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基于双变量模型的子带自适应滤波方法
侯建华 熊承义
（中南民族大学电子信息工程学院,武汉430074）
摘 要 利用贝叶斯最大后验估计理论研究了双变量层间模型、模型的子带自适应参数估计方法，推导了对应的萎缩函数；在此基础上设计了一种子带自适应图像滤波方法，并与两种基于模型的类似算法进行了比较。实验结果表明：利用小波系数层间模型可以有效地改善图像去噪质量。
关键词 小波系数；最大后验估计；双变量模型；子带自适应
中图分类号 TP391 文献标识码 A 文章编号 1672-4321(2005)04-0042-03
A Sub-Band Adaptive Image Filtering MethodBased on Bivariate Model
Hou Jianhua Xiong Chengyi
Abstract The paper has investigated the bivariate model using Bayesian maximum a posteriori (MAP) estimation theory. The sub-band adaptive method for parameter estimation is discussed and the corresponding shrinkage function is derived. A sub-band adaptive image filtering method is designed and compared with other two similar algorithms which are also based on statistics modeling of wavelet coefficients. Experiment results show that image denoising can be improved by exploiting wavelet interscale models.
Keywords wavelet coefficients; maximum a posteriori estimation; bivariate model; sub-band adaptive
Hou Jianhua Assoc Prof, College of Electronics and Information Engineering, SCUFN, Wuhan 430074,China
大量研究表明，图像小波系数之间存在着一定的相关性，利用这种相关性可以显著改善有关算法的性能。具体地讲有2点：(1)小波系数具有空间聚集性(Clustering)，即如果某一系数较大(或小)，则与其相邻的系数也往往较大(或小)；(2)小波系数具有尺度传递性(Persistence)，即大(或小)的系数有沿尺度传播的趋向[1]。依据这些相关性和小波系数的非高斯特性，已提出了多种图像小波系数的先验分布模型，例如广义高斯分布[2]、拉普拉斯分布[3]这些层内模型利用了子带内的空间聚集性，在图像编码、去噪领域得到了成功的应用。另一类层间模型则根据小波系数的尺度传递性,对“父”“子”系数间的依赖性进行描述。例如Shapiro提出的小波零树编码算法是应用该特性的成功典范[4]，Crouse的小波域隐马尔科夫树模型在信号估计、图像分割、纹理分析等方面也表现出了出色的性能[1]。近年来，Sendur提出了一种双变量模型，用非高斯密度函数对“父”“子”系数分布进行建模，利用贝叶斯统计理论得到了其最大后验估计的解析表达式[5]。本文对这种双变量模型进行了深入研究，并设计了一种子带自适应图像滤波方法。
设w1是当前的小波系数，w2是上一个粗糙尺度中空间位置与w1相同的系数,即w1的“父”系数。
y1 = w1 + n1 ，y2 = w2 + n2 (1)
用矢量表示为： y = w + n (2)
其中y = ( y1 , y2 ) , w = ( w1 , w2 ) , n = (n1 , n2 )。
为了更好地利用小波系数的相关性，Sendur等统计了大量自然图像小波系数直方图中“父”“子”系数间的概率分布，提出了一种双变量混合模型来刻画这种关系[5]：
, (3)
2 基于双变量模型的最大后验估计
2.1 贝叶斯最大后验估计理论
为简单起见，先考虑标量形式的MAP估计。设y=w+n分别代表观测到的含噪图像、真实图像以及独立同分布高斯噪声的小波系数。n服从N(0,)分布。我们的目的是从观测系数y中得到真实系数w的估计。
设pw(w)、pn(n)分别是真实系数w、噪声系数n的概率密度函数(pdf)。在贝叶斯统计理论中。最大后验估计(MAP)是一种常用的方法。MAP估计即在给定y条件下，使后验概率密度pw|y(w|y)取最大的w：
, (4)
利用贝叶斯准则，得到
。 (5)
, (6)
, (7)
定义：。 (8)
将（7）（8）代人（6）得：
， (9)
， (10)
利用pw(w)得到,进而求出方程(10)的解,即得对应的MAP估计(y)。
2.2 双变量萎缩函数
利用噪声独立同分布假设：
。 (11)
将矢量y、w、n以及(11)式代入(6)式：
， (12)
上式的等价方程为：
(13)
(14)
其中分别代表对w1、w2的一阶导数：
(15)

(16)
将(15)、(16)代入(13)、(14)式,经简单推导，得：
(17)
其中符号(g)+表示：
(18)
(17) 式就是在双变量模型下当前系数w1的MAP估计，它实质上也是一种软阈值萎缩函数，称为双变量萎缩函数；但与Donoho的经典软阈值萎缩规则不同，在做阈值处理时还考虑了“父”系数的影响。
3 子带自适应滤波算法
为了计算MAP估计表达式(17)，要已知模型(3)式中的2个参数和。其中噪声方差可采用Donoho提出的鲁棒性中值估计方法:
the finest subband HH (19)
模型的边缘方差σ2则以子带S为单位，先估计含噪系数的标准差：
, (20)
其中N2是子带S中的系数个数。则：
。 （21）
基于双变量模型的子带自适应滤波算法描述如下：(1)对含噪图像进行小波变换；(2)对每个细节子带按(19) ~ (21)式估计和按(17)式系数进行软阈值处理；(3)小波反变换。
由于模型的边缘方差是以子带为单位进行估计的,故该算法具有子带自适应性。
4 实验结果
采用3幅512×512 Lena、Boat和Bridge图像为实验对象，噪声水平分别为10、15、20、25,用Daubechies8小波进行4尺度分解。参与比较实验的去噪方法有BayesShrink算法[2,6]和MapShrink算法[3],它们分别采用广义高斯分布[6]、拉普拉斯分布，均为子带自适应方法；本文方法用BiShrink表示。去噪性能用峰值信噪比PSNR来评价，实验结果见表1，其中黑体部分代表同一条件下的最好结果。从表1可看出,在这3种基于模型的子带自适应算法中，从去噪后图像的峰值信噪比改善程度看，本文的BiShrink最好，其次是BayesShrink、MapShrink。相对ayesShrink和MapShrink，本文方法的PSNR增益最高可达0.22和0.71dB。

5 结语
利用小波系数的统计模型可以改善图像处理的质量。双变量模型能够较好地刻画“父”“子”系数间的层间相关性，本文的实验结果证明了这一点。由于BiShrink算法只考虑了“父”系数对当前系数的影响，模型的边缘方差根据子带自适应调整，算法简洁；若进一步考虑子带内的空间聚集性，可得到基于混合模型的局部自适应算法,去噪性能将得到更大提高，但算法复杂度也会因此而增加。
参 考 文 献
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