信号与线性系统三四章习题答案.doc

第3章 连续信号的正交分解
重点、难点学习指导

1、正交函数
（1）两函数正交条件
① 两实函数和在区间内正交的条件：

② 两复函数和在区间内正交的条件：

式中，分别是的复共轭函数。
（2）正交函数集如果函数构成一个函数集，当这些函数在区间内满足

则此函数集成为在区间的正交函数集。如果在这个正交函数集之外不存在

满足等式
则此函数集为完备正义函数集.

2．周期信号的傅里叶级数
任何周期为T的周期信号，若满足狄里赫莱条件，则可展为傅里叶级数。
（1）三角形式的傅里叶级数

式中，为相关系数，

（2）指数形式的傅里叶级数

或

式中

与三角形式的傅里叶级数比较，其相关系数存在如下关系：

3．非周期信号的傅里叶变换
傅里叶变换定义式：
正变换式
反变换式
由于频谱密度函数为复函数，故可表示为

式中是的偶函数；是的奇函数

4．周期信号的傅里叶变换
周期信号可表示为指数形式的傅里叶级数：

式中，为信号的周期。
的傅里叶变换为

式中

或
式中为单个非周期信号的傅里叶变换。

5．傅里叶变换性质
（1）线性 F F 则F
（2）延时特性 F
（3）移频特性

（4）尺度变换
（5）奇偶特性 实信号的频谱函数、实部偶函数、虚部奇函数
（6）对称特性
（7）时域微分
时域积分
（8）频域微分
频域积分
（9）卷积定理

习 题 详 解
3.1 已知在时间区间上的方波信号为

（1）如用在同一时间区间上的正弦信号来近似表示此方波信号，要求方均误差最小，写出此正弦信号的表达式；
（2）证明此信号与同一时间区间上的余弦信号(为整数)正交。
【知识点窍】 正交函数集，两函数的正交条件。
【逻辑推理】 两实函数和在区间内正交的条件；

【解题过程】 （1）设函数近似为

所以当时，方均误差最小。
（2）
所以此信号与同一时间内的余弦信号(为整数)正交。

3.2 已知。求在上的分量系数及此二信号间的相关系数。
【知识点窍】 分量系数与相关系数的定义、算法。
【逻辑推理】 分量系数的计算公式
相关系数的计算公式

【解题过程】 分量系数

相关系数

3.3 证明两相互正交的信号和同时作用于单位电阻上产生的功率，等于每一信号单独作用时产生的功率之和。以和分别为下列两组函数来验证此结论。
（1）
（2）
【知识点窍】 功率的定义，正交函数。
【逻辑推理】 功率
【证明】 和信号的功率为

因为、正交，所以
所以，即两相互正交信号的功率等于每一信号单独作用时产生功率之和。
（1）易知与相互正交，由，得
功率为

功率为

和信号功率为

所以结论成立。
（2）易知，不相互正交

而

即不满足题意，所以题目结论成立。

3.12 利用傅里叶变换的移频特性求图3.11所示信号的傅里叶变换。
【知识点窍】 傅里叶变换的移频特性。
若F ，F 的傅里叶变换为

【逻辑推理】 由移频特性来求各图的频谱函数。

图3.11

【解题过程】 (a)图(a)峰值一样为矩形包络，由图(a)可知

因为
由傅里叶变换的移频性质知

所以

(b)图(b)为三角形包络，由图(b)可知

，由移频性质得

(c)图(c)为矩形包络，由图(a)右移后得到，所以

利用时延特性

所以

3.15 求下列傅里叶函数所对应的时间函数。
（1）
（2）
（3）
（4）
【知识点窍】 傅里叶反变换以及傅里叶变换的基本性质。
【逻辑推理】 能直接使用傅里叶反变换的就直接求，不能用的可利用傅里叶的一些基本性质来解答，如对称性。
【证明】 （1）利用定义

（2）因为
所以
（3）因为
由频域微分特性，得
即
（4）因为
利用频域微分特性
即
所以

3.16 试用下列特性求图3.12所示信号的傅里叶变换。

图3.12

（1）用延时特性与线性特性；
（2）用时域微分、积分特性。
【知识点窍】 傅里叶变换的延时特性，若则。
线性特性：
若。
则
微分特性：
若，则
积分特性
若，则
【解题过程】 （1）由图3.12(a)易得信号表达式

