黑体模型问题.doc

15年前我就百思不得其解的几何猜想－－请专家破解
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· z5546717
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1楼
 一束激光从一个空心球体表面的某一个点射入球体内，经球体内光滑的内表面反射很多次，能否再从射入点射出？如果能，请给予证明；如果不一定，也请给出反例。（上述激光反射是在理想情况下发生的，即不考虑激光能量的衰减等因素）  

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· 2007-1-24 11:29
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· 薛定谔的狗
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2楼
我的计算是激光射入的话只要考虑的是激光在一个圆上的表现
取激光入射线与圆上入射点的切线角度为x（0<x<π/2），那么激光从入射点到第一次反射点的弧度是2x-π(π代表三角形的内角和)，那么如果要使激光再次回到入射点，就是要证明（2x-π）×n（n是反射次数）能被2π整除。
很明显 (n（2x-π）)/2π 分母是无理数π，为了使式子成立，分子也必须是无理数。这样x就必须是无理数，也就是入射角x＝π/2 ,π/3,π/4,π/5,π/6，π/7,3π/7,5π/7........时，猜想成立，证毕
个人计算，不知错对，望高手指教

· 2007-1-24 12:16
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· 量子牛头
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3楼
这是一个数学问题，可以证明任何一点附近都能找到一个任意小的领域，使得光线射入过这个领域至少一次。

· 2007-1-30 22:27
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· 傲寒六诀
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4楼
哈哈~原来是改装后的“黑体”，我的观点是一定可以从射入点射出的~问题是是否还是按原来的轨迹就不好说了！

· 2007-1-31 00:06
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222.125.66.*
5楼
这个不用证明.因为一束光总是有宽度的.进入到球面内部后,相当于被凹面镜多次反射后发散了.既然是发散光,那么有一部分从原孔,甚至原方向的反方向出来都是可以的.

· 2007-2-6 16:21
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222.125.66.*
6楼
如果说是一个没有半径的质点,通过一个无穷小的孔进去经过N次弹性碰撞后,(不考虑球面内部的原子结构,假定完全光滑)是否能再从这个无穷小的孔弹出来,那还真难说.

· 2007-2-6 16:26
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222.125.66.*
7楼
如果按上面的质点假设,不考虑光的宽度和球内部的瑕疵,2楼是对的.佩服.

· 2007-2-6 16:33
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· hugodream
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8楼
有一点不知我想得对不对：从一个反射点到下一个反射点之间的弧总是一样长的，如果不对，请告诉我为什么？

· 2007-2-6 17:12
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211.139.163.*
9楼
根据光路可逆原理,若光线从原处按原方向射出,则必定有其中一次反射存在入射光线与反射光线重合的情况,即入射角与反射角均等于零,假定这是光线第n次反射,那么光线在这次反射前必过球心(否则入射角不可能等于零),但这样一来,光线在第(n-1)次出射时反射角也为零(亦即入射角也为零!).依次类推,第一次的入射角就为零,即垂直入射.(光线只能在球面上与球心连成一条直线的两点间来回运动,事实光线只能在球内反射一次,因为光线垂直入射后即从入射点进入球内,经过球心,然后反射一次,再经过球心,从原处射出.)

· 2007-2-7 01:00
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211.139.163.*
10楼
上一楼观点成立前提:将光线抽象成没有宽度的理想化模型

· 2007-2-7 01:07
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· amy·oophuan
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11楼
不一定，这就是答案。

首先说一个理论，光的反射和折射都和入射光是在同一个平面上的。
当激光射入球内时，它所有的反射光应该都在一个平面上。那么我们可以把激光的路径想象在球体的一个横截面上，也就是球面，那么我们可以展开成一个数学圆里的出去的线段能不能经过第一条线段的起点了。

那么，想下面一个数学理论：多边形。首先圆内能形成多边形的一定是正多边形，这没错吧。
然而，正多边形只有有限种，比如7边形就没有正7边形。也就是说，有个固定大小的圆，不是随便画一条线段都可以有正n边形的，那么，可能最后一条线段会和第一条相交，但交点不是第一条的顶点。

也就是激光所谓的不是刚好从顶点出去。

（因为激光射进去时，一定会类似于形成在一个球的任何可能的大的小的横截面上形成n条线段的，因为光线的反射折射都与入射光共面嘛，刚才提到了的，所以必然就是数学里的正多边形能不能形成，来决定最后出去的激光能不恰好从第一条入射光的入射点穿出。）

