一种缩短虚拟编组列车追踪间距的鲁棒模型预测控制方法.pdf

第45卷第8 期2023年8 月铁道学报JOURNALOFTHECHINARAILWAY SOCIETYVol.45No.8August2023文章编号：10 0 1-8 36 0(2 0 2 3)0 8-0 0 6 8-0 9一种缩短虚拟编组列车追踪间距的鲁棒模型预测控制方法罗啸林1-2，唐涛，林炳跃，刘宏杰1.4（1.北京交通大学电子信息工程学院，北京10 0 0 44；2.北京交通大学轨道交通控制与安全国家重点实验室，北京10 0 0 44；3.中国铁道科学研究院集团有限公司通信信号研究所，北京4.北京交通大学轨道交通运行控制系统国家工程研究中心，北京10 0 0 44）摘要：作为当前轨道交通的研究热点，虚拟编组列车由多个单元列车借助于车车通信和主动控制构成。虚拟编组列车按照与物理编组列车一致的方式提供运输服务，所有单元列车应整体被视为一列车进行管理和控制。因此，要求单元列车像物理连挂一样保持很小的追踪间距。但由于缺少了车钩进行物理连挂，运行过程中受到的不确定干扰使得实现虚拟编组单元列车小间距安全追踪非常困难。针对该问题，首先提出一种基于分布式鲁棒模型预测控制（RMPC)的虚拟编组列车追踪控制方法，保证虚拟编组列车安全运行以及单元列车追踪间距有界。在此基础上，设计一种基于线性矩阵不等式的优化算法，通过减小RMPC控制误差，达到进一步缩短单元列车的追踪间距的目的。为证明该方法的有效性，仿真了由3辆单元列车构成的虚拟编组列车在一个站间的完整运行过程，并与既有文献中的方法进行了对比。仿真结果显示，单元列车追踪间距可由普通MPC方法下的10 m减小至本方法下的5.0 5m，其缩短幅度达到49.5%。实验结果表明，所提出的RMPC方法及其优化算法能够在保证安全运行的前提下缩短虚拟编组单元列车追踪间距。关键词：虚拟编组；单元列车；列车运行控制；追踪间距；鲁棒模型预测控制中图分类号：U292文献标志码：Adoi:10.3969/j.issn.1001-8360.2023.08.008A Robust Model Predictive Control Approach for Reducing FollowingDistance between Virtually Coupled Unit TrainsLUO Xiaolin2,TANG Tao”,LIN Bingyue”,LIU Hongjieie1,4(1.School of Electronic and Information Engineering,Beijing Jiaotong University,Beijing 100044,China;2.State Key Laboratoryof Rail Traffic Control and Safety,Beijing Jiaotong University,Beijing 100044,China;3.Signal&Communication ResearchInstitute,China Academy of Railway Sciences Corporation Limited,Beijing 100081,China;4.National Engineering ResearchCenter of Rail Transportation Operation and Control System,Beijing Jiaotong University,Beijing 100044,China;.)Abstract:As a recent hot research topic in railways,the virtually coupled train set(VCTS)consists of multiple unittrains(UTs),resorting to the train-to-train communication and active train control.A VCTS provides the same transpor-tation services as a