① 由
得
又由延时特性得 ，
所以

②

即
所以
（2）图3.12(b)：

由频移特性得
①

②

因为
由对称特性得
所以 F

3.17 试用时域微分、积分特性求图3.13中波形信号的傅里叶变换。
【逻辑推理】 每幅图都可以看成是我们常用图形的叠加，再运用以上两个性质来计算。

图3.13

【解题过程】 (a)由图得，波形表达式为

由此可得

又因为
所以

则

因为

所以
当时，上式为0
所以

因为
所以

3.19 利用频域卷积定理，由的傅里叶变换及的傅里叶变换导出的傅里叶变换。
【知识点窍】 频域卷积定理
【逻辑推理】 先求出与的频谱函数，再利用频域卷积定理来计算。
【解题过程】 因为

所以

3.23 已知的频谱函数为，将按图3.15所示的波形关系构成周期信号，求此周期信号的频谱函数。
【知识点窍】 周期信号的傅里叶变换
【逻辑推理】 将拆分成的延时信号的叠加，然后运用周期信号的傅里叶变换来计算。

图3.15

【解题过程】 由图得，在(-1,1)周期内

所以
又为实偶函数，所以中没有虚部，即

4.1 正弦交流电压，经全波整流产生图4.1(b)所示的周期性正弦脉冲信号。求此信号通过图4.1(a)的RC电路滤波后，输出响应中不为零的前三个分量。

图4.1

【知识点窍】 全写出皮形函数，并且此函数为一偶函数与偶谐函数。
【逻辑推理】 。
【解题过程】 由图4.1(b)可知，所以
由图得信号表达式为

易知为偶函数与偶谐函数，所以，且只有为偶数的项

所以

由图得系统频率特性响应为

输出频率响应为

当时，
当……时，代入得各频率分量复振幅。
将各分量转换到时域并经叠加得总输出为

…

4.2 如图4.2(b)所示的周期性矩形脉冲信号，其频率为，加到一谐振频率为的并联谐振电路上，以取得三倍频信号输出。并联谐振电路的转移函数为，如果要求输出中其他分量的幅度小于三次谐波分量幅度的1%，求并联谐振电路的品质因素。
【知识点窍】 品质因素的定义以及与谐振电路的转移函数之间的关系。基波与三次谐波的输出幅度和求法。
【逻辑推理】

图4.2

【解题过程】 的傅里叶级数展开式为

由于该电路的主要输出为的正弦信号，即三次谐波分量，所以回路应对三次谐波调谐。又因为谐振曲线对称，且基波幅度大于五次谐波，所以只需考虑基波的输出幅度是否满足要求。

由题意，应有，即

因为
所以

4.6 一带限信号的频谱如图4.5(a)所示，若此信号通过如图4—5(b)所示系统。试绘出A，B，C，D各点的信号频谱的图形。系统中两个理想滤波器的截止频率均为，通常内传输值为1，相移均为零。。

图4.5
【知识点窍】 输出信号的频谱响应，等于输入信号的频谱响应与转移函数之积。
【逻辑推理】
【解题过程】 A，B，C，D各点的信号频谱图形如图4.6所示。

图4.6

4.8 求的信号通过图4.9(a)所示的系统后的输出。系统中理想通滤波器的传输特性如图4.9(b)所示，其相位特性。
【知识点窍】 输出信号的频谱响应等于输入信号的频谱响应与转移函数之积。

图4.9

【逻辑推理】

【解题过程】 首先对输入信号进行傅里叶变换，由傅里叶变换对称性，得

设输入理想带通滤波器的信号为，则

所以
频域输出为
由傅里叶反变换得时域输出为
F -1

4.9 有一幅调号为。其中：，试求：
（1）部分调幅系数。
（2）调幅信号包含的频率分量，绘出调制信号与调幅信号的频谱图，并求此调幅信号的频带宽度。
（3）此调幅信号加到电阻上产生的平均功率与峰值功率，载波功率与边频边率。
【知识点窍】 深刻理解调幅的有关概念，如调幅系数、调幅信号的频率分量，频带宽度等。
【逻辑推理】 。
【解题过程】 （1）部分调幅系数有0.3，0.1。
（2）

调幅信号包含的频率分量有

调幅信号的频带宽度为。
基波频率。

图4.10

（3）平均功率

峰值功率：
载波功率：
边频功率：。

4.13 宽带分压器电路如图4.15所示。为使电压能无失真地传输，电路元件参数应满足何种关系。
【知识点窍】 电压无失真的条件以及电压与之间的关系。
【逻辑推理】

图4.15

【解题过程】 由图得系统转移函数为

要使电压无失真

即：
②÷①，整理得

所以应满足的关系
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