一种水力机械压力脉动的分频模态提取方法及应用.pdf

第 42 卷第 8 期 水 力 发 电 学 报 Vol.42,No.8 2023 年 8 月 Journal of Hydroelectric Engineering Aug.2023 收稿日期：收稿日期：2023-03-02 接受日期：接受日期：2023-05-15 作者简介：作者简介：周济宸(2002),男,本科生.E-mail: 通信作者：通信作者：林贵海(1967),男,高工.E-mail: 一种水力机械压力脉动的分频模态提取方法及应用 周济宸1，牛翔宇2，林贵海3，刘 鑫4（1.上海大学 计算机科学与技术系，上海 200444；2.国网新源集团有限公司，北京 100052；3.福建水口发电集团有限公司，福州 350004；4.中国华能集团清洁能源技术研究院有限公司，北京 102209）摘摘 要：要：水力机械在偏离最优工况条件下，水压脉动可能包含多种频率成分，对流场时域分析时，小幅值次主频率成分的非定常演变特征常被主频成分的时域演变所掩盖。本文借鉴结构动力学中模态参数提取方法，采用基于自然激励技术，由复响应函数获得不同频率下的模态参数，并编程计算了水力机械内的典型三维流场水力激励分频模态，分析了混流式水轮机小流量下的计算结果，刻画了尾水管涡带的低阶旋转模态，揭示了尾水管内高阶频率成分的产生与无叶区内旋转扰动源的关联关系。同时，还对动静干涉等原因导致的转轮上的激振模态进行分析，模态结果与理论预测一致。本文提出的分频模态分析方法有助于揭示不同频率压力脉动产生的根源、传播途径等信息。关键词：关键词：水力机械；水压脉动；模态；复响应函数；混流式水轮机 中图分类号：中图分类号：TV136 文献标志码：文献标志码：A DOI:10.11660/slfdxb.20230810 论文引用格式：论文引用格式：周济宸,牛翔宇,林贵海,等.一种水力机械压力脉动的分频模态提取方法及应用J.水力发电学报,2023,42(8):89-97.ZHOU Jichen,NIU Xiangyu,LIN Guihai,et al.Method for extracting frequency-domain modal parameters of pressure pulsations in hydraulic machines and its application J.Journal of Hydroelectric Engineering,2023,42(8):89-97.(in Chinese)Method for extracting frequency-domain modal parameters of pressure pulsations in hydraulic machines and its application ZHOU Jichen1,NIU Xiangyu2,LIN Guihai3,LIU Xin4(1.Department of Computer Science and Technology,Shanghai University,Shanghai 200444,China;2.State Grid Xinyuan Group Co.,Ltd,Beijing 100052,China;3.Shuikou Power Generation Co.,Ltd,Fuzhou 350004,China;4.China Huaneng Group Clean Energy Technology Research Institute Co.,Ltd,Beijing 102209,China)Abstract:When operating at the off-design condition,the pressure pulsations within a hydraulic machine may contain multiple frequency components.In time domain analysis of the flow,the unsteady characteristics of the lower-amplitude subharmonic frequency components are often overshadowed by the time-domain evolution of the dominant frequency component.Based on the ideas of the modal parameter extraction methods in structural dynamics,this paper describes a new method for extracting frequency-domain modal information from the flow field,using the natural excitation technique.Modal parameters 90 