mechanically coupled train and all UTs are treated as a single train in terms of management and con-trol.Thus,UTs are required to keep a small following distance as mechanically coupled trains.But with the lack of me-chanical coupling,the safe VCTS operation with the small following distance can hardly be achieved under uncertain dis-turbances during the operation process.To address the problem,this paper first proposed a robust model predictive con-trol(RMPC)approach that guarantees the safety of VCTS operation and the bounded following distance.Then,an opti-mization algorithm was proposed to reduce the tracking error of RMPC by solving linear matrix inequalities,in order tofurther reduce the following distance.Finally,to verify the effectiveness of the proposed approach and make comparisonsto the approaches in existing literature,experiments were conducted where a VCTS consisting of three UTs operated be-收稿日期：2 0 2 2-0 7-0 2；修回日期：2 0 2 2-0 9-0 9基金项目：中央高校基本科研业务费（2 0 2 2 YJS112）；北京市自然基金（L201004）；国家铁路局铁路行业科技创新基地专项课题（KF2021-004）；城市轨道交通北京实验室第一作者：罗啸林（1998 一），男，江西南昌人，博士研究生。E-mail：l u o x i a o l i n b j t u.e d u.c n通信作者：刘宏杰（198 3），男，河北石家庄人，副研究员，博士。E-mail：h j l i u 2 b j t u.e d u.c n100081;第8 期tween two stations.The simulation results show that the following distance can be reduced from 10 m to 5.05 m,with areduction of 49.05%through employing the proposed approach instead of the nominal MPC.The experimental results al-so show that the proposed RMPC approach and optimization algorithm can safely reduce the following distance of VCTS.Key words:virtual coupling;unit train;train driving control;following distance;robust model predictive control轨道交通安全、高效、便捷的优点使其成为公众出行的首选方式。面对不断增长且时空分布极不均衡的客运需求，运营管理部门既希望提升轨道交通最大运能以满足高峰客流需求，又希望能够根据客流实时变化，动态灵活地调整列车开行方式，在不降低乘客服务质量的前提下降低平峰时期的运输成本。