解:
（1）
（2）

（3）

（4）

6.15 火车在铁轨上行驶，每经过铁轨接轨处即受一次震动，使装在弹簧上面的车厢上下振动。设每段铁轨长12.5米，弹簧平均负重5.5吨，而弹簧每受1.0吨力将压缩16毫米。试问，火车速度多大时，振动特别强？
解: 固有振动周期等于强迫力周期时发生共振。

火车固有周期为：
发生共振时，此时火车恰好走一节铁轨。

6.16 已知两个同方向谐振动为，，（1）求它们合振动的振幅和初始相位；（2）另有一个同方向的简谐振动，问j为何值时，x1+x2的振幅为最大？j为何值时，x2+x3的振幅为最小？(各量皆用SI单位。)
解:
(1)

(2) x1+x2合振幅最大时，取零，即
x2+x3合振幅最小时，（或）
（或）
6.17 一质点同时受两个同频率和同方向简谐振动的作用，它们的运动方程分别为和，试写出质点的运动方程。
解：仍是谐振动
，

6.18 一待测频率的音叉与一频率为440赫兹的标准音叉并排放置，并同时振动。声音响度有周期性起伏，每隔0.5秒听到一次最大响度的音（即拍声)，问拍频是多少？音叉的频率可能是多少？为了进一步唯一确定其值，可以在待测音叉上滴上一滴石蜡，重做上述实验，若此时拍频变低，则说明待测音叉的频率是多少？
解： 由题知T=0.5s，得拍频

或
若在待测音叉上滴上一滴石蜡，其固有频率变低，如果测得拍频变低，则
成立

6.19 （1）波源的振动频率表达式为，我们的计时零点是怎样选择的？如果以波源所在处为坐标原点，波沿x正方向传播，那么对应的波函数应该怎样写？（设波速为v）。
（2）如果选取波源向正y方向振动，且位移为A/2的时刻为计时零点，波源处为坐标原点，波速仍为v，波函数该怎样写？
（3）如果在上题中把波源的位置定为x0点，波函数又该怎样写？
解：（1）波源初相位为0，是恰好在正的最大位移处开始计时，若x与同向，波函数为：

（2）如右图
又因为，
所以
所以
（3）若波源在x0点，若与x同向，任意x的振动要比x0点落后，x点t时刻的振动是x0点在时刻的振动。

其中
6.20 一沿很长弦线行进的横波波函数为，式中各量均为国际单位。试求振幅、波长、频率、波速、波的传播方向和弦线上质元的最大横向振动速率。
解：
因为
所以，，
，
，

x点比原点位相超前，与x反向。
又

题6.21图
6.21 题6.21图中的曲线（a）和（b）分别表示t=0和t=2.0秒的某一平面间谐波的波形图，试写出此平面简谐波的表达式。

解：从曲线（a）可以看出A=2，l=2，
用余弦函数表示时。
所以，
从曲线（a）到（b）t=2s，，
又 ，
所以，
所以，波函数为
6.22 设在某一时刻，一个向右传播的平面简谐横波的波形曲线如图所示，试分别说明图中A、B、C、D等各点在该时刻的振动方向，并作出T/4前和T/4后的波形图。

题6.22图
解：

题5.23图

6.23 已知一列波速为v、沿x正向传播的波在t=0时的波形曲线如图所示，画出图中A，B，C，D各点在第一周期内的振动曲线。

解：A点，t=0时，y=-A，
振动表达式
B点，t=0时，y0=0，并且（见图）
所以，
C点，，，所以，所以
D点，，，所以，所以

6.24 在直径为14厘米的直管中传播的平面简谐波，其平均能流密度为9.0×10-3瓦/米，频率n=300赫兹，波速v=300米/秒，求（1）最大能量密度和平均能量密度；（2）相邻两同相位波面间（即相位差为2p的两波面间）的总能量。

解：
（1）因为

（2）
6.25 声波是流体或固体中的压缩波，在讨论声波时，讨论声波中的压强（即压力）变化要比讨论声波中质元的位移更方便些，可以证明，当声波的位移波函数为
时，
对应于压力变化的波函数为
，
P是相对于未扰动时的压力p0的压强变化值，r0是介质的体密度。
（1）人耳能够忍受的强声波中的最大压强变化pm约为28牛顿/米2（正常的大气压强约为1.0´105牛顿/米2)，若这一强声波的频率为1000赫兹，试求这声波所对应的最大位移。
（2）在频率为1000赫兹的声波中，可以听得出最微弱的声音的压强振幅约为2.0´10-5牛顿/米2，试求相应的位移振幅，设r0=1.29千克/米2，v=321米/秒。