水力发电学报 at different frequencies are obtained through complex response functions,and relevant codes are developed to apply this method to analysis of the unsteady flow fields in a mixed-flow water turbine.We examine the simulation results of the turbine operating at low flow rates,characterize the vibration modes of draft tube vortices,and reveal the relationship between the generation of higher-order frequency components in the draft tube and the rotational perturbation source in the bladeless section.Meanwhile,we give an analysis of the impeller excitation modes caused by rotor-stator interference and other factors.The modal results has been verified with theoretical predictions.Thus,our frequency-domain modal analysis method helps reveal information such as the sources and propagation of pressure pulsations at different frequencies.Keywords:hydraulic machinery;pressure oscillation;mode;complex response function;Francis turbine 0 引言引言 水力激励是导致水力机械振动或功率波动的主要原因之一，其在流场内部则表现为水压脉动，实际工程中，为了分析产生振动的原因，需要对机组进行系统的测量，包括不同结构部位的振动测量和水力部件的压力脉动测量等1-3。最常见的分析方法是是通过快速傅里叶变换算法（FFT）将测点的振动或压力脉动时间序列转换为频率数据1-6。随着测量分析技术的发展，在信号分析模式识别、等领域发展了许多时域分析和频域的高级分支7，一些新的数据分析方法也被用于水力机械的故障诊断和在线监测系统中8-10。但机组振动和压力脉动的测量因受到现场条件和测量系统的各种限制，往往测点非常有限11。尤其是对水轮发电机组，其过流部件大多埋设在地下，如果没有预先埋设测点，装机后很多情况下只能在进人通道等有限的位置设置测点，这导致获得的机组运行时压力脉动等数据量非常有限。随着计算流体力学的发展，大规模数值计算在机组的非定常流动特征分析及振动分析中已经获得越来越多成功的应用。理论上，流动计算可以获得计算域内任意点的速度、压力的时域信息，但就数据分析技术而言，在流动分析领域，最常见方法仍是与现场实测分析类似，即通过提取典型监测点上的流动参数的时域和频域特征，并辅以不同断面的时域云图，对流场非定常特性进行分析，对产生振动的原因进行研判12-20。毋庸置疑，三维非定常数值计算大大丰富了人们对各种不同水力激励的认识，因为监测点的布置比现场实测更灵活，对一些问题，经典的时域/频域分析方法已经足够。大多数水力机械数值计算相关文献均通过一些点的压力脉动频谱数据，对其产生原因进行合理的解释，因为当某种非定常流动占据主导地位时，多个点甚至整个流场的频谱图都会出现与该现象相关的频 率峰值。如尾水管涡带会导致主频为n(0.23 0.4)f 的主频峰值及其倍频峰值等，如果在 40%80%负荷的工况下尾水管壁面压力脉动的频谱成分中出现这样的峰值，基本可判定是该成分是由尾水管涡带引起的12-16。泵在小流量工况下旋转失速和旋转空化等引起的压力脉动也有明显频率特征，它与失速涡或空化区的数目及失速涡的旋转频率有关。通过流场的压力或速度云图，结合不同测点的压力脉动时域图和频谱图，可以对其非定常流动演变特征进行分析，并对压力脉动产生原因进行明确判断17-24，而转轮与导叶的动静干涉现象在静止域主要表现出转轮叶片的通过频率及其倍频，而在旋转坐标系则表现出导叶动过频率及其频率25；但很多偏离最优工况条件下，水力机械内部流动复杂，动静干涉、旋转失速、叶道涡、卡门涡以及各种其他不稳定漩涡运动可能导致不同频率成分的压力脉动。因此，有时流场的水压脉动可能包含多种频率成分（见图 1（a），在这个水轮机算例中，尾水管内的压力脉动不仅包含涡带的频率成分，还包含 一个原因未知的频率成分n2.6 f，而此时流场中的 第一主频仍是涡带旋转频率，流场压力云图（见图1（b）时域演变主要表现为涡带旋转运动特征。