8-1--线性变换的定义及性质.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,而且这两种运算满足一些重要的规律,如,定义了两个向量的加法和数量乘法：,我们讨论过数域,P,上的,n,维向量空间,P,n,，,同样满足上述这些重要的规律，即,引例,2,数域,P,上的一元多顶式环,P,x,中，定义了两个多,项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算,一,.,线性空间的定义,设,V,是一个非空集合，,P,是一个数域，在集合,V,中,定义了一种代数运算，叫做,加法,：即,对，,在,V,中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为,的,和,，记为 ；在,P,与,V,的元素之间还,定义了一种运算，叫做,数量乘法,：即,在,V,中都存在唯一的一个元素,与它们对应，称,为,的,数量乘积,，记为 如果加法和数量乘,法还满足下述规则，则称,V,为数域,P,上的,线性空间,：,加法满足下列四条规则：,对,都有,V,中的一个元素,，使得,数量乘法与加法满足下列两条规则：,在,V,中有一个元素,0,，对,（具有这个性质的元素,0,称为,V,的,零元素,）,数量乘法满足下列两条规则,:,;,（,称为 的,负元素,）,3,线性空间的判定：,注：,1,凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也,2,线性空间的元素也称为,向量,，线性空间也称,向量空间,但这里的向量不一定是有序数组,称为,线性运算,就不能构成线性空间,运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合,若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者,例,1,引例,1,2,中的,P,n,P,x,均为数域,P,上的线性空间,例,2,数域,P,上的次数小于,n,的多项式的全体，再添,用 表示,的加法和数量乘法，构成数域,P,上的一个线性空间，,法构成数域,P,上的一个线性空间，常用,P,x,n,表示,上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘,例,3,数域,P,上 矩阵的全体作成的集合,按矩阵,例,5,全体正实数,R,，,判断,R,是否构成实数域,R,上的线性空间,.,1),加法与数量乘法定义为：,2),加法与数量乘法定义为：,例,4,任一数域,P,按照本身的加法与乘法构成一个,数域,P,上的线性空间,1,）,R,不构成实数域,R,上的线性空间,.,不封闭，如,R,2)R,构成实数域,R,上的线性空间,首先，,R,，且加法和数量乘法对,R,是封闭的,.,且,a,k,唯一确定,解：,且,ab,唯一确定；,事实上,其次，加法和数量乘法满足下列算律,R,，,R,，,即,1,是零元；,R,，,R,，且,即,a,的负元素是 ；,;,R,；,;,R,构成实数域,R,上的线性空间,;,即,n,阶方阵,A,的实系数多项式的全体，则,V,关于矩阵,例,6,令,的加法和数量乘法构成实数域,R,上的线性空间,证：根据矩阵的加法和数量乘法运算可知,其中，,又,V,中含有,A,的零多项式，即零矩阵,0,，为,V,的零元素,.,以,f,(,x,),的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为,f,(,x,),，则,f,(A),有负元素,f,(A),.,由于矩阵的加法与数,乘满足其他各条，故,V,为实数域,R,上的线性空间,.,二、线性空间的简单性质,1,、,零元素是唯一的,.,2,、,，的负元素是唯一的，记为,-,证明：假设 有两个负元素,、,，则有,利用负元素，我们定义,减法,：,0,1,0,1,0,2,0,2,证明：假设线性空间,V,有两个零元素,0,1,、,0,2,，则有,两边加上 即得,0,0,；,两边加上,；即得,k,0,0,;,两边加上 即得,即得,两边加上,3,、,证明：,4,、,如果,0,，那么,k,0,或 ,0.,证明：假若则,练习：,1,、,P,273,：习题,3,1,）,2,）,4,）,2,、证明：数域,P,上的线性空间,V,若含有一个非零,向量，则,V,一定含有无穷多个向量,.,证：设,而数域,P,中有无限多个不同的数，所以,V,中有无限,多个不同的向量,.,注：,只含一个向量,零向量的线性空间称为,零空间,.,作业,P,273,习题,3,：,5,）,6,）,7,）,