针对该问题，可随着客流需求的变化而动态编组或解编的虚拟编组列车受到了业界的广泛关注 。虚拟编组列车由两个及以上数量的单元列车构成，见图1。各单元列车根据与其他单元列车的实时交互信息控制本列车的牵引和制动行为，以保持较小的追踪间距运行。通常将第一辆单元列车称为领航单元列车，后续的各单元列车均称为跟随单元列车。目前，轨道交通列车大多采用固定的编组方式（如物理编组)运行，且编组方式在运行过程中不会改变，难以完全满足运力灵活调整的需求2 。而虚拟编组单元列车间采用基于相对制动距离的方式防护行车安全，该方式可极大地缩短列车追踪间距，使得虚拟编组列车拥有与物理编组列车一致或接近的运行方式，从而提升轨道线路运输能力31。此外，虚拟编组列车还能够在不停车甚至不减速的情况下进行动态地编组和解编4。虚拟编组已成为目前轨道交通的研究热点。列车通信跟随单元列车小间距跟随单元列车小间距领航单元列车图1虚拟编组列车由于相邻单元列车不进行物理连挂，在运行过程中，彼此之间无法依靠车钩传输作用力而维持适当的小间距。因此，为实现虚拟编组列车安全运行，除了要保证各单元列车速度不超过轨道限速，还要保证单元列车追踪间距不小于安全防护距离。而虚拟编组列车运行控制系统不仅要满足上述安全约束条件，还要通过实时调整列车牵引力和制动力使得列车按照期望的方式运行，避免导致输出不必要的紧急制动影响运行效率。针对该虚拟编组列车运行控制问题，已有一些学者展开了研究5-9。Quaglietta等5 根据列车动力学特点设计一种反馈控制律，控制虚拟编组内单元列车保持加速度一致。Di等 提出一种基于多智能体的虚拟编组列车运行控制方法保证单元列车追踪间距维罗啸林等：一种缩短虚拟编组列车追踪间距的鲁棒模型预测控制方法列车通信实际状态实时状态误差边界使用第一个控制预测控制输入周期的预测控制输入图2 RMPC原理除保证列车在运行过程中满足安全约束之外，虚拟编组还要求单元列车保持较小的追踪间距。但更小的单元列车追踪间距增大了违背安全约束的风险，这时对追踪控制方法提出了更高的要求。为保证满足安全约束,RMPC在规划时考虑潜在的控制误差,因此，预测轨迹会与安全约束保持一定距离。而减小控制误69持在期望值。但是，以上研究在设计控制方法时并未充分考虑虚拟编组列车在运行过程中受到的安全约束。此外,在虚拟编组中前车的状态决定了后车的控制目标与安全约束,因此应该合理地对未来可能发生的变化做出规划。为控制虚拟编组单元列车在满足各类安全约束时保持较小的追踪间距运行，一些学者提出基于模型预测控制（Model PredictiveControl，M PC）的虚拟编组列车追踪控制方法7-9。MPC方法通过构建一个以当前系统状态为输人的有限时域约束最优控制问题，并在线对其求解，得到未来一段时间内的最优控制输人序列,将该序列中的第一个值作用于被控系统，并在下一控制周期重复上述过程，实现系统的在线迭代最优控制10 。针对虚拟编组列车追踪控制问题,文献8-9 基于不存在未知干扰的理想环境，利用MPC方法控制虚拟编组列车在满足各类安全约束的前提下维持期望的追踪间距。但实际列车运行过程中存在的诸多不确定干扰会令控制效果出现偏差，从而导致列车违背安全约束。为解决干扰条件下的约束满足问题，Mayne等 提出一种基于Tube的鲁棒MPC（RM PC）方法，其原理见图2。首先通过RMPC的鲁棒性使被控系统的实际状态始终保持在距预测状态有界的误差范围之内，进而只要使误差范围内所有可能的实际状态都满足约束条件，就能够保证实际被控系统满足约束。该研究对本文针对不确定干扰环境提出基于RMPC的分布式虚拟编组列车追踪控制方法具有重要借鉴意义。约束条件预测状态轨迹70差范围则能够允许RMPC的预测轨迹更逼近安全约束，进而为单元列车保持更小的追踪间距提供了可能性。Yang等12 提出一类基于自适应观测器的RMPC方法，其自适应机制能够缩小被控系统实际状态与观测状态的误差,提升性能表现。此后，Yang 等13通过优化鲁棒控制器参数进一步缩小了RMPC的误差范围。受到上述文献设计理念的启发，并结合文献14 中的基于线性矩阵不等式（LMI)的鲁棒控制方法，设计一种优化算法以减小本文提出RMPC方法的控制误差。