电子商务项目策划与设计第三篇-运动与动力分析.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,运动和动力分析,-,编制：李琴,第十一章,质点运动与动力分析,第十二章,刚体基本运动时的运动与动,力分析,第十三章 点和刚体的复合运动分析,第三篇 运动和动力分析,一、自然法求点的速度和加速度,二、直角坐标法求点的速度和加速度,三、质点动力分析基本定律,四、质点运动微分方程,第十一章质点运动与动力分析,第十一章质,点运动与动力分析,本章将介绍研究点的运动的二种方法，即：,直角坐标法,和,自然法,。,点运动时，在空间所占的位置随时间连续变化而形成的曲线，称为点的,运动轨迹,。点的运动可按轨迹形状分为,直线运动,和,曲线运动,。当轨迹为圆时称为,圆周运动,。,表示点的位置随时间变化的规律的数学方程称为点的,运动方程,。,本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度，以及它们之间的关系,。,11-1,自然法求点的速度和加速度度,点的弧坐标运动方程,自然法是以点的轨迹作为自然坐标轴来确定动点位置的方法,。,这就是自然坐标形式的点的运动方程,。,设动点,M,的轨迹为如图所示的曲线，则动点,M,在轨迹上的位置可以这样确定：在轨迹上任选一点,O,为参考点，并设点,O,的某一侧为正向，动点,M,在轨迹上的位置由弧长,s,确定，视弧长,s,为代数量，称它为动点,M,在轨迹上的弧坐标。当动点,M,运动时，,s,随着时间变化，它是时间的单值连续函数，即,M,O,s,(-),(+),点的速度,描述点沿轨迹运动的快慢及方向的物理量即为点的速度，用矢量,表示。,在曲线运动中，点的速度是矢量。它的大小等于弧坐标对于时间的一阶导数，它的方向沿轨迹的切线，并指向运动的一方。,已知动点的轨迹及沿此轨迹的运动方程为,则速度可以表示为：,点的加速度,描述点的速度大小和方向随时间而变化的物理量即为点的加速度，用矢量,表示。,如图所示，在矢量,1,上截取数值上等于矢量,的,MC,，,BC,段代表速度大小的改变量，用,表示；,AC,段则代表速度方向的改变量，用,n,表示。即,11-2,直角坐标法求点的速度和加速度,点的直角坐标运动方程,当点的运动轨迹未知时，常用直角坐标法描述点的运动，即根据投影,原理，通过动点的位置、速度、加速度矢量在直角坐标轴上的投影，将其矢,量形式变为代数量形式。,如图所示，设动点,M,在直角坐标平面内作曲线运动，则点,M,在任一瞬时,的位置可由坐标来确定。当动点,M,运动时，其坐标随时间而变化，而且均为,时间的单值连续函数，其表达式为,上式称为以直角坐标表示的点的运动方程。,从上式中消去时间参数，便可得到动点的轨迹方程,点的速度,点的速度也可分解为沿轴两个方向的分量,上式表明：动点速度在直角坐标系各轴上的投影，分别等于其相应的位置坐标对时间的一阶导数。,根据和可求出速度的大小和方向。其大小为,其方向为,点的加速度,点的加速度也分解为沿轴两个方向的分量,上式表明：动点加速度在直角坐标系各轴上的投影，分别等于其相应的速度投影对时间的一阶导数，或等于其相应的位置坐标对时间的二阶导数。,同理，根据和可求出全加速度的大小和方向。其大小为,其方向为,其中,为全加速度,a,与轴所夹的锐角，,a,的指向由和的正负判断。,例,11-3,下图为料斗提升机示意图。料斗通过钢丝绳由绕水平轴,O,转动的卷筒提升。已知：卷筒的半径为,R,16cm,，,料斗沿铅垂提升的运动方程为,y,2,t,2,，,y,以,cm,记，,t,以,s,计。求卷筒边缘一点,M,在,t,4s,时的速度和加速度。,解：,此时,M,点的切向加速度为：,v,4,4,16 cm/s,当,t,=4 s,时速度为：,O,M,R,M,A,0,A,M,0,y,11-3,质点动力分析基本定律,第一定律（惯性定律）,不受力作用的质点，将永远保持静止或作匀速直线运动。,物体保持其运动状态（即速度的大小和方向）不变的性质，称为惯,性。物体的匀速直线运动又称为惯性运动，所以这一定律又称为惯性定,律。,惯性是物体的重要力学性质，一切物体在任何情况下都有惯性。当,物体不受外力作用时，惯性表现为保持其原有的运动状态；当物体受到外,力作用时，惯性表现为物体对迫使它改变运动状态具有反抗作用。,虽然任何物体都惯性，但不同的物体，其惯性大小不同。