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解三角形的基础知识，例题详解

1、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．
2、正弦定理的变形公式：
①，，；
②，，；
③；
④．
3、三角形面积公式：
．
4、余弦定理：
在中，有，，
．
5、余弦定理的推论：
，，．
6、简单的判断三角形
设、、是的角、、的对边，则：
①若，则；
②若，则；
③若，则．

7．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：
（1）两类正弦定理解三角形的问题：
第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.
（2）两类余弦定理解三角形的问题：
第1、已知三边求三角.
第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
8．三角形中的三角变换
三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（1）角的变换
因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。
；
（2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.

9.讨论三角形解的情况
分析：先由可进一步求出B；
则
从而
1．当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解。
2．当A为锐角时，
如果≥，那么只有一解；
如果，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若，则有两解；
（2）若，则只有一解；
（3）若，则无解。
（以上解答过程详见课本第910页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且
时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
[随堂练习1]
（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。
（2）在ABC中，若，，，则符合题意的b的值有_____个。
（3）在ABC中，，，，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3））

二、典例解析
题型1：正、余弦定理
例1．（1）在中，已知，，cm，解三角形；
解析：（1）根据三角形内角和定理，
；
根据正弦定理， ；
根据正弦定理，
（2）在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。
根据正弦定理，
因为＜＜，所以，或
①当时， ，

②当时，
，
点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器
例2．（1）在ABC中，已知，，，求b及A；
解析：（1）∵
=COS
==
∴
求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
解法一：∵cos
∴
解法二：∵sin
又∵＞＜
∴＜，即＜＜
∴
（2）在ABC中，已知，，，解三角形
解析：由余弦定理的推论得：
cos
；
cos
；

点评：应用正弦定理时解法二应注意确定A的取值范围。
* 2010年高考题
（2010上海文数）18.若△的三个内角满足，则△
（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.
（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13
由余弦定理得，所以角C为钝角
（2010湖南文数）7.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=a，则
A.a＞b B.a＜b
C. a＝b D.a与b的大小关系不能确定

【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题
（2010天津理数）（7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。
由由正弦定理得
，
所以cosA==，所以A=300
【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。
（2010湖北理数）3.在中，a=15,b=10,A=60°，则=
A － B C － D
3．【答案】D
【解析】根据正弦定理可得解得，又因为，则，故B为锐角，所以，故D正确.
（2010山东理数）

（2010广东理数）11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=, A+C=2B,则sinC= .
解：由A+C=2B及A+ B+ C=180°知，B =60°．由正弦定理知，，即．由知，，则，
，
题型2：三角形面积
例3．在中，，，，求的值和的面积。
解法一：先解三角方程，求出角A的值。

又,
,

。
解法二：由计算它的对偶关系式的值。
①

,
②
　 ①　+　②　得　　。
　 ①　－　②　得　　。
从而　。
以下解法略去。
点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？
例4．（2009湖南卷文）在锐角中，则的值等于 ， 的取值范围为 .
解析 设由正弦定理得

由锐角得，
又，故，

例5．（2009全国卷Ⅰ理）在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b
分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.
解法：在中则由正弦定理及余弦定理有:
（角化边） 化简并整理得：.又由已知.解得.
题型3：三角形中的三角恒等变换问题
例6．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值。
分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理。由b2=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值。
解法一：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac。
又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc。
在△ABC中，由余弦定理得：cosA===，
∴∠A=60°。
在△ABC中，由正弦定理得sinB=，∵b2=ac，
∠A=60°，
∴=sin60°=。
解法二：在△ABC中，
由面积公式得bcsinA=acsinB。
∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB。
∴=sinA=。
评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。
例7．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，求的值。
解析：因为A、B、C成等差数列，又A＋B＋C＝180°，所以A＋C＝120°，
从而＝60°，故tan.由两角和的正切公式，得。
所以
。
点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解，同时结合三角变换公式的逆用。
题型4：正、余弦定理判断三角形形状
例8．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ）
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
答案：C
解析：2sinAcosB＝sinC =sin（A＋B）=sinAcosB+cosAsinB
∴sin（A－B）＝0，∴A＝B
另解：角化边
点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径

例9．（2009四川卷文）在中，为锐角，角所对的边分别为，且
（I）求的值；（II）若，求的值。
解（I）∵为锐角，
∴

∵ ,∴
（II）由（I）知，∴
由得
，即
又∵
∴ ∴
∴

题型5：正余弦定理的实际应用
例10．（2009辽宁卷文，理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449）

解:在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30,
所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，
故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，        在△ABC中，即AB=
因此，BD=
故B，D的距离约为0.33km。
点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。
* 2010年高考题
（2010陕西文数）17.（本小题满分12分）
在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，
AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.
解 在△ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,
由余弦定理得
cos=,
ADC=120°, ADB=60°
在△ABD中，AD=10, B=45°, ADB=60°，
由正弦定理得,
AB=.
（2010辽宁文数）（17）（本小题满分12分）
在中，分别为内角的对边，
且
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，试判断的形状.
解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得
即
由余弦定理得
故
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
又，得
因为，
故 所以是等腰的钝角三角形。
（2010辽宁理数）（17）（本小题满分12分）
在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且

（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求的最大值.
解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得
即
由余弦定理得
故 ，A=120° ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。

三、思维总结
1．解斜三角形的常规思维方法是：
（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b；
（2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角；
（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；
（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C。
2．三角学中的射影定理：在△ABC 中，，…
3．两内角与其正弦值：在△ABC 中，，…
4．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。