所以，要看在球里形成的光束有多少条，条数x能不能形成正n边形了。如果可以，那就能成立，反之不能。

· 2007-2-8 01:33
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· qwsde111111
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12楼
q

· 2011-6-7 21:39
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· 捍卫薄荷
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13楼
我感觉 那束光也不能总在空心球体内 反射来反射去啊`
总会出去的```

· 2011-6-7 21:53
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· 狼道VS朗道
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14楼
这不就是黑体辐射的变相问题吗

· 2011-6-7 22:44
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· 春天是个回忆
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15楼
对2楼结果描述的一点小小修正：a为（0，1]上的任一有理数，当激光入射线与圆上入射点的切线夹角x=aπ/2时，可以。

· 2011-6-7 23:17
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· 苏传讯
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16楼
引用 春天是个回忆 (15楼)
对2楼结果描述的一点小小修正：a为（0，1]上的任一有理数，当激光入射线与圆上入射点的切线夹角x=aπ/2时，可以。
赞同十五楼，我的思路和二楼相同，但二楼的结果不完整，我的推导过程如下，设入射光线与入射点连圆心的半径的夹角为a，则第n次打到球面上时反射点与圆心连线所转过的角度为
n*（2*π-x），如果光线会射出，则
n*（2*π-x）=2*m*π；化简得x=（1/2-m/n）*π,任何有理数都可以写成俩个整数相除的形式，所以当入射角x是π的有理数倍的时候，光线可以射出。即x=t*π；t是有理数且0<=t<0.5

· 2011-6-10 13:46
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· _半颗烟_
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17楼
    这个问题可以先建立个直角坐标系，设球心在原点O，球的半径为1，球方程为x^2+y^2+z^2=1。
    设入射点为E（1，0，0），入射方向任意，射到球面上的点为A(a,b,c),而(a,b,c)恰为反射面的反射面，不难证明平面OEA就是入射线与反射线的所在平面，法线即为OA,也就是说，任意入射线都会在半径为1的圆面上。
    这样，设EA长为L,则弧AE为θ=2arcsin(L/2)。那么只需看经过m次反射，光线是否可以射回到A点。即是否有2nπ=mθ，其中m、n为任意正整数。即θ=2πn/m。
    因为m、n都是任意的，所以θ=2πn/m总是可以成立的，即光线总可以再次射出来。

· 2011-6-10 21:14
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· _半颗烟_
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18楼
修正一下：
     这个问题可以先建立个直角坐标系，设球心在原点O，球的半径为1，球方程为x^2+y^2+z^2=1。
     设入射点为E（1，0，0），入射方向任意，射到球面上的点为A(a,b,c),而(a,b,c)恰为反射面的反射面，不难证明平面OEA就是入射线与反射线的所在平面，法线即为OA,也就是说，任意入射线都会在半径为1的圆面上。
     这样，设EA长为L,则弧AE为θ=2arcsin(L/2)。那么只需看经过m次反射，光线是否可以射回到A点。即是否有2nπ=(m+1)θ，其中m、n为任意正整数。即θ=2πn/(m+1)。
     因为m、n都是任意的，所以θ=2πn/(m+1)总是可以成立的，即光线总可以再次射出来。

· 2011-6-10 21:17
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· Fly冬冬
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19楼
如果球壳内表面严格光滑且规则，那么反射光将会外在一个平面内，不用无数次，不论以怎样的角度射入，肯定是会射出的！

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· 2011-6-11 00:08
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· Kitty_H_Tanaka
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20楼
我细化一下：1.如射光线过球心和不过球心是否要分离讨论？2.反复反射的光线占据了球内多少空间？如果是全部空间那它一定会出来（且最后那空间是通往孔的线）！更一般的，它不一定经过球内所有空间那它也必须出来（也可以理解为反射点占据球内表面）…逻辑上可以得到它一定会出来…而出来的路经是否与入射一样，1.过球的话！很明显路经相同。2.不过球心的话有猜想：空间占据完全则相同；反之亦然！（不要笑话我啦！我是这样想的…批评吧！）

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· 2011-6-11 00:53
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· Kitty_H_Tanaka
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21楼
漏字儿了～“…过球…”改为“…过球心…”～～ ==

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· 2011-6-11 00:56
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· 量子云喵

· ml3725444
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22楼
这个我也想过，貌似不吸收的话就会出去。不仅仅是球体，可以推广到一般物体哦