流动计算虽然理论上提供了计算域内任意点的速度、压力等结果，但却是时域信息，是不同频率时变信息的综合表现，其中幅值较小的次主频率成分的非定常演变特性常被主频成分的时域演变所掩盖，但仅从不同时刻的流场云图分析次频成分的产生原因就变得比较困难。而传统 FFT 分析手段仅能提供单点频域信息，因此，有必要寻找一种周济宸，等：一种水力机械压力脉动的分频模态提取方法及应用 91 可以在频域上提取水力激励力模态（分频振型）的方法，对整个流场各点压力脉动频谱信号的全局分析，为水力机械内部不稳定流动提供更为丰富和直观的信息。（a）压力脉动频谱 （b）尾水管内的压力云图 图图 1 混流式水轮机尾水管壁面附近的压力脉动频谱及尾水管内的压力云图混流式水轮机尾水管壁面附近的压力脉动频谱及尾水管内的压力云图 Fig.1 Pressure fluctuation spectrum and pressure contours in the draft tube 本文水力激励力模态的思想来源于结构动力学中模态分析的概念，它将结构的动力学行为表示为不同模态振动的线性组合。每个模态由模态频率、阻尼比、振型和参与向量等定义。这些模态参数取决于结构的几何形状、材料属性和边界条件26。结构模态参数可以通过结构部件的有限元分析计算获得，也可以通过实验获得。其中实验模态分析（experimental modal analysis，EMA）通过测量不同位置的振动时域信号，根据模态辨识算法获得模态参数（模态频率、阻尼比、振型等）27-29。因此，如果流场的压力脉动被视为某种“振动”，也可以参考实验模态分析的方法，获得不同频率对应的“水力激励力模态”。但是传统的 EMA 方法需要结构的激励信号28-29，在流场的时域信号中，并没有所谓的激励信号，这使传统 EMA 方法难以直接用于水力激励力的模态提取。在结构模态分析中，也有一些受条件限制无法实施人工激励的情形，这时一般采用工作模态分析（operational modal analysis，OMA），即在输入未知的情况下辨识结构模态，采用的方法有峰峰值提取法，频域分解法，多参考点最小二乘法等30-32，这些方法要求激励信号为平稳随机信号。刘鑫采用了 PolyMAX 算法假设输入噪声为白噪声，对压力脉动振型进行了识别和提取33，这与 James 等提出的自然激励技术（NExT）34的思想一致，很好地解决了激励源的问题。但是 PolyMAX 算法涉及的计算量较大，因此本文基于自然激励技术思路，本文介绍了一种新的水力激励分频模态提取方法，可以对不同频率成分的三维模态进行分析，有助于解释水力激励的来源，提高水力机械诊断水平。本文首先介绍水力激励力三维模态提取的基本原理，然后分别针对典型不稳定流动现象，介绍该方法在水力机械中的应用。1 三维模态提取方法三维模态提取方法 本文采用的模态提取方法借鉴了结构振动模态参数识别的相关理论26-27。在结构振动分析领域，对弱阻尼线性系统，设固有频率为r的模态振型为ir，模态质量为rm，模态阻尼比为r，可以证 明，如果在任意 p 点施加激励，则 p 到任意 l 点的频率响应函数矩阵与模态振型之间有如下关系26：1jjNrplplrHH （1）其中第 r 阶模态频率响应函数（贡献）矩阵为：111212122212jrrrrrMrrrrrrMrrplMrrMrrMrMrH （2）221(2j)rrrrm （3）可以看到，总矩阵为各阶模态频率响应函数矩 阵的叠加。在r处，频率响应函数有极值（峰 值），如果各阶模态频率分散，可采用单自由度模92 水力发电学报 型进行模态参数识别，这种情况下，jjrplplHH （4）式（2）表明第r阶模态的频率响应函数矩阵中任意行或任意列元素的相对比值即为第r阶振 型ir。另一方面，如果在任意p点施加激励()px t，在任意l点测得其响应为()lx t，则频率响应函数矩 阵为：()*()j()*()lpplppXXHXX （5）式中：()iX为()ix t的频谱；*表示共轭。用峰值拾取法对jplH的峰值进行筛选，如对第r个峰值r，jjrplplHH，采用多点（1,lM）拾振，单点（p点）激励可获得频率响应函数矩阵中任意p行的元素，而采用多点激励（1,pM），单点（l点）拾振可获得频率 响应函数矩阵任意l列的元素，两种方法可获得r对应的模态振型ir。对流场而言，通过非定常流动数值计算能获得不同离散时刻（t）流道内任意离散点（i）的场量 信息，如()ip t、()iu t等。借鉴结构振动模态识别 的概率，将物理空间的水压脉动表示为模态空间内 不同模态振动的叠加，在模态空间，模态频率为r的第r阶模态的水压脉动可表示为jertrq，rq为模态幅值，对应的模态振型为ri。则非定常压力场 也可表示为：j1()e 1,rNtirirrp tqiM （6）若将上述结构振动模态识别理论应用到压力脉动振型识别，需要输入函数和输出函数。