第一节-联合分布与边缘分布.ppt

多多维随机随机变量及其分布量及其分布第一第一节 联合分布与合分布与边缘分布分布1.引言引言从本从本讲起，我起，我们开始第三章的学开始第三章的学习.一一维随机随机变量及其分布量及其分布多多维随机随机变量及其分布量及其分布 由于从二由于从二维推广到多推广到多维一般无一般无实质性的困性的困难，我我们重点重点讨论二二维随机随机变量量.它是第二章内容的推广它是第二章内容的推广.2.到到现在在为止，我止，我们只只讨论了一了一维r.v及其分布及其分布.但有些随机但有些随机现象用一个随机象用一个随机变量来描述量来描述还不不够，而，而需要用几个随机需要用几个随机变量来描述量来描述.在打靶在打靶时,命中点的位置是命中点的位置是由一由一对r.v(两个坐两个坐标)来确定的来确定的.飞机的重心在空中的位置是机的重心在空中的位置是由三个由三个r.v(三个坐三个坐标)来确定的等来确定的等等等.引言引言3.一般地一般地,设 是一个随机是一个随机试验,它的它的样本空本空间是是设是定是定义在在 上的随机上的随机变量量,由它由它们构成的一个构成的一个 维向向量量叫做叫做 维随机向量随机向量或或 维随机随机变量量.以下重点以下重点讨论二二维随机随机变量量.请注意与一注意与一维情形的情形的对照照.引言引言4.一、二一、二维随机随机变量的分布函数量的分布函数X的分布函数的分布函数一一维随机随机变量量如果如果对于任意于任意实数数二元函数二元函数称称为二二维随机随机变量量 的分布函的分布函数数,或者称或者称为随机随机变量量 和和 的的联合分布函数合分布函数.定定义1设 是二是二维随机随机变量量,5.将二将二维随机随机变量量 看成是平面上随看成是平面上随机点的坐机点的坐标,那么那么,分布函数分布函数 在点在点 处的函数的函数值就是随机点就是随机点 落在下面左落在下面左图所所示的示的,以点以点 为顶点而位于点而位于该点左下方的无点左下方的无穷矩形域内的概率矩形域内的概率.分布函数的函数分布函数的函数值的几何解的几何解释一、二一、二维随机随机变量的分布函数量的分布函数6.随机点随机点 落在落在矩形域矩形域概率概率为一、二一、二维随机随机变量的分布函数量的分布函数7.一、二一、二维随机随机变量的分布函数量的分布函数8.一、二一、二维随机随机变量的分布函数量的分布函数9.即即F(x,y)关于关于x,y是右是右连续的。的。4.对任意的任意的 一、二一、二维随机随机变量的分布函数量的分布函数10.二、二二、二维离散型随机离散型随机变量量或随机或随机变量量X和和Y 的的联合分布律合分布律.k=1,2,离散型离散型一一维随机随机变量量XX 的分布律的分布律为 k=1,2,定定义2限限对或无限可列多或无限可列多对,则称称是是离散型随机离散型随机变量量.设二二维离散型随机离散型随机变量量可能取的可能取的值是是记如果二如果二维随机随机变量量全部可能取到的全部可能取到的值是有是有称之称之为二二维离散型随机离散型随机变量量 的的分布律分布律,11.也可用表格来表示随机也可用表格来表示随机变量量X和和Y 的的联合分布律合分布律.二、二二、二维离散型随机离散型随机变量量12.二二维离散型随机离散型随机变量量 的的分布律具有性分布律具有性质二二维离散型随机离散型随机变量量 的的联合分布函数合分布函数为：二、二二、二维离散型随机离散型随机变量量13.例例1把一枚均匀硬把一枚均匀硬币抛抛掷三次，三次，设X为三次三次抛抛掷中正面出中正面出现的次数的次数，而，而 Y 为正面出正面出现次数与次数与反面出反面出现次数之差的次数之差的绝对值,求求(X,Y)的分布律的分布律.