此外，考虑列车的控制输人饱和问题导致列车控制输人的大小会受到一定限制15,在算法设计过程中对列车控制输入的大小进行了相应的限制，以保证所设计算法的实用性。本文的主要贡献如下：（1）考虑列车运行过程中的不确定干扰，提出一种基于RMPC的分布式控制方法，保证了虚拟编组单元列车追踪间距的有界性，同时还保证了虚拟编组列车运行的安全性，满足速度安全约束与追踪间距安全约束等。(2)设计一种基于LMI的优化算法,在输人饱和条件下减小RMPC控制器的控制误差，达到进一步缩短虚拟编组单元列车追踪间距的目的。（3）基于典型的城轨线路数据和车辆参数,对由3辆单元列车构成的虚拟编组列车，在一个站间的完整铁道学报度成正比16-17 。根据列车物理构造，单元列车速度存在上限,因此,在本文中认为（t）的绝对值通常存在上界,即I8(t)I。以上列车动力学模型可转换为矩阵形式表示x,(t)=Ax(t)+B,u,(t)+w式中：x(t）=s(t）u（t)T 为单元列车i的状态向量；。=0（t)T 为列车动力学模型中的有界不确定成分；矩阵A。和B。为状态空间方程的参数，满足4.=/（3）001实际中，列车状态信息通常以离散采样的方式获取。为方便控制器设计，可通过零阶保持器将连续空间状态方程转化为离散形式,即对于任意的tEk T，（+1)-,保持u（t)=u i,其中，T为离散系统采样间隔时间，ui,为离散系统控制输人在第k个采样时刻的值。则式（2）的列车状态空间方程可转换为如下离散形式Xi,k+I=Ax,+Bui,+Dw式中：xi=s i.k U i,为列车i在第k个采样时刻的状态；对应列车动力学模型中的不确定成分。由于。有界,经过离散化得到的能够继承其有界的性质，满足111。各参数矩阵分别满足1T1A=e4r01第45卷(2)1101B。=TAcB=B。edt=JO(4)T/21T法进行对比。仿真结果证明本文所提出基于RMPC运行过程进行了数值仿真实验，并与现有文献中的方D=eAdt=-26/2eLT0的虚拟编组列车控制方法及其优化算法的有效性，在1.2虚拟编组列车最优控制问题不确定干扰环境下的单元列车追踪间距可从10 m缩虚拟编组期望各单元列车保持尽可能小的追踪间短至5.0 5m。距。在本文中，要求领航单元列车根据调度指挥系统的指令，以尽可能高的速度运行；跟随单元列车则根据1虚拟编组列车运行控制模型车车通信接收到的前车状态与控制信息，通过调整其1.1列车动力学模型控制行为，尽可能减小与前车间的追踪间距。为便于列车动力学模型作为虚拟编组列车控制的基础，理解,将单元列车追踪间距定义为si-1,h-L-Sik，其可基于牛顿力学方程将其建立为中L为单元列车车长。在运行过程中领航单元列车需s;(t)=v;(t)要满足速度约束，而跟随单元列车需要同时满足速度(1)lo(t)=u,(t)+8(t)式中：i为虚拟编组内的第i辆单元列车；s(t）、u t)分别为单元列车在t时刻的位置与速度；u（t）为单元列车的控制加速度，即单位质量受到的控制力，其取值范围受到列车物理性能约束，Uminuumax,Umin和umx分别为单元列车控制输人的最小值与最大值；s（t）为单元列车每单位质量受到的外部作用力，通常包括基本阻力和与环境相关的其他附加力等，具有非线性、时变性与不确定性的特点，通常认为其与列车速(5)约束与安全防护距离约束。根据上述设计，可以定义虚拟编组列车的最优控制问题(ui.h,u2.a,w)=k=koarg minui,k,VkeN(6)第8 期要求满足状态空间方程（4）和以下约束xieX(h):=(x:ZixVima)Vie N)Xi.kE X(xi-1.k)Vie NX(xi-1,):=(x:Zzx Zzxi-1.k-L-sml(8)ui.k U:=(u:ui.min uuimax/Vi e N(9)式中：k。与k,分别为虚拟编组列车运行的初始与终止时刻;集合N，为包含从p至q(qp,且都为整数)的所有整数的集合,即N，：=ip,p+1,q ；n 为虚拟编组单元列车总数;矩阵Z,=01、Z,=10 分别用以辅助将单元列车状态中的位置、速度选取出来；集合X、X”和U,分别为满足单元列车位置、速度与控制输人约束的列车状态集合;ui.minui.mx分别为列车单元i控制输人的下界与上界。