但对于压力脉动，缺乏输入函数信号，因此，借鉴James等提出的自然激励技术（NExT）33，将压力场视为流场对白噪声的响应，由于白噪声全频率带上的功率谱幅值为常数，因此，对系统中的任意两点，式中矩阵jplH任意行或任意列元素的相对比 值不会改变，该NExT方法证明，对线性时不变系统，在输入信号为全频率的白噪声的条件下，结构中两点间（如p点和l点）的互相关函数与结构在l点对p点的脉冲激励响应函数具有相似的表达式。根据这一结论，仍可以利用式（1）来计算频率响应函数，进而求得压力场振动模态参数。此时频率响应函数矩阵为：()j()plplppSHS （7）式中：()plS，()ppS为()pp t，()lp t的互谱和自谱，可以分别由()pp t，()lp t的离散信号互相关和自相关函数()plRm，()ppRm的傅里叶变换计算：101()()()0,1,2,(1)NmppppmRmpn pnmNmmN （8）101()()()0,1,2,(1)NmpllpmRmp n pnmNmmN （9）1j(1()()()eNmplplmNSw m Rm）（10）1j1()()()eNmppppmNSw m Rm()（11）20,1,2,1kkNM （12）(),(),0,plpnp n nNN 是(),()plptp t 离散的数据序列。为了降低泄漏的影响，计算中采用汉宁窗函数w。计算中取其半功率谱。计算时固定p点，用峰值拾取法对频率响应函数的峰值进 行筛选，对第r个频率峰值r，对应压力场振动模态为(j)rlrplH。2 应用实例应用实例 通过Python编程，对水力机械非定常流动计算结果进行后处理分析，可以获得对不同流动现象的认识。非定常数值计算可获得流场内所有节点在不同时刻的压力、速度等信息，选定所关心的截面（如尾水管纵剖面，无叶区圆柱截面、叶轮区流面等），导出截面上的压力或速度数据，一般不同时刻的流场数据保存在不同的csv表格文件中，程序运行时首先通过转置获得不同位置（i点）上压力 或速度的时间序列(),()iip t u t，选取参考点p，利用 式（7）和式（8）计算p点的自相关函数和截面上各点（l点）的互相关函数，再利用式（9）和式（10）计算互谱和自谱，计算中采用汉宁窗函数以降低误差，然后由式（6）计算频率响应函数，最后用峰 值拾取法对jplH的峰值进行筛选，选取所关心 的频率（比如第r阶频率），通过相应的列获得该频率的对应的压力脉动模态。通过以上程序对水泵水轮机典型流动现象的产生的压力脉动进行了分周济宸，等：一种水力机械压力脉动的分频模态提取方法及应用 93 析，由于对不同频率的模态进行了分解，可以对不同频率成分压力脉动的原因进行深入分析，有助于对不稳定流动机理的认识。下面以两个不同的水泵水轮机为例，介绍以上方法的典型应用。2.1 抽水蓄能机组低负荷工况压力脉动分析抽水蓄能机组低负荷工况压力脉动分析 在比转速为118的水泵水轮机的非定常流动计算中发现33，50%负荷时尾水管内除了有常见的 0.28nf的成分之外，还出现了2.6nf的频率（见图 1（a），从尾水管不同时刻的云图（见图1（b）仅能直观看到尾水管涡带引起的压力脉动演变过程，但是经过分频处理后，可以看到不同频率成分的压力脉动传播过程。图2为尾水管中间截面0.28nf频率对应的压 力脉动分频模态（幅值进行了归一化处理），红色代表压力脉动波峰的位置，蓝色代表压力脉动波谷位置，二者的相位差为180，即在锥管左右两侧的位置上压力脉动相位差为180。这表明，这是一个涡的周向旋转造成的压力波的周向传播，同时还可以看到，压力波除了周向传播，还存在上游到下游的流向传播。这与文献中尾水管涡带的实验及计算结果12-16是一致的。图3为尾水管内2.6nf频率脉动的压力动分频 模态。可以看见，脉动模态表现上游到下游之间的流向振荡，圆周方向不同点的位置相位相同。以上结果与文献33的结果一致，说明本文提出的方法可行。分析这个压力脉动可能来源于尾水管上游流道。为此，对转轮内的压力场进行了分析，将转轮 内2.6nf的分频信号提取出来，发现在转轮每个叶 片间的通道内，也呈现同步压力脉动，这种压力脉动似乎与转轮进口边流动条件的周期性变化有关。（a）t=0(1/0.28nf)（b）t=0.1(1/0.28nf)（c）t=0.3(1/0.28nf)（d）t=0.5(1/0.28nf)（e）t=0.7(1/0.28nf)（f）t=0.9(1/0.28nf)图图 2 尾水管内尾水管内 0.28nf频率对应的压力脉动模态频率对应的压力脉动模态 Fig.2 Pressure fluctuation mode in draft tube at the frequency of 0.28nf （a）t=0(1/2.6nf)（b）t=0.1(1/2.6nf)（c）t=0.3(1/2.6nf)（d）t=0.5(1/2.6nf)（e）t=0.7(1/2.6nf)（f）t=0.9(1/2.6nf)图图 3 尾水管内尾水管内 2.6nf频率的对应压力脉动模态频率的对应压力脉动模态 Fig.3 Pressure fluctuation mode in draft tube at the frequency of 2.6nf 94 水力发电学报 为此，利用2等值面将叶轮内的漩涡区画在 图4中，可以看到，在小流量下，各流道内出现了周期性的漩涡演变过程，且各流道的漩涡演变过程同步，因而在尾水管进口形成了周期性的压力波动，其演变周期是转轮旋转周期的0.38倍（1/2.6倍），这就是尾水管内2.6nf频率的来源。