复数的应用.doc

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复数在初等数学中的应用

摘要： 本文介绍了复数的一些基本概念、性质、运算等。利用复数的性质来解决初等数学的基本问题，例如代数、几何向量等。一方面可以强化概念、揭示概念的内涵，准确把握概念之间的关系，透彻理解定理的条件；另一方面有助于培养学生的逆向思维能力，更有助于培养学生的数学技能。
关键字： 共轭复数；复数的模；复平面；复数方程
分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾。负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾。无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。在实数集范围内，负数不能开平方，我们要引入什么数，才能解决这个矛盾呢？
实际上，早在16世纪时期，数学家们就已经解决了这个矛盾，而且形成了一整套完整的理论。因为这个新数不是实的数，就称为虚数单位，英文译名为imaginary number unit.所以，用“i”来表示这个新数。
引入的新数必须满足一定的条件，才能进行相关的运算，虚数单位i应满足什么条件呢？规定它的平方等于-1，即
因此出现了形如（）的数。它就是我们所说的复数。
一、复数的有关概念
1、虚数单位i
（1）它的平方等于，即 ；
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．
i的乘方： ，它们不超出的形式
2、复数a+bi(a, b∈R)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi就是实数，当b≠0时，a+bi是虚数，其中a=0且b≠0时称为纯虚数。
应特别注意，a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。
3、根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d∈R，两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+di. 由这个定义得到a+bi=0.
两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。
两个复数相当的定义实际上给出了将复数问题转化为实数问题的方法，是求复数值、在复数集中解方程得重要依据。
4、复数a+bi的共轭复数是a－bi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a与实数a共轭，表示点落在实轴上。
性质：；；；
5、在复平面内，复数对应点，点Z到原点的距离叫做复数z的模，记作．由定义知，
二、复数的表示
1、代数形式。实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部
2、几何形式。复数z=a+bi 被复平面上的点 z(a，b )唯一确定。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。
3、向量形式。复数用一个以原点O为起点，点Z(a，b)为终点的向量表示。这种形式使复数四则运算得到恰当的几何解释。
4、三角形式。复数化为三角形式
式中)，是复数的模(即绝对值)
θ 是以x轴为始边，射线OZ为终边的角，叫做复数的辐角，辐角的主值记作这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。
5、指数形式。将复数的三角形式中的换为 ，复数就表为指数形式。
三、复平面及复数的坐标表示
1、复平面
在直角坐标系里，点z的横坐标是，纵坐标是，复数可用点来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴为实轴，y轴出去原点的部分称为虚轴．
2、复数的坐标表示点
3、复数的向量表示向量．
4、复数的模
在复平面内，复数对应点，点Z到原点的距离叫做复数z的模，记作．由定义知，．
四、复数的运算
1、加法．
几何意义： 设对应向量，对应向量，则对应的向量为．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．
2、减法．
几何意义：设对应向量，对应向量，则对应的向量为．
表示、两点之间的距离，也等于向量的模．
3、乘法
4、乘方
5、除法
6、复数运算的常用结论
(1)，
(2)，
(3)，
(4)， ， ，．
(5)，
(6)
(7)，，
7、复数的平方根与立方根
（1）平方根 若，则是的一个平方根，也是的平方根． （1的平方根是．）
（2）立方根 如果复数、满足，则称是的立方根．
1的立方根：．
，，。 ．
的立方根：
五、复数方程
1、常见图形的复数方程
（1）圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
设以为圆心， 为半径的圆上任意一点（，为常数），表示以点为圆心，为半径的圆
（1）线段的中垂线：（其中分别对应点）
（2）椭圆的定义:平面内与两定点Z1，Z2的距离的和等于常数(大于)的点的集合(轨迹)
设是以为焦点，2a为长轴长的椭圆的上任意一点, （其中且），表示以对应的点F1、F2为焦点，长轴长为的椭圆
（3）双曲线的定义:平面内与两定点Z1，Z2的距离的差的绝对值等于常数(小于) 的点的集合(轨迹)
设是以为焦点，2a为实轴长的双曲线的上
任意一点,
（其中且），表示以对应的点F1、F2为焦点，实轴长为
下面请看复数在初等数学中代数、几何、向量中的一些应用
代数方面
1、求方程的实数解。
解：在复平面上方程的解，是以（2，0）为圆心，3为半径的园。此圆与实轴的交点是（-1,0），（5,0）。
所以实数解是x=-1,x=5.
2、解不等式
解：变不等式为，即，在复平面上的解是以1为半径，为半径的圆。此圆与实轴交于和
所以不等式的解是
3、解不等式<6
解：令z=3x,在复平面上，<6的解，是以2，-1为焦点，长轴为3的椭圆内所有复数。椭圆的中心是（，0）与实轴的交点是（）和（）
所以在实数域<3x<,即不等式的实数解是
4、求证：+++2.
证明：设,,
,
++
=||+||+||+|||+++|
=|+++|
=|2+2i|=2
5、若实数x,y,z满足等式x+y+z=,=(>0).
求证：0x,0y,.0z.
证明：由已知可得：