为保证虚拟编组单元列车运行的同步性，认为在任意k时刻，所有单元列车受到的速度约束Vim,相同。2面向虚拟编组的分布式鲁棒模型预测控制器根据虚拟编组列车最优控制问题，首先设计分布式RMPC方法对其进行求解。以下将证明在不确定干扰环境下，仍然能够保证各单元列车满足安全约束条件式（7)式(9)。2.1虚拟编组列车RMPC控制器设计为实现虚拟编组列车的安全和鲁棒控制，首先根据列车动力学方程（4）中的确定部分，建立名义预测状态的状态空间方程Xij+lh=Axi,Jk+Bi,Jk式中：下标jlk为处于k+j时刻状态的取值是在k时刻预测得到的；Xij+1=3i j+k D i;+/为名义预测状态；uijl为名义控制输人。由于状态空间方程（10)相比于式（4）没有考虑受到的不确定干扰，单元列车实际状态xi,+1会与名义预测状态x,11存在一定差值，也就是控制误差。为对这部分控制误差进行补偿，设计了一个负反馈控制器K,则RMPC控制器就由名义控制输人与反馈控制输入部分两部分组成，可表示为ui.k=i.ol+KXi,k式中：矩阵K为反馈控制律；x，=x i-x i,o k 为列车实际状态与初始的名义预测状态的偏差。据此可以得到控制误差=xi.+1-xi1的状态空间方程罗啸林等：一种缩短虚拟编组列车追踪间距的鲁棒模型预测控制方法x+EX;条件2KXeU,其中U:=lulul。命题1中的条件1保证了鲁棒反馈控制器K能够使得控制误差始终保持在一个有界的范围内。考虑到列车控制输人饱和问题，若反馈控制输人的可行空间过大，则会过多地占用名义控制输人的可行空间，影响RMPC的控制效果。因此,认为该部分控制输入需要满足还要求列车反馈控制输人满足命题1中的约束条件2。认为反馈控制律K能够使得命题1成立，具体的设计方法将在后文中给出。由于虚拟编组内各单元列车需要分别控制本车运行，将式（6)转换为面向不同单元列车的分布式最优控制问题。由于跟随车的控制目标和约束均与其前车相关,为获得更好的控制效果，本文基于文献18 中的序列分布式结构设计单元列车的分布式RMPC控制器。即前车RMPC对本车的最优控制问题求解，得到本车最优控制输人序列和相应的本车预测状态序列，并将其发送给后车；后车将前车预测状态序列代人本车的RMPC最优控制问题中并进行求解，得到本车最优控制序列和相应的本车预测状态序列；依次传递，直至虚拟编组的最尾端的单元列车。根据以上分布式结构，构造虚拟编组中各单元列(10)车的目标函数为J.=minxi,ok,iijk,Vje IN-1f-o满足名义预测状态空间方程（10）和Xi,h E Xi,0kOXxijheX(h)VieNi jeNg-!Xij+eX(xi-IJt)Vie N?jeNo-IJkeU,VieNIjeNa-I(11)式中：N为RMPC预测时域长度；e1,=1Jk-imjk;eiJA=s-1,Jk-L-siJk，Vi e N2;集合运算符为闵可夫斯基符号运算,对应的数学定义为：AB1x+yIxEAyEBI。需要注意的是,当前时刻列车初始名义状态xiok在目标函数中是决策变量之一。这一71X=(A+BK)X+DW(12)由于RMPC要求控制误差始终保持在一个有界(7)的范围之内，因此，要求控制误差满足命题1的规定。命题1存在由矩阵P=PT0定义的鲁棒不变集X(P)：=x 1 p x 1,对于任意xX,应用反馈控制律K，使得x+=（A+BK）x+D w满足：条件1N2ei,ilkVi e Ni(13)(14)(15)(16)(17)72做法的原因是，选择表现更好的名义初始状态x,o能够减小目标函数值，从而得到表现更好的名义预测状态轨迹。由于要求列车实际状态满足约束式（7）式（9），于是将这些约束转换为更严格的约束。其中,约束集分别定义为X（）=X（）X,X（）=X（）2 X,U,=U,U,约束（15)（17)分别对应约束（7）（9）；集合运算符表示闵可夫斯基差，符号运算对应的数学定义为：ABixIxBA）。2.2列车安全约束满足条件在本节中将证明在不确定干扰环境下，仍然能够保证各单元列车满足约束条件式（7）式（9）。