解解 (X,Y)可取可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)PX=0,Y=3PX=1,Y=1 PX=2,Y=1PX=3,Y=3=3/8=3/8二、二二、二维离散型随机离散型随机变量量14.解解且由乘法公式得且由乘法公式得例例2二、二二、二维离散型随机离散型随机变量量15.二、二二、二维离散型随机离散型随机变量量16.例例3 一个袋中有三个球一个袋中有三个球,依次依次标有数字有数字 1,2,2,从中任取一个从中任取一个,不放回袋中不放回袋中,再任取一个再任取一个,设每每次取球次取球时,各球被取到的可能性相等各球被取到的可能性相等,以以 X,Y 分分别记第一次和第二次取到的球上第一次和第二次取到的球上标有的数字有的数字,求求 (X,Y)的分布律与分布函数的分布律与分布函数.(X,Y )的可能取的可能取值为解解二、二二、二维离散型随机离散型随机变量量17.故故(X,Y )的分布律的分布律为下面求分布函数下面求分布函数.二、二二、二维离散型随机离散型随机变量量18.二、二二、二维离散型随机离散型随机变量量19.二、二二、二维离散型随机离散型随机变量量20.所以所以(X,Y)的分布函数的分布函数为二、二二、二维离散型随机离散型随机变量量21.连续型型一一维随机随机变量量XX的概率密度函数的概率密度函数函数函数 称称为二二维定定义3对于二于二维随机随机变量量 的分布函数的分布函数则称称 是是连续型的二型的二维随随机机变量量,（X,Y)的的概率密度概率密度,随机随机变量量存在非存在非负的函数的函数如果如果任意任意 有有使使对于于 称称为随机随机变量量 X 和和 Y 的的联合概合概 率密度率密度.或或三、二三、二维连续型随机型随机变量量22.三、二三、二维连续型随机型随机变量量（X,Y）的概率密度的性）的概率密度的性质:表示介于表示介于 f(x,y)和和 xoy 平面之平面之间的空的空间区域的区域的全部体全部体积等于等于1.注：注：23.在在 f(x,y)的的连续点点,三、二三、二维连续型随机型随机变量量注：注：24.三、二三、二维连续型随机型随机变量量例例4 4 设(X,Y)的概率密度是的概率密度是(2)求分布函数求分布函数 (3)求概率求概率 .(1)求常数求常数A;解解 (1)由由可得可得A=2.25.积分区域分区域区域区域解解 (2)三、二三、二维连续型随机型随机变量量26.三、二三、二维连续型随机型随机变量量27.当当 时,故故当当 时,三、二三、二维连续型随机型随机变量量28.(3)三、二三、二维连续型随机型随机变量量29.例例5 设随机随机变量量(X,Y)的的联合分布函数合分布函数为其中其中A,B,C 为常数常数.(1)确定常数确定常数A,B,C；(2)求求P(X 2);(3)求求(X,Y)的的联合密度函数。合密度函数。三、二三、二维连续型随机型随机变量量30.解解(1)三、二三、二维连续型随机型随机变量量31.(2)(3)三、二三、二维连续型随机型随机变量量32.四、四、课堂堂练习设随机随机变量量(X,Y)的概率密度是的概率密度是(1)确定常数确定常数 (2)求概率求概率三、二三、二维连续型随机型随机变量量33.解解(1)故故三、二三、二维连续型随机型随机变量量34.(2).三、二三、二维连续型随机型随机变量量35.二二维随机随机变量量(X,Y)作作为一个整体一个整体,具有分布函具有分布函数数而而 和和 都是随机都是随机变量量,也有各自的分也有各自的分布函数布函数,分分别记为变量量(X,Y)关于关于 X 和和 Y的的边缘分布函数分布函数.