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微分中值定理的证明及应用

黄敏
（井冈山大学数理学院,江西吉安 343009）
指导老师：颜昌元

[摘要] 本文从不同的方面对此定理加以证明,使得抽象的定理灵活化,从而更易理解,并在此基础上去解决关于“微分中值定理”的应用的问题.
[关键词] 辅助函数 中值定理 介值定理

引言
微分中值定理不仅是微分学的基本定理，而且它也是微分学的理论核心.又因为导数的许多重要应用都是建立在中值定理基础上的，所以微分中值定理是微分学应用的理论基础.微分中值定理通常指:罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理.在常见教材中,以罗尔中值定理为基础,通过构造辅助函数来实现后两个定理的证明.证明的关键是做出辅助函数.现行教材中传统形式的辅助函数,表达式冗长.以下通过:1、分析推理法2、“K”值法3、积分法三种方法构造出形式简单的辅助函数,而且构造的过程是水到渠成,自然而有逻辑.并提出一种新颖地“逆序统一证明”法证明这三个定理.最后通过一类证明题和一些巧用来说明“微分中值定理”的应用.

1微分中值定理的证明
定理1 罗尔（Rolle）中值定理 如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且在区间端点的函数值相等，即，那么在内至少存在一点
,使得成立.
定理2 拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数在闭区间上连续，在开区间内内可导，那么在内至少存在一点,使得

成立.
定理3 柯西(Cauchy)中值定理 如果函数与在闭区间上连续，在开区间内可导，且在内每一点均不为零，那么在内至少存在一点，使得

成立.
1.1 证明中建立辅助函数的方法
这类微分中值定理证明的方法,一般是在罗尔定理的基础上引出辅助函数来完成.因此根据问题分析并构造出一个简单易懂的辅助函数,是解决问题的关键.
1.1.1 分析推理法
分析一下定理3,定理3的结论是:至少存在一点,使得
即 ,即
,
因为,所以只要
（*）
由（*）式可以试着构造函数

只要它满足罗尔中值定理的条件，便知存在一点，使得
.
即（*）式成立,定理3便可得证.不难验证,确实满足罗尔中值定理的条件,因此在证明定理3时,辅助函数设为即可,同理,由定理2与定理3的关系易知,在证明定理2时,可令辅助函数

这种方法主要是针对现行教材中传统形式的辅助函数的表达式冗长,而通过分析推理,遵循严密的逻辑关系,构造出形式简单的辅助函数,从而解决定理的证明.
1.1.2 “K”值法
拉格朗日中值定理中,令 ,则有,
即有,不难发现,在上均满足罗尔中值定理的条件,
其中,因此可以作为所需要的辅助函数.
而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广,因此,只需将上述方法推而广之,即可证得柯西中值定理.
令,由已知,对中任意，,可推得（根据罗尔中值定理可证得）.此时有

即

不难发现,可以取作为辅助函数,它在上均满足罗尔中值定理的条件,故有,又,所以

即

此方法构造辅助函数的过程相当巧妙，而且所得辅助函数简单明朗，但逻辑关系并非十分严密，带有一定的偶然性，不易理解,没有上种“分析推理法”逻辑性强.
1.1.3 积分法
定理2 拉格朗日中值定理的证明
把需证之式变为对应改写成
（把换成）,
证明上述方程在内存在根，将上式左边对积分，有

故取 .则在上连续，在内可导，且

由罗尔中值定理知，至少存在一点，使,即
.
同理，可以知道定理3柯西中值定理的证明.把需证之式变成

对应改写成
（把换成）
证明上述方程在内存在根，将上式左边对积分，有
故取

则在上连续，在内可导，且

由罗尔定理知，至少存在一点，使得

即
.
通过以上证明可知,“积分法”的关键步骤也是构造辅助函数，其基础方法是：（1）将需证之式整理，使等式右边为0，左边的改写成；（2）对等式左边关于积分；（3）对应积分值写出，这种方法最大的优点在于其规律性，不需要过多的考虑步骤,而只需根据规律就可步步得出证明.易掌握和运用.
1.2 逆序统一证明法
这种方法颠覆了传统的证明顺序.按Cauchy中值定理、Lagrange中值定理、Rolle中值定理的顺序给出证明。
10 先证Cauchy中值定理
证 令,则满足：
（1）在上连续;
(2)在内可导;
(3)
若（常数）,取内任一点为都有，即

