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本学期全部作业题目和答案
第九章　振动

9-1　一个质点作简谐运动，振幅为A，在起始时刻质点的位移为，且向x 轴正方向运动，代表此简谐运动的旋转矢量为（　　）

题９-１ 图
分析与解（b）图中旋转矢量的矢端在x 轴上投影点的位移为－A/2，且投影点的运动方向指向Ox 轴正向，即其速度的x分量大于零，故满足题意．因而正确答案为（b）．
9-2　已知某简谐运动的振动曲线如图（a）所示，则此简谐运动的运动方程为（　　）

题９-２ 图
分析与解　由振动曲线可知，初始时刻质点的位移为 –A/2，且向x 轴负方向运动．图（ｂ）是其相应的旋转矢量图，由旋转矢量法可知初相位为．振动曲线上给出质点从–A/2 处运动到+A 处所需时间为1 s，由对应旋转矢量图可知相应的相位差，则角频率，故选（D）．本题也可根据振动曲线所给信息，逐一代入方程来找出正确答案．
9-3 　两个同周期简谐运动曲线如图（a） 所示， x1 的相位比x2 的相位（　　）
（A） 落后 （B）超前 （C）落后 （D）超前
分析与解　由振动曲线图作出相应的旋转矢量图（b） 即可得到答案为（b）．

题９-３ 图
9-4　当质点以频率ν 作简谐运动时，它的动能的变化频率为（　　）
（A） （B） （C） （D）
分析与解　质点作简谐运动的动能表式为，可见其周期为简谐运动周期的一半，则频率为简谐运动频率ν的两倍．因而正确答案为（C）．
9-5　图（a）中所画的是两个简谐运动的曲线，若这两个简谐运动可叠加，则合成的余弦振动的初相位为（　　）
（A） （B） （C） （D）
分析与解　由振动曲线可以知道，这是两个同振动方向、同频率简谐运动，它们的相位差是（即反相位）．运动方程分别为和．它们的振幅不同．对于这样两个简谐运动，可用旋转矢量法，如图（b）很方便求得合运动方程为．因而正确答案为（D）．

9-7　若简谐运动方程为，求：（1） 振幅、频率、角频率、周期和初相；（2）时的位移、速度和加速度．
分析　可采用比较法求解．将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式作比较，即可求得各特征量．运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入值后，即可求得结果．
解　（1） 将与比较后可得：振幅A ＝0.10m，角频率，初相＝0.25，则周期，频率．
（２）时的位移、速度、加速度分别为

9-14　某振动质点的x-t 曲线如图（a）所示，试求：（1） 运动方程；（2） 点P 对应的相位；（3） 到达点P 相应位置所需的时间．
分析　由已知运动方程画振动曲线和由振动曲线求运动方程是振动中常见的两类问题．本题就是要通过x －t 图线确定振动的三个特征量A、ω和，从而写出运动方程．曲线最大幅值即为振幅A；而ω、通常可通过旋转矢量法或解析法解出，一般采用旋转矢量法比较方便．
解　（1） 质点振动振幅A ＝0.10 ｍ．而由振动曲线可画出t0 ＝0 和t1 ＝4 ｓ时旋转矢量，如图（b） 所示．由图可见初相（或），而由得，则运动方程为

题9-14 图
（2） 图（a）中点P 的位置是质点从A／2 处运动到正向的端点处．对应的旋转矢量图如图（c） 所示．当初相取时，点P 的相位为（如果初相取成，则点P 相应的相位应表示为．
（3） 由旋转矢量图可得，则．
9-25　质量为0.10kg的物体，以振幅1.0×10-2 m 作简谐运动，其最大加速度为4.0 ｍ·s-1
求：（1） 振动的周期；（2） 物体通过平衡位置时的总能量与动能；（3） 物体在何处其动能和势能相等？ （4） 当物体的位移大小为振幅的一半时，动能、势能各占总能量的多少？
分析　在简谐运动过程中，物体的最大加速度，由此可确定振动的周期T．另外，在简谐运动过程中机械能是守恒的，其中动能和势能互相交替转化，其总能量E ＝kA2/2．当动能与势能相等时，Ek ＝EP ＝kA2/4．因而可求解本题．
解　（1） 由分析可得振动周期

　　（2） 当物体处于平衡位置时，系统的势能为零，由机械能守恒可得系统的动能等于总能量，即

　　（3） 设振子在位移x0 处动能与势能相等，则有

得
　　（４） 物体位移的大小为振幅的一半（即）时的势能为

则动能为
9-28 　已知两同方向、同频率的简谐运动的运动方程分别为；．求：（1） 合振动的振幅及初相；（2） 若有另一同方向、同频率的简谐运动，则为多少时，x1 ＋x3 的振幅最大？ 又 为多少时，x2 ＋x3 的振幅最小？