依次依次称称为二二维随机随机四、四、边缘分布分布一、一、边缘分布函数分布函数36.一般地，一般地，对离散型离散型 r.v(X,Y)，则(X,Y)关于关于X 的的边缘分布律分布律为:X和和Y 的的联合分布律合分布律为二、离散型随机二、离散型随机变量的量的边缘分布律分布律四、四、边缘分布分布37.(X,Y)关于关于 Y 的的边缘分布律分布律为:离散型随机离散型随机变量关于量关于X 和和Y 的的边缘分布函数分分布函数分别为:四、四、边缘分布分布38.我我们常将常将边缘分布律写在分布律写在联合分布律表格的合分布律表格的边缘上，由此得出上，由此得出边缘分布分布这个名个名词.四、四、边缘分布分布39.例例6 已知下列分布律求其已知下列分布律求其边缘分布律分布律.四、四、边缘分布分布40.注意注意联合分布合分布边缘分布分布解解四、四、边缘分布分布41.解解例例7样本点本点四、四、边缘分布分布42.四、四、边缘分布分布43.三、三、连续型随机型随机变量的量的边缘分布分布四、四、边缘分布分布44.同理可得同理可得 Y 的的边缘分布函数分布函数Y 的的边缘概率密度概率密度.四、四、边缘分布分布45.解解例例8四、四、边缘分布分布46.四、四、边缘分布分布47.四、四、边缘分布分布48.=5c/24=1,c=24/5解：解：(1)dxxxc-=10222/)(求求(1)c的的值；（2）两个）两个边缘密度。密度。例例9 设(X,Y)的概率密度是的概率密度是四、四、边缘分布分布49.解解:(2)xy01y=x求求(1)c的的值；（2）两个）两个边缘密度。密度。例例9 设(X,Y)的概率密度是的概率密度是四、四、边缘分布分布50.解解:(2)xy01y=x求求(1)c的的值；（2）两个）两个边缘密度。密度。例例9 设(X,Y)的概率密度是的概率密度是四、四、边缘分布分布51.即即四、四、边缘分布分布52.练习 设(X,Y)的概率密度是的概率密度是求求(X,Y)关于关于 X 和和 Y 的的边缘概率密度概率密度.四、四、边缘分布分布53.解解当当 时,当当 时,故故四、四、边缘分布分布54.当当 时,当当 时,故故四、四、边缘分布分布55.设G是是平平面面上上的的有有界界区区域域，其其面面积为A.若若二二维随机随机变量（量（X,Y）具有概率密度）具有概率密度则称（称（X,Y）在）在G上服从上服从均匀分布均匀分布.向向平平面面上上有有界界区区域域G上上任任投投一一质点点，若若质点点落落在在G内内任任一一小小区区域域B的的概概率率与与小小区区域域的的面面积成成正正比比，而而与与B的的形形状状及及位位置置无无关关.则质点点的的坐坐标(X,Y)在在G上服从均匀分布上服从均匀分布.五、常五、常见分布分布二二维均匀分布均匀分布56.若二若二维随机随机变量（量（X,Y）具有概率密度）具有概率密度 则称（称（X,Y）服从参数）服从参数为 的二的二维正正态分布分布.其中其中均均为常数常数,且且记作（作（X,Y）N().五、常五、常见分布分布二二维正正态分布分布57.例例10 试求二求二维正正态随机随机变量的量的边缘概率密度概率密度.解解因因为所以所以五、常五、常见分布分布二二维正正态分布分布58.则有有五、常五、常见分布分布二二维正正态分布分布59.二二维正正态分分布布的的两两个个边缘分分布布都都是是一一维正正态分分布布,并且不依并且不依赖于参数于参数 .同理同理可可见由由边缘分布一般不能确定分布一般不能确定联合分布合分布.也就是也就是说,对于于给定的定的 不同的不同的 对应不同的二不同的二维正正态分布分布,但它但它们的的边缘分布却都是一分布却都是一样的的.此例表明此例表明五、常五、常见分布分布二二维正正态分布分布60.