首先，给出如下引理保证实际状态处于名义预测状态的有界误差范围之内。引理1对于任意xi，X，.EX，应用控制输人ui,=i.ok+Kxk，能够保证xik+1EXikX，其中X为X或X。证明：根据列车实际状态方程，可得Xik+=Axi,k+B(i,ol+K x)+Dw(18)等式两边同时减去名义预测状态x;,1k=Ax;,01+B i,lk,得X=xi.h+-Xi.1h=(A+BK)x+Dw(19)由命题1中xEX，可证得xi.+IEXX。证毕。接下来，给出定理1，以保证各单元列车在k+1时刻能够满足约束条件式（7）式（9）。定理1对于ieN,存在可行解xi,ol与i.（)1k满足式（14）式（17)中相应约束，则对所有单元列车应用控制输人ui.k=i.olk+Kxik，能够使得x1.+1EX(h+1)与xih+I=X(h+1)n X(xi-1,+1),Vi e N2,以及uikU,VieNi。证明：由于xi,o满足约束式(14),则x,EX。(1)由命题1得Kx,U。因此可以证得ui.k=Uilk+KXi.h eU.OUCU.（2）Vi e N:存在可行解xi,o，u i.I满足约束式（15)，即x1kX(h）。由xi.k+1=x.1+x与引理1 中结论x=X得xi+I EXi,XCX(h)X=X(k)。(3）Vi e N2:由引理1中结论-1.EX得到铁道学报Xi-1,k+1EXi-1.1X。那么,考虑xi-1,11的误差之后，约束式（8）中的约束集X（x i-1,1l）的范围被减小,即以下包含关系成立X(xi-11)OX C X(xi-1,+1)于是有X(xi-1.1)O 2X X X(x;-1.+1)以上，证明各单元列车在k+1时刻能够满足约束条件式（7）式（9）,证毕。3基于LMI的鲁棒控制器优化算法本文中RMPC的控制目标是：在满足安全约束条件的前提下提升领航单元列车的行驶速度，并缩短跟随单元列车与前方单元列车的追踪间距。根据命题1可知，通过减小鲁棒不变集X（P）的大小可以减小控制误差；而根据约束条件式（15）和式（16)可知，若控制误差越小，则允许的领航单元列车速度越快、相邻单元列车的追踪间距越小。基于此，可通过优化鲁棒控制器的设计达到提升虚拟编组列车运行控制性能的目的。3.1鲁棒控制器设计原理由于每辆单元列车上都配置有相同的鲁棒反馈控制器K,本节的设计方法适用于所有单元列车。为简化表述，本节不再通过为变量添加下标i来区分不同的单元列车。命题1要求对于任意xEX，使得（x t)p-I1且KXeU。据此，可建立函数V=xTP-1x，并进一步定义Vk+1=xTop-lx,+XTop-Dw+(oD)p-x+(oD)p-Da式中：=（A+BK)。定义增广向量n=x,可以得到一个令命题1中条件1成立的充分条件Vk1=nlHm1 VV,1 w1(24)dp-l QpDH=DplDpD基于文献14，可建立以下定理2 并据此设计满(20)足要求的鲁棒反馈控制器K。定理2 考虑K=MP-,则当且仅当以下不等式成立时-P(AP+BM)T0AP+BM0第45卷(21)(22)(23)(25)0-PDDT-(1-)1)(26)第8 期式中：I为单位矩阵；M为中间变量。条件(2 4)成立，则集合X(P)=1p-1)对于系统（12)是鲁棒不变的。过程详见文献14。此外,为满足命题1中的条件2,要求式（2 7）成立12XTKKx1VxEX根据集合X（P）的定义，则式（2 7）成立的充分条件是(28)其等价于1P-1KK令不等式两边分别左乘、右乘矩阵P，得1P-PKKP对其应用舒尔补，可得式（2 7）成立的充分条件-PPKT10M*-,2综上，可建立定理3使得命题1中的条件2 成立。定理3考虑K=MP-1,当以下LMI成立时，不等式（31）成立，进而条件KXeU成立。厂-P02*L*证明过程详见文献19。至此，已经可以通过定理2 和定理3来设计满足命题1的控制器K。接下来将据此设计优化算法，通过减小控制误差使单元列车的追踪间距更小。3.2追踪间距优化算法由于通过减小鲁棒不变集X(P)的大小可以减小控制误差，因此，可以通过减小集合X（P）的面积来达到缩短单元列车追踪间距的目标。