若存在某个属于，,因为在上连续,所以必在某点在处取得最大值或最小值，则亦称为极值点，又在可导,所以.即

20 Lagrange中值定理的证明
证 只要令定理中的，立即有本定理的结论.
30 Rolle中值定理证明
证 把该定理中的条件用于Lagrange中值定理的结论即证.
从上述整个证明过程不难看出,实际上只对定理1给出了详细的证明,且难易程度与繁简程度不大,而后两个定理是立即得到的推论,与上述构造辅助函数相比,而有更简捷、更新颖、更快捷的具大优势.
2 微分中值定理的应用
要熟练的应用中值定理确实是一件不易的事，尤其是辅助函数的引入，更是变化多样.下面给出微分中值定理在数学分析的一些证明题中的巧用.
2.1 插入一个分点使满足中值定理的条件.
分点c的选取,要根据具体情况而定,有时需要结合闭区间上连续函数的性质推断符合要求的点c的存在性,以保证函数在该点处的值满足特殊要求,进而完成证明.
例 1设在上连续,在内可导,, ，证明:
(1) 存在内两个不同的点,,使得,
(2) 存在内两个不同的点,，使得,
(3) 存在内两个不同的点,,使得,
(4) 存在内两个不同的点,及大于零的常数,使得,
(5) 对于任意的正整数，存在内两个不同的点,及常数,使得 ,
(6) 对于任意常数属于，存在内两个不同的点,及c属于使得 .
分析 要证明存在内两个不同的点,，使得题中等式成立，关键是在内插入一个分点c，将闭区间分成两个子区间及，然后分别在这两个闭区间上应用中值定理即可.
证 (1)显然,分别在及上满足Lagrange中值定理的条件，故存在属于，属于，使得
，.
从而 .
（2）因为在上连续，,，故根据闭区间上的连续函数的介值定理，存在c属于上满足，显然，分别在及上满足Lagrange中值定理的条件，故存在属于，属于使得：
，
从而
.
（3）构造辅助函数
显然，其在上连续，且，
根据闭区间上连续函数的介值性定理，存在c属于，满足即
又分别在及上满足Lagrange中值定理的条件，故存在属于，属于使得：
，
从而
.
（4）因为在上连续，,，故根据闭区间上的连续函数的介值定理，存在c属于上满足，显然，分别在及上满足Lagrange中值定理的条件，故存在属于，属于，,使得：
，
从而
.
（5）因为在上连续，,，则对于任意的正整数，，故根据闭区间上的连续函数的介值定理，存在c属于，满足
，且显然 分别在及上满足Lagrange中值定理的条件，故存在属于，属于，,使得：
，

从而
.
（6）因为在上连续，,，且对于任意常数属于，，故根据闭区间上的连续函数的介值定理，存在c属于满足
又显然在及上满足中值定理的条件，故存在属于，属于，属于，使
，
从而
.
2.2 若在所证明的等式中同时出现函数及其导数时,应考虑使用这个辅助函数,因为它的导数等于它本身,在使用Rolle定理时可以消去.
例2 若函数在闭区间上连续，在开区间内可微,且,则存在属于,使
.
证 令，因为,所以.再由Rolle定理得,存在属于,使.
即
,
所以
成立.
例3 若函数在闭区间上连续，在开区间内可微,且,则存在属于,使
.
证 令，因为,所以.由Rolle定理得：存在属于,使，
即
.
所以有

成立.
例4 若函数在闭区间上连续，在开区间内可微,且,则对于任意自然数,存在属于,使
证 同理只需令,再应用Rolle定理即可.
2.3 已知在一个区间的某一端点处的值为0,且在所证明的式子中有自然数出现,则可考虑的方幂.
例 5 若函数在闭区间上连续，在开区间内可微,且
,,
其中,则对任意正整数，存在属于,使成立.
证明:因为在要证明的式子中,有及,还有自然数,故联想到及.
令,则
.
由Rolle定理得:存在属于,使
即
.
2.4 经过简单变形,一端可写成或形式的不等式,或要证明的不等式是区间内“至少”一点使命题成立.
例6设,证明成立.
分析 原不等式等价于

由不等式左端的形式,可知Cauchy定理可能解决此题.
证 令
由题设条件,可知,在上满足Cauchy定理的条件,于是有:

即:

故

即

成立.

参考文献

[1]刘玉琏，付沛仁.数学分析讲义[M].高等教育出版社，2001
[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社，2003
[3]张素霞，徐文雄.一类微分中值定理证明题浅析[J].高等数学研究Vol.10 No5 Sep.2007
[4]同济大学.高等数学[M].高等教育出版社，1996
[5]王新芳.微分中值定理的多种证明方法[J].山西财经大学学报,1998

Proof of Differential Mean-Value Theorem and Its Application
Author: Huang Min
(Institute of Mathematics and Physics,Jinggangshan University, Ji’an,Jiangxi 343009)
Tutor: Yan changyuan

Abstract In this paper, we prove the differential mean-value theorem form different aspects. These proof make abstract theorem flexible and easier to understand. Furtherly, we discuss some application of differential mean-value theorem.
Key words accessorial function; differential mean-value theorem; intermediate value theorem
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