题9-28 图
分析　可采用解析法或旋转矢量法求解.由旋转矢量合成可知，两个同方向、同频率简谐运动
的合成仍为一简谐运动，其角频率不变；合振动的振幅，其大小与两个分振动的初相差相关．而合振动的初相位

解　（1） 作两个简谐运动合成的旋转矢量图（如图）．因为，故合振动振幅为

合振动初相位

（2） 要使x1 ＋x3 振幅最大，即两振动同相，则由得

要使x1 ＋x3 的振幅最小，即两振动反相，则由得

第十章　波　　动
10-1　图（a）表示t ＝0 时的简谐波的波形图，波沿x 轴正方向传播，图（b）为一质点的振动曲线．则图（a）中所表示的x ＝0 处振动的初相位与图（b）所表示的振动的初相位分别为（　　）

题10-1 图
（Ａ） 均为零　　　　　（Ｂ） 均为 　　　　　（Ｃ） 均为
（Ｄ） 与 （Ｅ） 与
分析与解　本题给了两个很相似的曲线图，但本质却完全不同．求解本题要弄清振动图和波形图不同的物理意义．图（a）描述的是连续介质中沿波线上许许多多质点振动在t 时刻的位移状态．其中原点处质点位移为零，其运动方向由图中波形状态和波的传播方向可以知道是沿y 轴负向，利用旋转矢量法可以方便的求出该质点振动的初相位为π/2．而图（b）是一个质点的振动曲线图，该质点在t ＝0 时位移为0，t ＞0 时，由曲线形状可知，质点向y 轴正向运动，故由旋转矢量法可判知初相位为－π/2，答案为（D）．
10-2　机械波的表达式为，则（　　）
（Ａ） 波长为100 ｍ　　　　　　　　（Ｂ） 波速为10 ｍ·ｓ-1
（Ｃ） 周期为1/3 ｓ （Ｄ） 波沿x 轴正方向传播
分析与解　波动方程的一般表式为，其中A 为振幅，φ为初相，u 为波速．x/u 前的“-”表示波沿x 轴正向传播，“+”表示波沿x轴负向传播．因此将原式写为和一般式比较可知（Ｂ）、（Ｄ） 均不对．而由ω＝2π/T ＝6πｓ-1 可知T ＝（1/3）ｓ．则λ＝uT ＝33.3 m，因此（Ａ）也不对．只有（Ｃ）正确．
10-3　一平面简谐波，沿x 轴负方向传播，角频率为ω，波速为u．设时刻的波形如图（a）所示，则该波的表达式为（　　）

题10-3 图
分析与解　因为波沿x 轴负向传播，由上题分析知（Ａ）、（B）表式不正确．找出（C）、（D）哪个是正确答案，可以有很多方法．这里给出两个常用方法．方法一：直接将t ＝T/4，x＝0 代入方程，那么对（C）有y0 ＝A、对（D）有y0 ＝0，可见（D）的结果与图一致．方法二：用旋转矢量法求出波动方程的初相位．由图（a）可以知道t ＝T/4 时原点处质点的位移为0，且向y 轴正向运动，则此时刻的旋转矢量图如图（b）所示．要求初相位，只要将该时刻的旋转矢量反转（顺时针转）Δφ＝ω·Δt ＝ω·T/4 ＝π/2，如图（b）所示，即得φ0 ＝π．同样得（D）是正确答案．

题10-4 图
10-4　如图所示，两列波长为λ的相干波在点P 相遇．波在点S1 振动的初相是φ1 ，点S1 到点P的距离是r1 ．波在点S2的初相是φ2 ，点S2 到点P 的距离是r2 ，以k 代表零或正、负整数，则点P 是干涉极大的条件为（　　）

分析与解　P 是干涉极大的条件为两分振动的相位差，而两列波传到P 点时的两分振动相位差为，故选项（D）正确．
10-5　在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动（　　）
（A） 振幅相同，相位相同　　　　　　（B） 振幅不同，相位相同
（C） 振幅相同，相位不同 （D） 振幅不同，相位不同
分析与解　驻波方程为，因此根据其特点，两波节间各点运动同相位，但振幅不同．因此正确答案为（B）．
10-9　已知一波动方程为．（1） 求波长、频率、波速和周期；（2） 说明x ＝0 时方程的意义，并作图表示．

题10-9 图
分析　采用比较法．将题给的波动方程改写成波动方程的余弦函数形式，比较可得角频率ω、波速u，从而求出波长、频率等．当x 确定时波动方程即为质点的运动方程y ＝y（t）．
解　（1） 将题给的波动方程改写为与比较后可得波速u ＝15.7 ｍ·ｓ-1 ， 角频率ω＝10πｓ-1 ，故有

（2） 由分析知x ＝0 时，方程表示位于坐标原点的质点的运动方程（如图）．
10-16　平面简谐波的波动方程为．
求：（1） t ＝2.1 s 时波源及距波源0.10m 两处的相位；（2） 离波源0.80 m及0.30 m 两处的相位差．
解　（1） 将t ＝2.1 s和x ＝0 代入题给波动方程，可得波源处的相位