根据文献2 0 可知，一种减小鲁棒不变集X（P）面积的方式是减小矩阵的迹trP的大小。因此，通过求解以下优化问题达到设计优化算法的目的min trPP,M要求满足约束条件式（2 6）和式（32）。若将参数视为变量，则不等式（2 6）将不具有LMI形式,从而极大增加问题式（33）的求解难度。针对该问题，一种常用的做法是，将设置为一个常数值，使不等式（2 6）变为LMI,再基于此对问题式（33）进行求解。然而，选择不同的值会得到性能不同的鲁棒反馈控制器K与集合X(P）。因此，我们设计以罗啸林等：一种缩短虚拟编组列车追踪间距的鲁棒模型预测控制方法(1)While;do(2)=;1XTKKXPM0(32)*-P-PTJ73下算法，通过代修改的方式来获得trP的最小值，尽可能保证所求解对于问题（33）的最优性。算法1：参数：,;初始化：(27)i=0,=1-,*=0f*=+,K=0,Pp*=0;步骤：(3)求解问题式(33)；（4)I f 问题式（33）存在可行解（M,P.）t h e n(5)K,=MPil f,=trP;(29)(6)Iff,f*then(7)=;f*=f,K=K,P*=P,;(8);+1=;(30)(9)i=i+1;其中,上标*为变量的优性；为迭代算法的终止条件,满足0 1；为变量的衰减系数,满足(31)0*与=0.25*）,与*对比他们相应的鲁棒不变集大小。可以发现X(P*）的面积是其中最小的。此外，无论是在位置误差还是速度误差方面，X(P*）集合中元素绝对值的极大值都要小于其他两个集合的极大值。这说明，通过本文提出的算法求解优化问题式（33），能够有效减小虚拟编组列车控制误差范围。图3中显示，关于列车位置的控制误差最大值为0.0 2 48 m。0.30.20.10-0.10.2-0.30.05-0.04 0.03 0.02 0.010图3鲁棒不变集大小比较4.2虚拟编组列车站间运行过程仿真结果本节将验证所提出RMPC方法的有效性。对由三辆单元列车构成的虚拟编组列车，在城轨站间的完整运行过程进行了仿真实验。由于在实际中列车受到的附加力通常以阻力形式存在,因此,认为实验中的不确定干扰满足-1,0,其概率密度函数设为f(）=1。值得说明的是,当-1,1 时,所提出的方法仍然适用。图4给出了三辆单元列车在站间运行过程中的位置-速度曲线，可看出各单元列车的实际速度均满足约束（7）；图5中给出了各单元列车实际追踪间距与对应的安全防护距离的差值随时间变化的情况，可看出各单元列车的实际运行间距始终大于安全防护距离，说明所提出的RMPC控制方法能够保证单元列车追踪间距满足安全约束条件（8）。通过以上两方面可证明所提出的虚拟编组列车控制方法的安全性。图6 所示为三辆单元列车运行过程中的控制误差，可以看出25201522.5F1022.050图4虚拟编组列车站间运行场景铁道学报虚拟编组内所有单元列车每个时刻的控制误差都处于鲁棒不变集内，说明所提出RMPC方法的鲁棒性。0.100.090.08三,0.0 7F0.060.050.040.030.020.01图5虚拟编组单元列车实际追踪间距与-0.6安全防护距离之差0.25u0.01 0.020.030.040.05位置误差/m一烈车！列车317.5F17.0.5001000位置/m第45卷-列车1-2列车2-31一20400.150.10(s.m)/单0.050-0.05-0.10-0.150.025为证明所提出的RMPC方法以及优化算法在缩短单元列车追踪间距方面的有效性，选择文献8 中的MPC控制方法以及其他两种RMPC方法，与本文所提出的方法进行对比。其中,文献8 中的列车追踪间距保持为10 m;第一种作为对比的RMPC方法中的鲁棒反馈控制器来自顶级期刊的经典文献12 ,其目的是同时减小控制误差及加快状态收敛速度，反馈控制律可相应设计为K,=1.0 46 8 1.8 596,对应的最大位置误差为0.38 0 3m；第二种作为对比的RMPC方法基于未经优化的鲁棒反馈控制器,其反馈控制律设计为K,=-0.6 2 48 1.6 2 0 9,对应的最大位置误差为1.9 39 3m。