8-2--线性变换的运算.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,定义,设为线性空间,V,的两个线性变换，定义它们,事实上，,一、线性变换的乘积,的,乘积,为：,则 也是,V,的线性变换,.,基本性质,（,1,）,满足结合律：,（,2,）,，,E,为单位变换,（,3,）,交换律一般不成立，即一般地，,例,1.,线性空间中，线性变换,而，,即,例,2.,设,A,、,B,为两个取定的矩阵，定义变换,则皆为的线性变换，且对有,则 也是,V,的线性变换,.,二、线性变换的和,1,定义,设为线性空间,V,的两个线性变换，定义它们,的,和,为：,事实上，,（,3,）,0,为零变换,.,（,4,）,乘法对加法满足左、右分配律：,2,基本性质,（,1,）满足交换律：,（,2,）满足结合律：,3,负变换,设为线性空间,V,的线性变换，定义变换为：,则 也为,V,的线性变换，称之为的,负变换,.,注：,三、线性变换的数量乘法,1,定义,的,数量乘积,为：,则 也是,V,的线性变换,.,设为线性空间,V,的线性变换，定义,k,与,2,基本性质,注：,线性空间,V,上的全体线性变换所成集合对于,线性变换的加法与数量乘法构成数域,P,上的一个线性,空间，记作,四、线性变换的逆,则称,为可逆变换，称为的逆变换，记作,1,定义,设为线性空间,V,的线性变换，若有,V,的变换使,2,基本性质,(1),可逆变换的逆变换也是,V,的线性变换,.,证：对,是,V,的线性变换,.,(2),线性变换可逆线性变换是一一对应,.,证：,设为线性空间,V,上可逆线性变换,.,任取 若 则有,为单射,.,其次，对令则且,为满射,.,故为一一对应,.,若为一一对应，易证的逆映射也为,V,的线性变换，且,故可逆，,.,线性变换，则可逆当且仅当,(3),设是线性空间,V,的一组基，为,V,的,线性无关,.,证：设,于是,因为可逆，由,(2),，为单射，又,而线性无关，所以,故线性无关,.,若线性无关，则它,也为,V,的一组基,.,因而，对有,即有,为满射,.,线性无关,若 则有,其次，任取 设,即,由,(2),，为可逆变换,.,故为一一对应,.,从而，为单射,.,当时，规定（单位变换）,.,五、线性变换的多项式,1,线性变换的幂,设为线性空间,V,的线性变换，,n,为自然数，定义,称之为的,n,次幂,.,易证,注：,当为可逆变换时，定义的,负整数幂,为,一般地，,设,为,V,的一个线性变换，则,2,线性变换的多项式,多项式,.,也是,V,的一个线性变换，称 为线性变换的,注：,在 中，若,则有，,即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律,.,对有,证明：,练习：,设为线性变换，若,证：对,k,作数学归纳法,.,当,k,=2,时，若,对,两端左乘，得,对,两端右乘，得,上两式相加，即得,对,两端左乘，得,对,两端右乘 得,，得,假设命题对时成立，即,由归纳原理，命题成立,.,作业,P,324,3,