将t ＝2.1 s 和x′＝0.10 m 代入题给波动方程，得0.10 m 处的相位为

（2） 从波动方程可知波长λ＝1.0 m．这样，x1 ＝0.80 m 与x2 ＝0.30 m两点间的相位差

10-19　如图所示，两振动方向相同的平面简谐波波源分别位于A、B 两点．设它们相位相同，且频率均为u＝30Hz，波速u ＝0.50 m·s-1 ．求在P 点处两列波的相位差．
分析　在均匀介质中，两列波相遇时的相位差Δφ一般由两部分组成，即它们的初相差φA -φB 和由它们的波程差而引起的相位差2πΔr/λ．本题因φA＝φB ，故它们的相位差只取决于波程差．
解　在图中的直角三角形ABP 中

两列波在点P 处的波程差为Δr ＝AP －BP，则相位差为

题10-19图
10-23　如图所示，x ＝0 处有一运动方程为的平面波波源，产生的波沿x 轴正、负方向传播．MN 为波密介质的反射面，距波源3λ／4．求：（1） 波源所发射的波沿波源O 左右传播的波动方程；（2） 在MN 处反射波的波动方程；（3） 在O ～MN 区域内形成的驻波方程，以及波节和波腹的位置；（4） x ＞0区域内合成波的波动方程．

题10-23 图
分析　知道波源O 点的运动方程，可以写出波沿x 轴负向和正向传播的方程分别为和．因此可以写出y1 在MN 反射面上P 点的运动方程．设反射波为y3 ，它和y1 应是同振动方向、同振幅、同频率的波，但是由于半波损失，它在P 点引起的振动和y1 在P 点引起的振动反相．利用y1 在P 点的运动方程可求y3 在P 点的运动方程，从而写出反射波y3 ．在O ～MN 区域由y1 和Y3 两列同频率、同振动方向、同振幅沿相反方向传播的波合成形成驻波．在x ＞0区域是同传播方向的y2 和y3 合成新的行波．
解　（1） 由分析已知：沿左方向和右方向传播的波动方程分别为
和
（2） y1 在反射面MN 处引起质点P 振动的运动方程

因半波损失反射波y3 在此处引起的振动为

设反射波的波动方程为，则反射波在x ＝－3λ/4处引起的振动为

与上式比较得，故反射波的波动方程为

（3） 在O ～MN 区域由y1 和y3 合成的驻波y4 为

波节的位置：，取k ＝－1， －2，即x ＝－λ/4， －3λ/4 处为波节．
波腹的位置：，取k ＝0，－1，即x ＝0，－λ/2 处为波腹．
（4） 在x ＞0 区域，由y2 和y3 合成的波y5 为

这表明：x ＞0 区域内的合成波是振幅为2A 的平面简谐波．
10-24　一弦上的驻波方程式为

（1） 若将此驻波看成是由传播方向相反，振幅及波速均相同的两列相干波叠加而成的，求它们的振幅及波速；（2） 求相邻波节之间的距离；（3） 求t ＝3.0 ×10-3 s 时位于x＝0.625 m 处质点的振动速度．
分析　（1） 采用比较法．将本题所给的驻波方程，与驻波方程的一般形式相比较即可求得振幅、波速等．（2） 由波节位置的表达式可得相邻波节的距离．（3） 质点的振动速度可按速度定义v ＝dy/dt 求得．
解　（1） 将已知驻波方程
与驻波方程的一般形式作比较，可得两列波的振幅A ＝1.5 ×10-2 m，波长λ＝1.25 m，频率u＝275 Hz，则波速u ＝λu＝343.8m·s-1 ．
（2） 相邻波节间的距离为

（3） 在t ＝3.0 ×10-3 s 时，位于x＝0.625 m 处质点的振动速度为

第十一章　光　　学

11-1　在双缝干涉实验中，若单色光源S 到两缝S1 、S2 距离相等，则观察屏
上中央明条纹位于图中O 处，现将光源S 向下移动到图中的S′位置，则（　　）
（A） 中央明纹向上移动，且条纹间距增大
（B） 中央明纹向上移动，且条纹间距不变
（C） 中央明纹向下移动，且条纹间距增大
（D） 中央明纹向下移动，且条纹间距不变
分析与解　由S 发出的光到达S1 、S2 的光程相同，它们传到屏上中央O 处，光程差Δ＝0，形成明纹．当光源由S 移到S′时，由S′到达狭缝S1 和S2 的两束光产生了光程差．为了保持原中央明纹处的光程差为0，它会向上移到图中O′处．使得由S′沿S1 、S2 狭缝传到O′处的光程差仍为0．而屏上各级条纹位置只是向上平移，因此条纹间距不变．因此正确答案为（B）．