在相等的,外力作用下，运动状态容易发生改变的物体惯性小，反之则惯性大。,这个定律还说明力是改变物体运动状态的原因，如果要使物体改变,其原有的运动状态，就必须对其施加外力。所以，第一定律定性地说明了,力和物体运动状态改变的关系。,第二定律（动力定律）,质点受力作用时所产生的加速度，其方向与力相同，其大小与力的大小,成正比，而与质点的质量成反比。上述定律可用矢量关系式表达为,上式是解决动力学问题的基本依据，故称为动力学基本方程。它建立了,质点的质量、力和加速度三者之间的关系。,第二定律同时也定量地表明了力和加速度的关系是瞬时关系。力和加速,度是同瞬时产生，同瞬时变化，同瞬时消失。,由第二定律还可以看出，在相同的外力作用下，不同质量的物体所产生,的加速度各不相同。质量是质点惯性大小的度量。,由此可见，物体运动状态的改变，不仅取决于作用在物体上的力，还跟,物体的惯性有关。,第三定律（作用与反作用定律）,两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等、方向相反，沿着同一直,线，且同时分别作用在这两个物体上。,11-4,质点运动微分方程,质点运动微分方程的表达形式,1.,质点运动微分方程的直角坐标形式,.,自然坐标形式,，,，,，,质点动力学的两类问题,1.,第一类问题,已知质点的运动，求质点所受的力。,在这类问题中，质点的运动方程或速度函数是已知的，将其对时间求,导后，即得加速度，将加速度代入质点运动微分方程，便可求出未知,的作用力。,2.,第二类问题,已知作用在质点上的力，求质点的运动。,一般地，第二类问题比第一类问题要复杂些。因为作用在质点上,的力是多种多样的，可以是常力，也可以是变力或者是与时间、位置,或速度等因素有关的力。求解这一类问题时，通常将质点运动微分方,程进行积分，而积分常数必须根据运动的初始条件来确定。,11,小 结,1.,求点的速度和加速度的常用方法有自然法和直角坐标法。,2.,点的运动方程为动点在空间的位置随时间的变化规律。点的运动轨迹为动点运动时在空间所描画出的连续曲线，可由运动方程消去得到。,3.,自然法,运动方程,点的速度,点的加速度,4.,直角坐标法,运动方程,点的速度,点的加速度,5.,动力学基本定律，即牛顿运动三定律，是动力学的理论基础。,第一定律（惯性定律）：不受力作用的质点，将永远保持静止或作匀速直线运动。,第二定律（动力定律）：质点受力作用时所产生的加速度，其方向与力相同，其大小与力的大小成正比，而与质点的质量成反比。,第三定律（作用与反作用定律）：两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等、方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。,6.,动力学的基本方程式是，它是力、质量与加速度之间的关系的基本定律。,7.,质点运动微分方程有两种不同形式：直角坐标形式和自然坐标形式,9.,质点运动微分方程的自然坐标形式,8.,质点运动微分方程的直角坐标形式,一、刚体的平动,二、刚体绕定轴的转动,三、刚体绕定轴转动的动力分析基本方程,四、转动惯量,五、刚体绕定轴转动的动力分析方程的应用,第十二章刚体基本运动时的运动与动力分析,12-1,刚体的平动,如果在物体内任取一直线段，在运动过程中这条直线段始终与它的最初位置平行，这种运动称为,平行移动,，简称,平移,。,摆式输送机的料槽,夹板锤的锤头,直线行驶的列车车厢,结论：,当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同；在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。,因此，研究刚体的平移，可以归结为研究刚体内任一点的运动。,y,x,z,a,B,v,B,v,A,a,A,r,A,r,B,A,B,B,1,B,2,A,2,A,1,O,12-2,刚体绕定轴的转动,在刚体运动的过程中，若,刚体上,或,其延伸部分上,有一条直线始终不动，具有这样一种特征的刚体的运动称为,刚体的定轴转动,，简称,转动,。该固定不动的直线称为,转轴,。,如图，两平面间的夹角用,j,表示，称为刚体的,转角,。转角,j,是一个代数量，它确定了刚体的位置，它的符号规定如下：自,z,轴的正端往负端看，从固定面起按逆时针转向计算取正值；按顺时针转向计算取负值。