解：（1）最大位移：
因为，
所以
（2）最小位移：

6.26 无线电波以3.0×108米/秒的速度传播，有一无线电波的波源功率为50千瓦，假设该波源在各向同性介质中发射球面波，求离波源200公里远处无线电波的能量密度。

解：

6.27 如图所示，设B点发出的平面横波在B点的振动表达式为，沿方向传播；C点发出的平面横波在C点的振动表达式为，沿方向传播，两式中各量均为SI单位，设=0.40米，=0.50米，波速为0.2米/秒，求（1）两列波传到P处时的相位差；（2）如果这两列波的振动方向相同，求P点的合成振幅；(3）如果这两列波的振动方向垂直，则合成振动的振幅如何？

题6.27图

解：（1） ∵是两同频率的波

（2）如果振动方向也相同，得到两相干波，
则
（3）如果振动方向垂直又同相，合成后仍是谐振动，
则
6.28 题6.28图表示一个声学干涉仪，它是用来演示声波的干涉，S是电磁铁作用下的振动膜片，D是声波探测器，例如耳朵或传声器，路程SBD的长度可以改变，但路程SAD却是固定的，干涉仪内充有空气，实验中发现，当B在某一位置时声强有最小值（100单位），而从这个位置向后拉1.65厘米到第二个位置时声强就渐渐上升到最大值（900单位）。试求（1）由声源发出的声波的频率以及（2）当B在上述两个位置时到达探测器的两个波的相对振幅和（3）到达D处时二路声波的分振幅之比，声速340米/秒。

解：

题6.28图
解法一：极大为波腹，极小为波节，相邻波腹波节问距：
则
解法二：D处干涉极大、极小取决于波程差，
相邻极大极小仅差半个波长，故有：
，
则
6.29 在同一媒质中的两个相干波源位于AB两点，其振动方向相同，振幅皆为5厘米，频率皆为100赫兹，但A点为波峰时，B点为波谷，且在此媒质中波速为10米/秒。设AB相距20米，经过A点作一条垂线，在此垂线上取一点P，AP=15米，（1）试分别写出P点处两波在该点的振动表达式；（2）求两波在P点的相位差；（3）写出干涉后的振动表达式(波动中振幅不变)。

题6.29图
解：
（1）

（2）（或）
（3）相消干涉 所以
6.30 在一个两端固定的3.0米长的弦上有3个波腹的“驻波”，其振幅为1.0厘米，弦上波速为100米/秒。（1）试计算频率；（2）若视为入、反射波叠加的理想驻波，写出产生此驻波的两个波的表达式。

题6.30图
解：
（1） 因为，
所以

（2）若为理想驻波
驻波端点为节点，x=0，表达式为
设入射波波函数为
则反射波波函数为

显然
即

6.31 如图所示，S是一个由音频振荡和放大器驱动的小喇叭，音频振荡器的频率可调范围为1000~2000赫兹，D是一段用金属薄板卷成的圆管，长45厘米。（1）如果在所处温度下空气中的声速是340米/秒，试问当喇叭发出的频率从1000改变到2000赫兹时，在哪些频率上会发生共鸣？（2）试画出各次共鸣时管的位移波节、波腹图（忽略末端效应）。

题6.31图

解： 发生共鸣时，
形成驻波圆管两端（开口）为波腹
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6） (3),(4),(5)频率会发生共鸣。
6.32 如题6.32图所示是一个测量空气中声速的装置。把频率为v的振动着的音叉置于管的开口端，管内装有水，而管中空气柱的长度可以由水面的升降加以改变。当水面由管的顶端渐渐下降距离a时，声音的强度达到最大值，此后当水面再下降距离d，2d，3d……时，声音的强度相继再出现最大值。求空气中声速。若用1080赫兹音叉时，测得d=15.3厘米，求声速值是多少？