题11-1 图
11-2　如图所示，折射率为n2 ，厚度为e 的透明介质薄膜的上方和下方的透明介质的折射率分别为n1 和n3，且n1 ＜n2 ，n2 ＞n3 ，若用波长为λ的单色平行光垂直入射到该薄膜上，则从薄膜上、下两表面反射的光束的光程差是（　　）

题11-2 图
分析与解　由于n1 ＜n2 ，n2 ＞n3 ，因此在上表面的反射光有半波损失，下表面的反射光没有半波损失，故它们的光程差，这里λ是光在真空中的波长．因此正确答案为（B）．
11-3　如图（a）所示，两个直径有微小差别的彼此平行的滚柱之间的距离为L，夹在两块平面晶体的中间，形成空气劈形膜，当单色光垂直入射时，产生等厚干涉条纹，如果滚柱之间的距离L 变小，则在L 范围内干涉条纹的（　　）
（A） 数目减小，间距变大　　　　（B） 数目减小，间距不变
（C） 数目不变，间距变小 （D） 数目增加，间距变小

题11-3图
分析与解　图（a）装置形成的劈尖等效图如图（b）所示．图中 d为两滚柱的直径差，b 为两相邻明（或暗）条纹间距．因为d 不变，当L 变小时，θ 变大，L′、b均变小．由图可得，因此条纹总数，因为d和λn 不变，所以N 不变．正确答案为（C）
11-4　在单缝夫琅禾费衍射实验中，波长为λ的单色光垂直入射在宽度为3λ的单缝上，对应于衍射角为30°的方向，单缝处波阵面可分成的半波带数目为（　　）
（A） 2 个　　　（B） 3 个　　　（C） 4 个　　　（D） 6 个
分析与解　根据单缝衍射公式

因此第k 级暗纹对应的单缝波阵面被分成2k 个半波带，第k 级明纹对应的单缝波阵面被分成2k ＋1 个半波带．由题意，即对应第1 级明纹，单缝分成3 个半波带．正确答案为（B）．
11-5　波长λ＝550 nm 的单色光垂直入射于光栅常数d ＝1.0 ×10-4 cm 的光栅上，可能观察到的光谱线的最大级次为（　　）
（A） 4　　　　　（B） 3　　　　　（C） 2　　　　　（D） 1
分析与解　由光栅方程，可能观察到的最大级次为

即只能看到第1 级明纹，答案为（D）．
11-8　在双缝干涉实验中，两缝间距为0.30 mm，用单色光垂直照射双缝，在离缝1.20m 的屏上测得中央明纹一侧第5条暗纹与另一侧第5条暗纹间的距离为22.78 mm．问所用光的波长为多少，是什么颜色的光？
分析与解　在双缝干涉中，屏上暗纹位置由 决定，式中d′为双缝到屏的距离，d为双缝间距．所谓第5 条暗纹是指对应k ＝4 的那一级暗纹．由于条纹对称，该暗纹到中央明纹中心的距离，那么由暗纹公式即可求得波长λ．此外，因双缝干涉是等间距的，故也可用条纹间距公式求入射光波长．应注意两个第5 条暗纹之间所包含的相邻条纹间隔数为9（不是10，为什么？），故。
解1　屏上暗纹的位置，把以及d、d′值代入，可得λ＝632.8 nm，为红光．
解2　屏上相邻暗纹（或明纹）间距，把，以及d、d′值代入，可得λ＝632.8 nm．
11-9　在双缝干涉实验中，用波长λ＝546.1 nm 的单色光照射，双缝与屏的距离d′＝300mm．测得中央明纹两侧的两个第五级明条纹的间距为12.2mm，求双缝间的距离．
分析　双缝干涉在屏上形成的条纹是上下对称且等间隔的．如果设两明纹间隔为Δx，则由中央明纹两侧第五级明纹间距x5 －x-5 ＝10Δx 可求出Δx．再由公式Δx ＝d′λ／d 即可求出双缝间距d．
解　根据分析：Δx ＝（x5 －x-5）/10 ＝1.22×10-3 m
双缝间距： d ＝d′λ／Δx ＝1.34 ×10-4 m
11-12　一双缝装置的一个缝被折射率为1.40的薄玻璃片所遮盖，另一个缝被折射率为1.70 的薄玻璃片所遮盖．在玻璃片插入以后，屏上原来中央极大的所在点，现变为第五级明纹．假定λ＝480nm，且两玻璃片厚度均为d，求d 值．