并用弧度,(rad),表示。,当刚体转动时，；转角 是时间,t,的单值连续函数，即,这就是刚体绕定轴转动的,运动方程,。,转角 对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角速度，,用,w,表示,:,角速度表征刚体转动的快慢和方向，其单位用,rad/s,(,弧度,/,秒,),表示。,角速度是代数量，从轴的正端向负端看，,刚体逆时针转动时角速度取正值，反之取负值,。,角速度对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角加速度,，用字母,表示，即,角加速度表征角速度变化的快慢，其单位用,rad/s,2,(,弧度,/,秒,2,),表示。角加速度也是代数量。,如果,w,与,同号，则转动是,加速,的；如果,w,与,异号，则转动是,减速,的。,工程上常用转速,n,来表示刚体转动的快慢。,n,的单位是转/分,(r/min),，,w,与,n,的转换关系为,匀速转动,匀变速转动,转动刚体内各点的速度和加速度,当刚体绕定轴转动时，刚体内任意一点都作圆周运动，圆心在轴线上，圆周所在的平面与轴线垂直，圆周的半径,R,等于该点到轴线的垂直距离。,动点速度的大小为,设刚体由定平面,A,绕定轴,O,转动任一角度,j,，到达,B,位置，其上任一点由,O,运动到,M,。以固定点,O,为弧坐标,s,的原点，按,j,角的正向规定弧坐标,s,的正向，于是,转动刚体内各点的速度和加速度,即：,转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方。,点,M,的加速度有切向加速度和法向加速度，切向加速度为：,即：,转动刚体内任一点的切向加速度,(,又称转动加速度,),的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线垂直距离的乘积,，,它的方向由角加速度的符号决定，当,a,是正值时，它沿圆周的切线，指向角,j,的正向；否则相反。,绕定轴转动刚体内点的加速度 绕定轴转动刚体内点的加速度分布,法向加速度为,点的全加速度的大小和方向为,例,12-1,齿轮传动是工程上常见的一种传动方式，可用来改变转速和转向。如图，已知,r,1,、,r,2,、,w,1,、,1,，求,w,2,、,2,。,解：因啮合点无相对滑动，所以,由于,于是可得,即,w,1,1,r,1,O,1,O,2,r,2,w,2,2,v,1,v,2,a,t,1,a,t,2,例,12-2,一半径为,R=0.2m,的圆轮绕定轴,O,的转动方,程,为,，单位为弧度。求,t=1s,时，轮缘上任一点,M,的速度和加速度（如图）。如在此轮缘上绕一柔软而不可伸长的绳子并在绳端悬一物体,A,，,求当,t=1s,时，物体,A,的速度和加速度。,解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为,求当,t=1s,时，则为,因此轮缘上任一点,M,的速度和加速度为,方向如图所示。,M,点的全加速度及其偏角为,如图。,现在求物体,A,的速度和加速度。因为,上式两边求一阶及二阶导数，则得,因此,12-3,刚体绕定轴转动的动力分析基本方程,若以表示所有外力对轴的力矩的代数和，以表示所有切向惯性力对轴的力矩的代数和，则有,上式称为刚体绕定轴转动的微分方程,刚体对转动轴的转动惯量定义为,刚体的转动惯量是刚体转动时惯性的度量。质量分布越靠近转动轴，刚体的转动惯量越小，反之越大。例如，机器中的飞轮，为了获得较大的转动惯量而使机器运转平稳，通常将其边缘制成较厚而中间较薄，有些甚至将中间挖一些空洞，使质量尽可能多地分布在飞轮的边缘上，如图所示。而仪表中的指针一般尽可能地做得小，以保证其转动惯量小，从而提高测量的灵敏度,。,12-4,转动惯量,12-5,刚体绕定轴转动的动力分析方程的应用,已知转动情况求转矩,已知转矩求转动情况,12,小 结,(,第十三章 点和刚体的复合运动分析,一、点的合成运动,二、刚体的平面运动,三、平面图形上各点的运动分析,13-1,点的合成运动,前面讨论的点或刚体的运动都是相对于固连在地球上,的静参考系而言的。但在实际工程中，经常会遇到一些问,题，需要在运动着的参考系上来进行观察和研究。