（a）t=0(1/2.6nf)（b）t=0.1(1/2.6nf)（c）t=0.3(1/2.6nf)（d）t=0.5(1/2.6nf)（e）t=0.7(1/2.6nf)（f）t=0.9(1/2.6nf)图图 4 转轮叶道内的漩涡（转轮叶道内的漩涡（2=7000）等值面）等值面 Fig.4 Vortices within runner shown by 2=7000 isosurface 进一步对无叶区的压力脉动进行分析，发现在 无叶区内出现了4.4nf的频率成分，考察分频成分4.4nf的压力脉动模态（见图5），可以看到该模态 是一个周向旋转模态，一个圆周上波数为7，轴向 旋转频率为0.63nf，方向与转轮旋转方向相同，因此无叶区出现了nn70.634.4ff的成分。但是，在旋转坐标系下，此扰动的旋转频率为n0.37f(nnn0.630.37fff)，因此，在旋转坐标系下7个波的扰动形成的扰动频率为nn70.372.6ff。由于扰动数目与叶片数一致，在转轮内形成了n2.6f同步模态。这就是转轮和尾水管内n2.6f成分 的产生原因。（a）t=0(1/4.4nf)（b）t=0.25(1/4.4nf)（c）t=0.5(1/4.4nf)（d）t=0.75(1/4.4nf)图图 5 无叶区内无叶区内 4.4nf分频成分对应压力脉动模态分频成分对应压力脉动模态 Fig.5 Pressure fluctuation mode in vaneless section at the frequency of 4.4nf 2.2 动静干涉激振模态分析动静干涉激振模态分析 对低比转速水轮机，一些情况下转轮叶片和导叶间的动静干涉造成的压力脉动可能引起过大的叶片动应力，导致结构裂纹等问题，Tanaka对动静干涉引起的激励模态做了系统的理论分析，并提出了以下公式24：周济宸，等：一种水力机械压力脉动的分频模态提取方法及应用 95 grn Zkm Z （13）式中：n，k，m都是正整数，gZ，rZ分别为导叶 数和转轮叶片数。k为压力脉动模态节径数，且该 模态在静止坐标系下以n/rm Zfk的频率旋转，在旋转坐标系下以/gnm Zfk的频率旋转。图6为针对比转速为133的水泵水轮机在额定工况（额定转速250 r/min，额定水头165 m，额定流量65 m3/s）时叶轮进口附近一点上的压力脉动的时域和频域信号，该转轮叶片数为9，导叶数为20，会产生2节径的模态。在频谱图上可看到 3个主要的频率分别为nnn1,2,20fff。图7通过转轮上冠流面的脉动压力云图显示了3个频率成分模态（为节省篇幅，只给出一个时刻的图像），3个模态都是反向旋转模态。可以看到，在旋转坐标系下，n1f成分表现出 一节径模态，显然，这个模态的激励与进口（蜗壳出口）压力分布不均匀有关，所以在旋转坐标系下表现为反向旋转的一倍频。正如Tanaka的公式所 揭示的那样，n20 f的成分为2节径的动静干涉模 态，由于在这种组合下，公式中k前面的符号为负，所以这是反向旋转模态。可以看到20个激励单元代表20个导叶对应的位置，在相对180的位置上压力脉动的相位是相同的，所以该模态在旋转坐标 系下的旋转频率是n10 f。而其中的n2 f也是一个2 节径的模态，可能是动静干涉的2节径模态诱导的附加一个振动模态。图7显示的分频模态直观而形象地揭示了不同模态频率的传播方式，有助于直观理解转轮叶片动应力的产生以及不同模态下结构共振图景。（a）时域图 （b）频域图 图图 6 水泵水轮机转轮进口附近的压力脉动水泵水轮机转轮进口附近的压力脉动 Fig.6 Pressure pulsation near the inlet of the pump turbine runner 压强/kPa 时间/s 压力脉动幅值/kPa 频率/Hz 96 水力发电学报 （a）n1f （b）n2 f （c）n20 f 图图 7 水泵水轮机转轮域内的分频模态水泵水轮机转轮域内的分频模态 Fig.7 Pressure modes in the pump turbine runner at different frequencies 3 结论结论 本文提出了一种基于自然激励技术的流场信息分频模态提取方法，借鉴结构动力学中的模态参数提取方法，通过复响应函数获得不同频率下的模态参数，并编制了相关程序，将该方法应用于水力机械非定常流场计算结果的分析中，首先对一个水泵水轮机 50%负荷下的计算结果进行了分析，刻 画了频率为 0.28nf的涡带的压力脉动模态，同时揭示了尾水管内高阶频率成分（2.6nf）的产生原 因与无叶区内旋转的扰动源有关，但由于扰动源数目与叶片数一致，因此在流道形成同步压力脉动。同时，还对动静干涉导致的转轮上的激振模态进行的分析，所描述的模态与理论公式预测结果一致。