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高等数学 知识点串讲.doc

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资源描述

1、高等数学 知识点串讲I、高数知识点框架 一元函数极限、连续 一元函数微分学一元函数微积分 (导数与微分、中值定理以及导数的应用) 一元函数积分学 (不定积分、定积分以及定积分的应用) 一元函数微积分的应用:常微分方程 多元函数极限、连续 多元函数微分学多元函数微积分 (偏导数与全微分及多元微分学的应用) 多元函数积分学:重积分,曲线面积分 多元函数微积分的应用:无穷级数II、高数各章节知识点 一、函数、极限、连续1、函数:单调性(定义,判定),有界性,周期性(定积分),奇偶性(定积分,二重积分的简化运算);2、极限:各种计算方法(有界与无穷小的乘积,夹逼准则,单调有界有极限,重要极限,单函数及

2、两函数差的等价无穷小替换,洛必达法则,泰勒展开式;定积分的定义,导数定义) 无穷小的比较(高阶+同阶+等价)3、连续:定义,闭区间连续函数的性质(零点定理,有界,介质,最值),间断点类型判断。二、导数与微分1、导数的定义:增量比的极限;2、基本求导公式+常见函数的导数(复合函数,反函数,分段函数,幂指函数,隐函数,变上限积分函数)+高阶导;3、微分,一阶微分形式不变性三、微分中值定理及应用1、罗尔,拉格朗日,柯西:定理内容,区别,关系(导数定义-费马-罗尔-拉格朗日-柯西)2、三大中值定理在考研中的应用罗尔:含有中值等式的证明,导数或者高阶导数零点存在性证明和零点个数的估计;拉格朗日:含有端点

3、函数值的中值等式证明,不等式的证明,利用拉格朗日研究函数有界性问题;柯西:含有两个函数的中值等式证明;(双中值定理的证明)3、 导数的应用(单调性,凹凸性;极值点,拐点以及各自的第一、二充分条件和必要条件;曲率,渐近线3类)四、 不定积分1、 相关概念(不定积分、原函数,涉及奇偶性、单调性、周期性的客观题);2、 基本积分公式(必须熟悉)3、 不定积分的计算 凑微分法+第二换元积分法(三角代换、幂代换、倒代换)+分部积分法(“指三幂对反”的顺序选择v)+特殊类型函数的积分(有理函数-拆项法、三角函数、简单无理函数)。五、 定积分及其应用1、定积分的定义(2条件,四步骤,应用:无穷和式的极限);

4、2、定积分的计算:方法相同于不定积分+牛顿-莱布尼茨公式+积分中值定理;3、反常积分(无穷区间上的广义积分+无界函数的广义积分);4、定积分的应用(平面图形的面积,平面曲线的弧长,旋转体的体积、旋转体的侧面积、平行截面面积已知的立体体积,物理应用)。六、常微分方程1、一阶微分方程:变量可分离,齐次微分方程,一阶线性微分方程(各类方程的形式以及求解方法);2、可降阶微分方程(n阶导,不显含y,不显含x,-不显含x,y);3、二阶线性微分方程性质:齐次通解+非齐次特解=非齐次通解;齐次通解的求解方法:特征方程法;(解的表示)非齐次的特解假设(待定系数法)(指数+多项式+三角函数)。七、 多元函数微

5、分法及其应用1、多元函数的概念、极限、连续;2、多元函数的偏导数(偏导的定义,隐函数+复合函数的偏导,二阶偏导);3、多元函数的全微分(可微等价定义+全微分形式不变性) 连续、偏导、可微之间的关系4、 多元函数的极值(一般极值,条件极值,多元连续函数在有界闭区域上的最值)。八、 重积分1、二重积分的概念(参照定积分理解几何意义),性质;2、二重积分的计算(直角坐标,极坐标,特殊简化运算)。3、三重积分的计算 (直角:投影&平面截割;柱坐标,球坐标,简化运算)。九、 无穷级数1、正项级数、交错项级数敛散性判别;2、幂级数求和(半径、收敛区间、收敛域,方法:);3、函数的幂级数展开式。十、 曲线、曲面积分1、I型曲线、曲面积分计算;2、II型曲线、曲面计算;3、三大公式(格林、高斯、斯托克斯) (条件不满足时格林、高斯的应用计算题:补线&面;挖洞)

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