解：声音的强度出现极大时，表示音叉频率与管内空气柱的固有频率相同而发生共振。因空气柱的下端是空气与水交界，波是被特性阻抗大的介质反射，存在相位突变，在共振发生时必为波节。在上部开口端则是被特性阻抗相对较小的介质反射，必为波腹。所以在第一次出现声强极大时，只能使图中的（1），第二次声强极大时，只能是图中的（2），第三次声强极大时，只能是图中的（3）。有
，，，……，
或者，又，所以
代入实验数据，可得
（米/秒）
6.33 有一提琴弦长50厘米，两端固定，当不按手指演奏时发出的声音是A调（440赫兹)，试问要奏出C调（528赫兹），手指应该按在什么位置？

解： 提琴弦两端固定，谐振时，两端必为波节
基调，

，不变，

6.34 蝙蝠在洞穴中飞来飞去，利用超声脉冲导航非常有效（这种超声脉冲是持续1毫秒或不到1毫秒的短促发射，并且每秒重复发射几次）。假设蝙蝠所发超声频率为39×103赫兹，在朝着表面平直的墙壁飞扑的期间，它的运动速率为空气声速的1/40，试问它听到的从墙壁反射回来的脉冲波频率是多少？

解： 蝙蝠以v1向墙飞扑，被墙反射回来的声音相当于声源以v1运动的多普勒效应的声音：
此声音又被以v1运动的蝙蝠接收，其频率为：

6.35 简谐振动中相位为j、p＋j、2p＋j、3p＋j……时描述的是同一运动状态吗？为什么？
答：j，2p＋j同相j，p＋j反相

6.36 对一简谐振动系统，画出其动能和势能关于时间变量的曲线，并分析两者反相的物理意义。

6.37 将单摆摆线从铅直方向拉到j角的位置撒手任其摆动。这里j角是初相位吗？若不是，它对应什么物理量？
答：不是，对应振动位置。
6.38 若以一装满水的空心球作为单摆的摆钟，并让水从球体缓慢流出，试描述其摆动周期的变化情况。
答：用单摆同相公式讨论。
6.39 利用受迫振动的稳定解（5.19）式说明为什么恒力不能导致受迫振动。（提示：恒力时频率w可视为零）。
6.40 在太空中能听到声音吗？为什么？
答：不能，无弹性媒质。
6.41 在较长时间间隔（Dt>>T）内，任意以t为变量的正弦（或余弦）型函数的平均值均为零，例如：，其中a是任意常数。试据此推导（5.11）、（5.12）及（5.40）式。
答：利用公式和易得。
6.42 海啸是一种波长约为几十至几百千米、在海水中传播的波动现象。它在深海区域并不易被觉察，但一旦海啸接近岸边往往会造成巨大的灾害。试从能量角度分析其中的原因。
答：（海啸）相对深海区域，海岸附近海啸引起的能量密度较大，振幅较大，所以损害为剧一些。
6.43 描述机械波时间周期性的物理量由周期T、频率n和圆频率w给出。类似的，我们可以用l，和描述波的空间周期性，试说明这三个量对应的物理意义。
答：l 波长，同一波线上两个相邻同相振动质元之间的距离；
同一波线上单位长度穿过的全波的数目；
同一波线上单位长度上的相位滞后值。
6.44 试解释弦乐器的以下现象：（1）较松的弦发出的音调较低，而较紧的弦则音调较高；（2）较细的弦发出的音调较高，而较粗的弦则音调较低（古人称之为“小弦大声，大弦小声”）；（3）正在振动的两端固定的弦，若用手指轻按弦额中点时，音调变高到两倍，若改按弦的三分之一处时，音调增至三倍；（4）用力弹拨琴弦（而非用手指按弦）时，能同时听到若干音调各异的声音。（提示：音调高低与弦振动的频率成正比。此外，在（4）情形中弦以基频振动的同时还若干泛频振动。）
答：（弦乐器）音调高低与弦的振动频率成正比。
（1）弦的松紧对应弦的张力T，由驻波一节中的方程，可知，较松的弦振动频率较低，因此音调较低；同理，较紧的弦振动频率较高，因此音调较高。
（2）弦的粗细对应弦的弦密度r，由方程，粗弦的振动频率较低，因此音调较低；同理，细弦的振动频率较高，因此音调较高。
（3）由方程，轻按弦中点对应n＝2时的振动频率；同理，轻按弦三分之一处，对应n＝3时的振动频率。
（4）弹拨琴弦时能出现各种泛频振动，因此出现音调不同的声音。