题11-12图
分析　本题是干涉现象在工程测量中的一个具体应用，它可以用来测量透明介质薄片的微小厚度或折射率．在不加介质片之前，两相干光均在空气中传播，它们到达屏上任一点P 的光程差由其几何路程差决定，对于点O，光程差Δ＝0，故点O 处为中央明纹，其余条纹相对点O 对称分布．而在插入介质片后，虽然两相干光在两介质薄片中的几何路程相同，但光程却不同，对于点O，Δ≠0，故点O 不再是中央明纹，整个条纹发生平移．这时，干涉条纹空间分布的变化完全取决于光程差的变化．因此，对于屏上某点P（明纹或暗纹位置），只要计算出
插入介质片前后光程差的变化，即可知道其干涉条纹的变化情况．
插入介质前的光程差Δ1 ＝r1 －r 2 ＝k1 λ（对应k1 级明纹），插入介质后的光程差Δ2 ＝[（n1－1）d ＋r1 ］－[（n2 －1）d ＋r2 ］＝k2 λ（对应k2 级明纹）．光程差的变化量为
Δ2 －Δ1 ＝（n2 －n1 ）d ＝（k2 －k1 ）λ
式中（k2 －k1 ）可以理解为移过点P 的条纹数（本题为5）．因此，对于这类问题，求解光程差的变化量是解题的关键．
解　由上述分析可知，两介质片插入前后，对于原中央明纹所在点O，有

将有关数据代入可得

11-13　白光垂直照射到空气中一厚度为380 nm 的肥皂膜上．设肥皂的折射率为1.32．试问该膜的正面呈现什么颜色？ 背面呈现什么颜色？
分析　这是薄膜干涉问题，求正面呈现的颜色就是在反射光中求因干涉增强光的波长（在可见光范围），求背面呈现的颜色就是在透射光中求干涉增强（即反射减弱）光的波长．
解　根据分析对反射光加强，有

在可见光范围，k ＝2 时，（红光）
k ＝3 时，（紫光）
故正面呈红紫色．同理，对透射光加强，有
2ne ＝kλ　（k ＝1，2，…）
在可见光范围仅有k＝2 时，λ＝501.6 nm（绿光）．即背面呈绿色．
11-14　在折射率n3 ＝1.52 的照相机镜头表面涂有一层折射率n2 ＝1.38的MgF2 增透膜，若此膜仅适用于波长λ＝550nm的光，则此膜的最小厚度为多少？
分析　在薄膜干涉中，膜的材料及厚度都将对两反射光（或两透射光）的光程差产生影响，从而可使某些波长的光在反射（或透射）中得到加强或减弱，这种选择性使薄膜干涉在工程技术上有很多应用．本题所述的增透膜，就是希望波长λ＝550nm的光在透射中得到加强，从而得到所希望的照相效果（因感光底片对此波长附近的光最为敏感）．具体求解时应注意在d>0的前提下，k 取最小的允许值．
解1　因干涉的互补性，波长为550nm 的光在透射中得到加强，则在反射中一定减弱，两反射光的光程差Δ2 ＝2n2 d，由干涉相消条件 ，得

取k ＝0，则dmin ＝99.6nm．
解2　由于空气的折射率n1 ＝1，且有n1 ＜n2 ＜n3 ，则对透射光而言，两相干光的光程差，由干涉加强条件Δ1 ＝kλ，得

取k ＝1，则膜的最小厚度dmin ＝99.6nm．

11-15　利用空气劈尖测细丝直径．如图所示，已知λ＝589.3 nm，L ＝2.888 ×10-2m，测得30 条条纹的总宽度为4.259 ×10-3 m，求细丝直径d．
分析　在应用劈尖干涉公式 时，应注意相邻条纹的间距b 是N 条条纹的宽度Δx 除以（N －1）．对空气劈尖n ＝1．
解　由分析知，相邻条纹间距，则细丝直径为

题11-15 图
11-17　如图（a）所示，将符合标准的轴承钢珠a、b 和待测钢珠c 一起放在两块平板玻璃之间，若垂直入射光的波长λ＝580 nm，问钢珠c 的直径比标准小多少？ 如果距离d 不同，对检测结果有何影响？
分析　很显然，如钢珠c 与标准件a、b 相同，则呈现厚度相同的薄膜干涉；如钢珠与标准件不同，则为劈尖干涉．后者有等厚干涉条纹出现，a 与c 之间的条纹分布如图（b）所示．由于相邻条纹的厚度差Δd ＝λ/2n．而空气的折射率n≈1，则两钢珠之间的直径差，式中N 为a 与c 之间的条纹间隔数目（注：条纹数目较多时，也可用条纹数目作近似计算），由图（a）知N 约为．
改变钢珠间的距离d，将钢珠c 移至c′处，如图（c）所示，a 与c′之间条纹数并未改变，但由于相邻条纹间距变小，从而影响观测．