分别应用不同的RMPC方法进行实验，得到的单元列车实际追踪间距变化规律见图7。实验结果表明，应用本文提出的RMPC方法及其优化算法后得到的单元列车追踪间距平均为4.0烈车23.5速度约束3.02.52.01.51.00.51500200060时间/s0020050.位置/m图6 单元列车运行控制误差2.5002021222324252627282930时间/s图7应用不同控制方法的单元列车追踪间距80.005100120140误差范围车列车2列车3-K*K,第8 期5.05m；与普通MPC方法8 得到的列车追踪间距为10m、未经优化的RMPC方法得到的列车追踪间距为8.88m以及基于文献12 的RMPC方法得到的列车追踪间距为5.7 6 m相比，列车追踪间距缩短幅度分别达到49.5%、43.1%和12.3%。由此可见，本文所提出的方法可显著缩短虚拟编组单元列车追踪间距。5结论针对虚拟编组列车在不确定干扰条件下的小间距安全追踪控制问题，首先提出一种基于分布式RMPC的虚拟编组列车追踪控制方法，保证单元列车运行速度和追踪间距安全、有界，进而实现了虚拟编组列车小间距鲁棒运行；接着，设计一种基于LMI的优化算法，通过减小RMPC控制器的控制误差，达到进一步缩短单元列车追踪间距的目的。通过由3辆单元列车构成的虚拟编组列车的完整站间运行过程仿真结果以及与既有文献中类似方法的对比，证明本文所提出控制方法和优化算法的有效性。实验数据表明，分别与文献8的普通MPC方法以及基于文献12 设计的RMPC方法相比，本文提出的RMPC控制方法及其优化算法可将单元列车追踪间距减小至5.0 5m，缩短幅度达到分别达到49.5%和12.3%。为简化算法设计，本文与文献8 的处理方法一致，将单元列车之间的安全防护距离假设为固定的常数。在后续研究中,将考虑安全防护距离为非线性形式条件下的虚拟编组列车追踪控制方法。此外，列车动力学模型参数不确定条件下的控制方法设计问题也应在未来研究中进行考虑。参考文献：1】施仲衡，丁树奎.城市轨道交通绿色低碳发展策略J.都市快轨交通,2 0 2 2,35(1)：1-4,11.SHI Zhongheng,DING Shukui.Strategies for Green and Low-carbon Development of Urban Rail Transit J.Urban RapidRail Transit,2022,35(1):1-4,11.2 NOLD M,CORMAN F.Dynamic Train Unit Coupling and De-coupling at Cruising Speed:Systematic Classification,Operational Potentials and Research Agenda J.Journal ofRail Transport Planning&Management,2021,18:100241.3 BOCK U,VARCHMIN U.Enhancement of the Occupancy ofRailroads Using“Virtually Coupled Train Formations D.Frederiction:Technical University of Brunswick,1999.【4刘岭.基于虚拟耦合的列车群体智能控制技术研究及展望J.铁路通信信号工程技术，2 0 2 0，17（2）：1-9.LIU Ling.Research and Prospect of Intelligent Control Technol-ogy for Virtually Coupled Train Formation J.Railway Signal-罗啸林等：一种缩短虚拟编组列车追踪间距的鲁棒模型预测控制方法Management,2020,15:100195.6 DI M C,DI V M,FLAMMINI F,et al.ERTMS/ETCS VirtualCoupling:Proof of Concept and 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