很显,然，对于同一物体的运动，在不同的参考系上观察，其结,论是不一样的。比如，下雨时，静立于地面上的人看到雨,滴是铅垂向下的，而坐在高速行驶着的汽车上的人看到雨,滴是倾斜向后的，并且，车开得越快，所看到的雨滴倾斜,得越厉害。这两种结论都是正确的，但却不相同。这是因,为前者是以静止的地面为参考系，而后者是以运动着的汽,车为参考系。本章将建立同一物体相对于不同参考系的运,动之间的关系，并利用这些关系研究点和刚体的复杂运,动。,点的合成运动的概念,如图所示，桥式起重机在吊起重物时，假设横梁不动，小车沿横梁作水平运动，同时，小车上悬挂的重物向上运动。站在地面上观察重物时，其运动轨迹为曲线；而站在小车上观察重物时，其运动则是垂直向上的。,在上述例子中，重物在空中是作曲线运动，但如果以小车为参考体，则重物相对于小车的运动是简单的直线运动，而小车相对于地面的运动也是简单的直线运动。这样，重物的复杂运动可以看成为两个简单运动的合成，即重物相对于小车作平动，小车相对于地面作平动。,由此可以得出结论：相对于某一参考系的复杂运动可看成相对于其他参考系的几个简单运动组合而成，这种运动称为,合成运动,。点的运动可以合成，自然也可以分解。在求解点的复杂运动时，可以将其分解为几个简单的运动，先研究这些简单的运动，然后再把它们合成，从而解决复杂的运动问题。,绝对运动、相对运动及牵连运动,习惯上把固定在地球上的坐标系称为,定参考系,，以,oxy,坐标系表示；固定在其它相对于地球运动的参考体上的坐标系称为,动参考系,，以,o,xy,坐标系表示。,用点的合成运动理论分析点的运动时，必须选定两个参考系，区分三种运动：,(1),动点相对于定参考系的运动，称为,绝对运动,；,(2),动点相对于动参考系的运动，称为,相对运动,；,(3),动参考系相对于定参考系的运动，称为,牵连运动,。,定参考系,动参考系,动点,牵连运动,绝对运动,相对运动,一点、二系、三运动,(1),动点相对于定参考系的速度、加速度和轨迹，称为,动点的绝对速度,v,a,、绝对加速度,a,a,和绝对轨迹,。,(2),动点相对于动参考系的速度、加速度和轨迹，称为,动点的相对速度,v,r,、相对加速度,a,r,和相对轨迹,。,由于动参考系的运动是刚体的运动而不是一个点的运动，所以除非动参考系作平动，否则其上各点的运动都不完全相同。因为动参考系与动点直接相关的是动参考系上与动点相重合的那一点,(,牵连点,),，因此定义：,在动参考系上与动点相重合的那一点,(,牵连点,),的速度和加速度称为动点的牵连速度,(,用,v,e,表示,),和牵连加速度,(,用,a,e,表示,),。,如果没有牵连运动，则动点的相对运动就是它的绝对运动；,如果没有相对运动，则动点随同动参考系所作的运动就是它的绝对运动；,动点的绝对运动既取决于动点的相对运动，也决定于动参考系的运动即牵连运动，它是两种运动的合成。,解：静系取在地面上，动系取在杆上，则,重点要弄清楚牵连点的概念,例,1,如图杆长,l,，,绕,O,轴以角速度 转动，圆盘半径为,r,，绕,轴以角速度 转动。求圆盘边缘 和 点的牵连速度和加速度。,点的速度合成定理,即：,动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和,。,这就是点的速度合成定理。,处理具体问题时应注意：,(1),选取动点、动参考系和定参考系。,(2),应用速度合成定理时,可利用速度平行四边形中的几何关系解出未知数。也可以采用,投影法,：即等式左右两边同时对某一轴进行投影，投影的结果相等。,动点和动系应分别选择在两个不同的刚体上。,动点和动系的选择应使相对运动的轨迹简单直观。,在有的机构中，一个构件上总有一个点被另一个构件所约束。这时，以被约束的点作为动点，在约束动点的构件上建立动系，相对运动轨迹便是约束构件的轮廓线或者约束动点的轨道。,通常选动点和动系主要有以下几种情况：,1.,有一个很明显的动点，在题中很容易发现；,2.,有一个不变的接触点，可选该点为动点；,3.,没有不变的接触点，此时应选相对轨迹容易确定的点为动点；,4.,必须选某点为动点，而动系要取两次；,5.,根据题意，必须取两次动点和动系；,6.,两个不相关的动点，可根据题意来确定；,例,2,如图所示，偏心距为,e,、,半径为,R,的凸轮，以匀角速度,w,绕,O,轴转动，杆,AB,能在滑槽中上下平动，杆的端点,A,始终与凸轮接触，且,OAB,成一直线。