题11-17 图
解　钢珠c 和a、b 的直径不同，则两平板玻璃形成空气劈．由分析得，钢珠c的直径与标准件直径相差

当距离d 稍微改变时，a、b 与c 之间条纹数目未变，故不影响检验结果．
11-24　如图所示，狭缝的宽度b ＝0.60 mm，透镜焦距f ＝0.40m，有一与狭缝平行的屏放置在透镜焦平面处．若以单色平行光垂直照射狭缝，则在屏上离点O 为x ＝1.4 mm处的点P，看到的是衍射明条纹．试求：（1） 该入射光的波长；（2） 点P条纹的级数；（3） 从点P 看来对该光波而言，狭缝处的波阵面可作半波带的数目．
分析　单缝衍射中的明纹条件为，在观察点P 确定（即φ确定）后，由于k 只能取整数值，故满足上式的λ只可取若干不连续的值，对照可见光的波长范围可确定入射光波长的取值．此外，如点P 处的明纹级次为k，则狭缝处的波阵面可以划分的半波带数目为（2k ＋1），它们都与观察点P 有关，φ越大，可以划分的半波带数目也越大．
解　（1） 透镜到屏的距离为d，由于d ＞＞b，对点P 而言，有．根据单缝衍射明纹条件，有

将b、d（d≈f）、x 的值代入，并考虑可见光波长的上、下限值，有

因k 只能取整数值，故在可见光范围内只允许有k ＝４ 和k ＝３，它们所对应的入
射光波长分别为λ2 ＝466.7 nm和λ1 ＝600 nm．
（2） 点P 的条纹级次随入射光波长而异，当λ1 ＝600 nm时，k ＝3；当λ2 ＝466.7 nm时，k ＝4．
（3） 当λ1 ＝600 nm 时，k ＝３，半波带数目为（2k ＋1） ＝7；当λ2 ＝466.7 nm
时，k ＝4，半波带数目为9．

题11-24 图
11-25　单缝的宽度b ＝0.40 mm，以波长λ＝589 nm 的单色光垂直照射，设透镜的焦距f ＝1.0 m．求：（1） 第一级暗纹距中心的距离；（2） 第二级明纹距
中心的距离；*（3） 如单色光以入射角i ＝30°斜射到单缝上，则上述结果有何变动．

题11-25图

分析　对于问题（3）单色光倾斜入射单缝的情况，在入射光到达单缝时，其上下两列边界光线之间已存在光程差（若为光栅，则为），对应等光程的中央主极大将移至点O′（此时φ＝i ＝30°），屏上衍射条纹原有的对称性受到一定的破坏．
如图所示，对于点O′上方的条纹（此时入射光与衍射光位于法线两侧，且φ＞i），满足

如令，可求得最大条纹级次km1 ．对于点O 下方的条纹（此时入射光与衍射光位于法线同侧），满足

如令，可求得另一侧的最大条纹级次km2 ．对于点O′与O 之间的条纹（此时入射光与衍射光位于法线两侧，但φ＜i），满足

需要说明的是，点O′与O之间的条纹与点O下方的条纹属于中央主极大同一侧的各级条纹，不同的是前者k 值较小，后者k 值较大，且k 值在点O附近连续变化．
解　（1） 由单缝衍射的暗纹条件，得，则第一级（k ＝1）暗纹距中心的距离为

（2） 由明纹条件，得，则第二级（k ＝2）明纹距中心的距离为

在上述计算中，由于k 取值较小，即φ较小，故．如k 取值较大，则应严格计算．
　　*（3） 斜入射时，中央主极大移至点O′，先计算点O′上方条纹的位置：对于第
一级暗纹，有，该暗纹距中心的距离

对于第二级明纹，有，该明纹距中心的距离

再计算O′点下方条纹的位置（由于所求k 值较小，其条纹应在O′与O 之间）：对于第一级暗纹，有，该暗纹距中心的距离

对于第二级明纹，有，该明纹距中心的距离

讨论　斜入射时，中央主极大移至点O′（此时φ＝i ＝30°），它距中心点O的距离为，由上述计算数据可知，此时衍射条纹不但相对点O 不对称，而且相对中央主极大的点O′也不再严格对称了．

11-27 　已知单缝宽度b ＝1.0 ×10-4 m，透镜焦距f ＝0.5 m，用λ1 ＝400 nm和λ2 ＝760 nm的单色平行光分别垂直照射，求这两种光的第一级明纹离屏中心的距离，以及这两条明纹之间的距离．若用每厘米刻有1000条刻线的光栅代替这个单缝，则这两种单色光的第一级明纹分别距屏中心多远？ 这两条明纹之间的距离又是多少？
分析　用含有两种不同波长的混合光照射单缝或光栅，每种波长可在屏上独立地产生自己的一组衍射条纹，屏上最终显示出两组衍射条纹的混合图样．因而本题可根据单缝（或光栅）衍射公式分别计算两种波长的k 级条纹的位置x1和x2 ，并算出其条纹间距Δx ＝x2 －x1 ．通过计算可以发现，使用光栅后，条纹将远离屏中心，条纹间距也变大，这是光栅的特点之一．
解　（1） 当光垂直照射单缝时，屏上第k 级明纹的位置