可见，本文所提的分频模态分析可以将压力脉动的各个模态分别提取出来，有助于帮助揭示不同频率压力脉动产生的根源、传播途径等信息。参考文献（参考文献（References）1 PRESAS A,VALENTIN D,EGUSQUIZA E,et al.Detection and analysis of part load and full load instabilities in a real Francis turbine prototype C/Journal of Physics:Conference Series.IOP Publishing,2017,813(1):012038.2 ESCALER X,EGUSQUIZA E,FARHAT M,et al.Detection of cavitation in hydraulic turbines J.Mechanical Systems and Signal Processing,2006,20(4):983-1007.3 VALENTN D,PRESAS A,EGUSQUIZA E,et al.Power swing generated in Francis turbines by part load and overload instabilities J.Energies,2017,10(12):21-24.4 ZHANG Y,ZHENG X,LI J,et al.Experimental study on the vibrational performance and its physical origins of a prototype reversible pump turbine in the pumped hydro energy storage power station J.Renewable Energy,2019,130:667-676.5 OLIMSTAD G,NIELSEN T,BRRESEN B.Stability limits of reversible-pump turbines in turbine mode of operation and measurements of unstable characteristics J.Journal of Fluids Engineering,2012,134(11):111202.6 NICOLET C,ZOBEIRI A,MARUZEWSKI P,et al.On the upper part load vortex rope in Francis turbine:Experimental investigation C/IOP Conference Series:Earth and Environmental Science.IOP Publishing,2010,12(1):012053.7 ZISSIS D,XIDIAS E K,LEKKAS D.Real-time vessel behavior prediction J.Evolving Systems,2015:1-12.8 党建,李骥,贾嵘,等.基于 EMD 连续几何分布的水电机组振动信号降噪J.水力发电学报,2020,39(4):46-54.DANG Jian,LI Ji,JIA Rong,et al.Denoising vibration signals from hydroelectric generating units using EMD-based consecutive geometric distribution similarity measure algorithm J.Journal of Hydroelectric Engineering,2020,39(4):46-54.(in Chinese)9 张成华,尤建锋,泰荣,等.水泵水轮机水泵断电飞逸过程压力脉动 CFD 模拟J.水力发电学报,2020,39(4):62-72.ZHANG Chenghua,YOU Jianfeng,TAI Rong,et al.CFD simulations of pump-trip runaway process pressure pulsation of a model pump-turbine J.Journal of Hydroelectric Engineering,2020,39(4):62-72.(in Chinese)10 蒋文君,胡晓,张培,等.基于EEMD近似熵的水电机组振动信号特征提取J.水力发电学报,2020,39(6):18-27.JIANG Wenjun,HU Xiao,ZHANG Pei,et al.Vibration feature extraction for hydropower units based on ensemble empirical mode decomposition and approximate entropy J.Journal of Hydroelectric Engineering,2020,39(6):18-27.