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大学物理习题册解答
第二章 守恒定律
A
θ
1、 质量为m的小球系于绳的一端,绳长为l,上端A 固定,(如图示)。今有水平变力F作用在该小球上时,使小球极其缓慢地移动,即在所有位置上均处于近似力平衡状态,直到绳子与竖直方向成θ角,
(1)试用变力作功方法计算F力的功。
(2)重力作功多大?
解:根据力的平衡可得:
T F
mg
(1)
图2-1
(2)
2、地球质量M、半径R,一质量m的质点处于距地心 r=3R处,求质点地球系统在此相对位置时的引力势能,
(1)取无穷远处为零势能参考位置;
(2)取地球表面为零势能参考位置。
解:(1)取 则
(2) 取 则
图2-2
3、如图所示,一绳索跨过无摩擦的滑轮,系在质量为1Kg的物体上。起初物体静止在无摩擦的水平面上,若用5N的恒力作用在绳索另一端,使物体向右作加速运动,当系在物体上的绳索从与水平面成300角变为370角时,力对物体所作的功为多大?(已知滑轮与水平面之间的距离d=1m)。
解:
1m
300 370 F
x1 x2 O
O l0 A
θ
T
B
mg
4、一质量为m的小球系在线的一端,线的另一端固定在墙上的钉子上,线长为ι0 ,先将小球拉至水平位置A处,然后放手,试求小球摆至B点处的速度、加速度以及绳子张力大小?
解:
图2-4
5、一根均匀链条的质量为m,总长为ι,一部分放在光滑的桌面上,另一部分从桌面边缘下垂,下垂的长度为a,开始时链条静止,求链条刚好全部离开桌面时的速率。
解:根据机械能守恒,设桌面为重力势能的零点
l-a
a
6、弹簧的弹性系数为k,一端固定,另一端与质量为m的物体相连,物体与桌面的摩擦系数为μ,若以不变的力F拉物体由平衡位置O自静止开始运动,求:
(1)物体到达最远处离平衡位置的距离。
(2)物体在什么位置速度最大?最大速度为多少?
k F
m
O x
解:(1)物体、弹簧为系统,根据功能原理得
图2-6
(2)速度最大处为平衡位置,此时弹簧伸长为
kx
F
fr
由功能原理得:
7、A、B两木块,质量分别为mA、mB ,并排放在光滑的水平面上。今有一子弹水平地穿过木块A、B,所用时间分别为Δt1和Δt2,若木块对子弹的阻力为恒力F,求子弹穿过后两木块的速度?
解:未击穿A时,一起运动,根据动量定理
m
mA mB
子弹击穿A进入B后,A保持原速,B受力变速
F(N)
30
8、一质量m=10kg 的木箱,在水平拉力F的作用下由静止开始运动,若拉力F随时间变化关系如图所示,已知木箱与地面间的摩擦系数μ=0.2 试从动量原理求t=4s,t=7s,t=6s时的木箱的速度各为多大?
解:由图可知
t(s)
0 4 7
9、雨天,大量雨滴以速率v落在表面积为S的屋顶上,已知雨滴下落方向与屋顶平面的法线成α角,雨滴在单位体积内的雨滴数为n,每一雨滴的质量为m。设雨滴落到屋顶后速率变为零,求雨滴对屋顶产生的平均正压力。
解:设M为时间内落到屋顶的总质量
根据动量定理屋顶对其的冲量为
n
图2-9
屋顶受到的压力大小与相同,方向相反
平均压力
α
10、A、B两条船,质量都为m,静止在平静的湖面上,A船上有一质量为m/2的人,以水平速度u相对A船从A船跳到B船上。如果忽略水对船的阻力,求人跳到B船后,A船和B船的速度。
解:设为A船对地的速度,为B船对地速度,在人跳出A船的过程中,水平方向无外力作用——人、A船系统动量守恒定理,即
A船:
得 方向与人跳出速度方向相反
同理人跳入B船过程,人、B船系统水平方向动量守恒
B 船:
得 方向与人跳入速度方向相同
11、滑块A和B的质量分别为mA、mB,用弹性系数为k的弹簧相连,并置于光滑的水平面上,最初弹簧处于自由长度。质量为m0 的子弹以速度v0沿水平方向射入滑块A内,试求弹簧的最大 压缩量。
解:(1)子弹击中木块A到他们取得共同速度为止。此时弹簧还未被压缩,
子弹、A系统动量守恒,即
B A
(2)子弹与木块A取得同速度到弹簧
达到最大压缩为止,这时A、B具有共同速度,
子弹、弹簧、A和B系统动量守恒和机械能守恒:
由(1)、(2)、(3)解得
v0
m0
12、有两个质量分别为m1、m2的行星,开始相距为无限远处,可看作静止,由于万有引力作用,它们彼此接近,当它们接近相距为d时,它们接近的相对速度为多大?
解:m1、m2为系统,仅有保守力内力,所以系统动量守恒,机械能守恒
由(1)、(2)解得
图2-12
两粒子的相对速度vr
13、质量为、速率为的粒子A与另一个质量为其一半而静止的粒子B发生二维完全弹性碰撞,碰撞后粒子A的速率为,求:
(1) 粒子B的速率及相对粒子A 原来速度方向的偏角;
(2) 粒子A的偏转角。
VB
VA b x
a
V A’
解: (1)
(2)
(3)
由(1)、(2)、(3)式得
14、质量为m1=0.2kg的框子,用一弹簧悬挂起来,弹簧伸长0.1m,今有质量为m2=0.2kg的油灰由距离框底0.3m高处的位置自由落到框上(如图)。求:油灰冲撞框子而使框向下移动的最大距离?
解:(1)m2自由落体(2)m1、m2完全非弹性碰撞(3)m1、m2、弹簧、地球系统机械能守恒(设,)
又
由(1)——(5)联立解得
m2
0.3m
m1
15、质量为0.05kg物体,置于一无摩擦的水平桌上。有一绳结于此物并使绳穿过桌面中心的小孔,该物原以3rad/s的角速度在距孔0.2m的圆周上转动。今将绳从小孔往下拉,使该物体之转动半径减为0.1m(该物体可视为质点),求:
0.2m
(1)拉下后物体的角速度;
(2)拉力作的功。
解:(1)力由转轴向下拉,力矩为零,故系统
角动量守恒
图2-15
(2)
16、火箭以第二宇宙速度v2=沿地面表面切向飞出,在飞离地球过程中,火箭发动机停止工作,不计空气阻力,则火箭在距地心4R的A处速度的大小和方向?
解:火箭在万有引力的作用下运动,对地心的角动量守恒
v2
(1)
R A
θ
v
火箭、地球系统机械能守恒
(2)
(3)
由(1)、(2)、(3)联立解得
4R
18
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