当λ1 ＝400 nm 和k ＝1 时，　　x1 ＝3.0 ×10-3 m
当λ2 ＝760 nm 和k ＝1 时，　　x2 ＝5.7 ×10-3 m
其条纹间距　　　　Δx ＝x2 －x1 ＝2.7 ×10-3 m
（2） 当光垂直照射光栅时，屏上第k 级明纹的位置为

而光栅常数
当λ1 ＝400 nm 和k ＝1 时，　　x1 ＝2.0 ×10-3 m
当λ2 ＝760 nm 和k ＝1 时，　　x2 ＝3.8 ×10-3 m
其条纹间距　
11-28　迎面而来的一辆汽车的两车头灯相距为1.0 m，问在汽车离人多远时，它们刚能为人眼所分辨？ 设瞳孔直径为3.0 m m，光在空气中的波长λ＝500 nm．
分析　两物体能否被分辨，取决于两物对光学仪器通光孔（包括人眼）的张角θ 和光学仪器的最小分辨角θ0 的关系．当θ≥θ0 时能分辨，其中θ＝θ0 为恰能分辨．在本题中为一定值，而，式中l 为两灯间距，d 为人与车之间的距离．d 越大或l 越小，θ 就越小，当θ ＜θ0 时两灯就不能被分辨，这与我们的生活经验相符合．
解　当θ ＝θ0时， ，此时，人与车之间的距离为

11-32　波长为600 nm 的单色光垂直入射在一光栅上，第二级主极大出现在处，第四级缺级．试问（1） 光栅上相邻两缝的间距是多少？（2） 光栅上狭缝的宽度有多大？ （3） 在－90°＜φ＜90°范围内，实际呈现的全部级数．
分析　（1） 利用光栅方程，即可由题给条件求出光栅常数d（即两相邻缝的间距）．（2） 光栅衍射是多缝干涉的结果，也可看成是光透过许多平行的单缝衍射的结果．缺级就是按光栅方程计算屏上某些应出现明纹的位置，按各个单缝衍射计算恰是出现暗纹的位置．因此可以利用光栅方程和单缝衍射暗纹公式计算缝宽和屏上缺级的情况，从而求出屏上条纹总数．
解　（1） 由题已知k ＝2 时，，则由分析可得光栅常数：

（2） 由分析知缺级条件
则（b ＋b′）／b ＝k／k′＝m，k ＝m k′，即m k′级明纹缺级．
由题意k ＝4 缺级，即（b ＋b′）／b ＝4／k′
当k′＝1 时，m ＝4，，即±4， ±8， ±12，…级缺级．（符合题意）
当k′＝2 时，m ＝2，第±2， ±4， ±6，…级缺级．（第二级已存在，不符合题意，舍
去）
当k′＝3 时，，第±4， ±8， ±12，…级缺级．（符合题意）
当k′＝4 时，m ＝1，第±1， ±2， ±3， ±4，…级全部缺级．（不符合题意，舍去）
因此，狭缝宽度b 为1.5 μm 或者4.5μm，而缺级只发生在±4， ±8， ±12，…级．
（3） 由光栅方程，可知屏上呈现条纹最高级次应满足，故考虑到缺级，实际屏上呈现的级数为：0， ±1， ±2， ±3，±5， ±6， ±7， ±9，共15 条．
11-35　使自然光通过两个偏振化方向相交60°的偏振片，透射光强为I1 ，今在这两个偏振片之间插入另一偏振片，它的方向与前两个偏振片均成30°角，则透射光强为多少？
分析　设入射自然光强为I0 ，偏振片I对入射的自然光起起偏作用，透射的偏振光光强恒为，而偏振片Ⅱ对入射的偏振光起检偏作用，此时透射与入射的偏振光强满足马吕斯定律．若偏振片Ⅲ插入两块偏振片之间，则偏振片Ⅱ、Ⅲ均起检偏作用，故透射光强必须两次应用马吕斯定律方能求出．
解　根据以上分析，入射光通过偏振片Ⅰ和Ⅱ后，透射光强为

插入偏振片Ⅲ后，其透射光强为

两式相比可得　
11-36　一束光是自然光和线偏振光的混合，当它通过一偏振片时，发现透射光的强度取决于偏振片的取向，其强度可以变化5 倍，求入射光中两种光的强度各占总入射光强度的几分之几．
分析　偏振片的旋转，仅对入射的混合光中的线偏振光部分有影响，在偏振片旋转一周的过程中，当偏振光的振动方向平行于偏振片的偏振化方向时，透射光强最大；而相互垂直时，透射光强最小．分别计算最大透射光强Imax 和最小透射光强Imin ，按题意用相比的方法即能求解．
解　设入射混合光强为I，其中线偏振光强为xI，自然光强为（1－x）I．按题意旋转偏振片，则有最大透射光强
最小透射光强
按题意，则有