令，
由|+|||+||得；
　||2 　　　　　　
整理可得：|| 2

由此可得：
同理可证：，
6、已知，求的值.
解：设
＝1，
，
因
所以

即
所以
7、证明:sin.
方程的根是

证明：由题可知

所以

=
=
=.
令 则有

.
故　.
8、求证：
证明：

9、不差表计算
解令,则，
，，，
则====
所以=
10、解方程
解：原方程即
整理可得，，解得，
有复数的定义知或
所以

复数的几何意义的理解可以从以下两个方面着手：
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝，实际上就是指复平面上的点Z到原点O的距离；|z1－z2|的几何意义是复平面上的点Z1、Z2两点间的距离．
(2)复数z、复平面上的点Z及向量 相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.
1、已知复数z满足2≤|z＋i|≤4，试说明复数z在复平面内所对应的点的轨迹．
解：因为|z＋i|的几何意义是动点Z到定点－i的距离，所以满足2≤|z＋i|≤4的动点Z的轨迹是以－i为圆心，2为半径的圆外(含边界)和以－i为圆心，4为半径的圆内(含边界)之间的圆环(含边界)，
2、 满足条件的复数在复平面上的对应点的轨迹是什么？、 解：在复平面内满足|z＋2|＋|z－2|＝8的复数z对应的点的轨迹是以点(－2,0)和(2,0)为焦点，8为长轴长的椭圆．|z＋2|表示椭圆上的点到焦点(－2,0)的距离．椭圆长轴上的两个顶点到焦点的距离分别是最大值和最小值．因此，当z＝4时，|z＋2|有最大值6；当z＝－4时 ，|z＋2|有最小值2.
3、 求证：三个复数成为等边三角的三个顶点的充要条件是它们适合等式
证明：是等边三角形的充要条件是：绕旋转或
即得到向量，也就是，即
即
两端开平方化简，即得
4、 证明三角形的内角和为。
证明：设三角形的三个顶点分别为，对应的三个角分别为
于是，，
由于
由公式得

=(k为某个整数)
由假设
所以。
故k=0，因而
向量方面
1、已知复数z1=2+i，z2=1+2i在复平面内对应的点分别为A、B，求对应的复数z，z在平面内所对应的点在第几象限？
解：z=z2－z1=(1+2i)－(2+i)=－1+i，
因为z的实部a=－1＜0，虚部b=1＞0，
所以复数z在复平面内对应的点在第二象限内.
2、　复数z1=1+2i，z2=－2+i，z3=－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.

解：设复数z1、z2、z3所对应的点为A、B、C，正方形的第四个顶点D对应的复数为(x，y∈R)，是：
= ）
=
∵，即，
∴解得
故点D对应的复数为2－i.

3、已知复数z1=a2－3+(a+5)i,z2=a－1+(a2+2a－1)i(a∈R)分别对应向量、（O为原点），若向量对应的复数为纯虚数，求a的值.
解：对应的复数为z2－z1，则
z2－z1=a－1+(a2+2a－1)i－［a2－3+(a+5)i］=(a－a2+2)+(a2+a－6)i
∵z2－z1是纯虚数
∴ 解得a=－1.
参考文献：
钟玉泉，复变函数论，高等教育出版社
方企勤，复变函教程，北大出版社

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