(in Chinese)11 VALERO C,EGUSQUIZA E,PRESAS A,et al.Condition monitoring of a prototype turbine.Description of the system and main results C/Journal of Physics:Conference Series.IOP Publishing,2017,813(1):012041.12 王彤彤,张昌兵,谢婷婷,等.变速混流式水轮机尾水涡带及压力脉动分析J.水力发电学报,2021,40(9):95-101.WANG Tongtong,ZHANG Changbing,XIE Tingting,et al.Analysis on vortex ropes and pressure pulsations in draft tube of variable-speed Francis turbine J.Journal of Hydroelectric Engineering,2021,40(9):95-101.(in Chinese)13 KUIBIN P A,OKULOV V L,SUSAN-RESIGA R F,et al.Validation of mathematical models for predicting the swirling flow and the vortex rope in a Francis turbine operated at partial discharge C/IOP Conference Series:Earth and Environmental Science.IOP Publishing,2010,12(1):012051.14 SUSAN-RESIGA R,CIOCAN G D,ANTON I,et al.Analysis of the swirling flow downstream a Francis turbine runner J.Journal of Fluids Engineering,2006,128(1):177-189.15 SICK M.Investigation of the draft tube vortex in a pump-turbine C/Proceedings of the 22nd IAHR Symposium on Hydraulic Machinery and Systems.Stockholm,Sweden,2004:1-10.Paper B11-1.16 WANG Z W,ZHOU L J.Simulations and measurements of pressure oscillations caused by vortex ropes J.Journal of Fluids Engineering,2006,128(4):649-655.17 CHEAH K W,LEE T S,WINOTO S H,et al.Numerical flow simulation in a centrifugal pump at design and off-design conditions 周济宸，等：一种水力机械压力脉动的分频模态提取方法及应用 97 J.International Journal of Rotating Machinery,2007,2007:83641.18 BYSKOV R K,JACOBSEN C B,PEDERSEN N.Flow in a centrifugal pump impeller at design and off-design conditions.Part II:large eddy simulations J.Journal of Fluids Engineering,2003,125(1):73-83.19 FENG J,BENRA F K,DOHMEN H J.Numerical investigation on pressure fluctuations for different configurations of vaned diffuser pumps J.International Journal of Rotating Machinery,2007,2007:43-52.20 SHIBATA A,HIRAMATSU H,KOMAKI S,et al.Study of flow instability in off design operation of a multistage centrifugal pump J.Journal of Mechanical Science and Technology,2016,30:493-498.21 刘涛,张宇宁,杜小泽.水泵水轮机旋转失速现象综述J.水力发电学报,2015,34(11):16-24.LIU Tao,ZHANG