解得　 x ＝2/3
即线偏振光占总入射光强的2/3，自然光占1/3．

第十三章　热力学基础
13 －1　如图所示，bca 为理想气体绝热过程，b1a 和b2a 是任意过程，则上述两过程中气体作功与吸收热量的情况是(　　)
(Ａ) b1a 过程放热，作负功；b2a 过程放热，作负功
(Ｂ) b1a 过程吸热，作负功；b2a 过程放热，作负功
(Ｃ) b1a 过程吸热，作正功；b2a 过程吸热，作负功
(Ｄ) b1a 过程放热，作正功；b2a 过程吸热，作正功

分析与解　bca，b1a 和b2a 均是外界压缩系统，由知系统经这三个过程均作负功，因而(Ｃ)、(Ｄ)不对.理想气体的内能是温度的单值函数，因此三个过程初末态内能变化相等，设为ΔE.对绝热过程bca，由热力学第一定律知ΔE ＝－Wbca.另外，由图可知：｜Wb2a ｜＞｜Wbca ｜＞｜Wb1a ｜，则Wb2a ＜Wbca ＜Wb1a.对b1a 过程：Q ＝ΔE ＋Wb1a ＞ΔE ＋Wbca ＝0 是吸热过程.而对b2a 过程：Q ＝ΔE ＋Wb2a ＜ΔE ＋Wbca ＝0 是放热过程.可见(Ａ)不对，正确的是(Ｂ).
13 －2　如图，一定量的理想气体，由平衡态A 变到平衡态B，且它们的压强相等，即pA ＝pB .请问在状态A 和状态B 之间，气体无论经过的是什么过程，气体必然(　　)
(Ａ) 对外作正功　　　　　(Ｂ) 内能增加
(Ｃ) 从外界吸热　　　　　(Ｄ) 向外界放热

分析与解　由p －V 图可知，pA VA ＜pB VB ，即知TA ＜TB ，则对一定量理想气体必有EB ＞EA .即气体由状态A 变化到状态B，内能必增加.而作功、热传递是过程量，将与具体过程有关.所以(Ａ)、(Ｃ)、(Ｄ)不是必然结果，只有(Ｂ)正确.
13 －3　两个相同的刚性容器，一个盛有氢气，一个盛氦气(均视为刚性分子理想气体).开始时它们的压强和温度都相同，现将3 Ｊ 热量传给氦气，使之升高到一定的温度.若使氢气也升高同样的温度，则应向氢气传递热量为(　　)
(Ａ) 6 Ｊ　　　(Ｂ) 3 Ｊ　　　(Ｃ) 5 Ｊ　　　(Ｄ) 10 Ｊ
分析与解　当容器体积不变，即为等体过程时系统不作功，根据热力学第一定律Q ＝ΔE ＋W，有Q ＝ΔE.而由理想气体内能公式，可知欲使氢气和氦气升高相同温度，须传递的热量
.再由理想气体物态方程pV ＝mM RT，初始时，氢气和氦气是具有相同的温度、压强和体积，因而物质的量相同，则.因此正确答案为(Ｃ).
13 －4　有人想像了四个理想气体的循环过程，则在理论上可以实现的为(　　)

分析与解　由绝热过程方程pVγ ＝常量，以及等温过程方程pV ＝常量，可知绝热线比等温线要陡，所以(Ａ)过程不对，(Ｂ)、(Ｃ)过程中都有两条绝热线相交于一点，这是不可能的.而且(Ｂ)过程的循环表明系统从单一热源吸热且不引起外界变化，使之全部变成有用功，违反了热力学第二定律.因此只有(Ｄ)正确.
13 －5　一台工作于温度分别为327 ℃和27 ℃的高温热源与低温源之间的卡诺热机，每经历一个循环吸热2 000 Ｊ，则对外作功(　　)
(Ａ) 2 000 Ｊ　(Ｂ) 1 000 Ｊ　　(Ｃ) 4 000 Ｊ　　(Ｄ) 500 Ｊ
分析与解　热机循环效率η＝W /Q吸，对卡诺机，其循环效率又可表为：η＝1－T2 /T1 ，则由W /Q吸＝1 －T2 /T1 可求答案.正确答案为(Ｂ).
13 －6　根据热力学第二定律(　　)
(Ａ) 自然界中的一切自发过程都是不可逆的
(Ｂ) 不可逆过程就是不能向相反方向进行的过程
(Ｃ) 热量可以从高温物体传到低温物体，但不能从低温物体传到高温物体
(Ｄ) 任何过程总是沿着熵增加的方向进行
分析与解　对选项(Ｂ)：不可逆过程应是指在不引起其他变化的条件下，不能使逆过程重复正过程的每一状态，或者虽然重复但必然会引起其他变化的过程.对选项(Ｃ)：应是热量不可能从低温物体自动传到高温物体而不引起外界的变化.对选项(Ｄ)：缺少了在孤立系统中这一前提条件.只有选项(Ａ)正确.
13 －8　如图所示，一