求在图示位置时，杆,AB,的速度。,A,B,e,C,O,q,w,v,e,v,a,v,r,q,解：因为杆,AB,作平动。选取杆,AB,的端点,A,作为研究的动点，动参考系随凸轮一起绕,O,轴转动。,点,A,的绝对运动是直线运动，相对运动是以凸轮中心,C,为圆心的圆周运动，牵连运动则是凸轮绕,O,轴的转动。,例,3,刨床的急回机构,如图所示。曲柄,OA,的角速度为,w,，通过滑块,A,带动摇杆,O,1,B,摆动。已知,OA,=,r,，,OO,1,=,l,，,求当,OA,水平时,O,1,B,的角速度,w,1,。,解：在本题中应选取滑块,A,作为研究的动点，把动参考系固定在摇杆,O,1,B,上。,点,A,的绝对运动是以点,O,为圆心的圆周运动，相对运动是沿,O,1,B,方向的直线运动，而牵连运动则是摇杆绕,O,1,轴的摆动。,j,A,O,1,O,w,B,j,v,e,v,a,v,r,例,4,水平直杆,AB,在半径为,r,的固定圆环上以匀速,u,竖直下落，如图。试求套在该直杆和圆环交点处的小环,M,的速度。,解：以小环,M,为动点，定系取在地面上，动系取在,AB,杆上，动点的速度合成矢量图如图。,由图可得：,u,A,B,O,M,r,j,v,r,v,a,v,e,例,5,求图示机构中,OC,杆端点,C,的速度。其中,v,与,已知，且设,OA,=,a,AC,b,。,解：取套筒,A,为动点，动系与,OC,固连，分析,A,点速度，有,v,A,q,B,C,O,v,a,v,e,v,r,v,C,w,OC,例,6,图示平底顶杆凸轮机构，顶杆,AB,可沿导轨上下平动，偏心凸轮以等角速度,w,绕,O,轴转动，,O,轴位于顶杆的轴线上，工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面，设凸轮半径为,R,，,偏心距,OC,=,e,，,OC,与水平线的夹角为,a,，试求当,a,=45,时，顶杆,AB,的速度。,解：以凸轮圆心,C,为动点，静系取在地面上，动系取在顶杆上，动点的速度合成矢量图如图。,v,a,v,e,v,r,例,7,AB,杆以速度,v,1,向上作平动，,CD,杆斜向上以速度,v,2,作平动，两条杆的夹角为,a,，求套在两杆上的小环,M,的速度。,M,A,B,C,D,v,2,v,1,v,e1,v,r1,v,r2,v,e2,v,a,解 取,M,为动点，,AB,为动坐标系，相对速度、牵连速度如图。,取,M,为动点，,CD,为动坐标系，相对速度、牵连速度如图。,由上面两式可得：,其中,将等式两边同时向,y,轴投影：,则动点,M,的绝对速度为：,M,A,B,C,D,v,2,v,1,v,e1,v,r1,v,r2,v,e2,v,a,y,例,8,在水面上有两只舰艇,A,和,B,均以匀速度,v=36 km/h,行驶，,A,舰艇向东开，,B,舰艇沿以,O,为圆心、半径,R=100 m,的圆弧行驶。在图示瞬时，两艇的位置,S=50m,=30,，,试求：（,1,）,B,艇相对,A,艇的速度。（,2,）,A,艇相对,B,艇的速度。,东,北,B,A,R,O,S,东,北,=30,B,A,R,O,S,V,e1,V,a1,V,r1,30,30,(1),求,B,艇相对于是,A,艇的速度。以,B,为动点，动系固连于,A,艇。由图（,b,）,的速度矢量,(2),求,A,相对于,B,的速度，以,A,为动点，动系固连于,B,艇。,东,北,=30,B,A,R,O,S,V,a2,V,r2,V,e2,可见，,A,相对,B,的速度并不一定等于,B,相对,A,的速度。,例,9,如图车,A,沿半径为,150m,的圆弧道路以匀速 行驶，车,B,沿直线道路以匀速 行驶，两车相距,30m,，,求：（,1,）,A,车相对,B,车的速度；（,2,）,B,车相对,A,车的速度。,解：（,1,）以车,A,为动点，静系取在地面上，动系取在车,B,上。动点的速度合成矢量图如图。由图可得：,（,2,）,以车,B,为动点，静系取在地面上，动系取在车,A,上。动点的速度合成矢量图如图。,13-2,刚体的平面运动,刚体除了作平动和转动这两种简单的运动外，还可以作一种较为复杂,的运动,平面运动。,在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离，这种运动称为,平面运动。,刚体平面运动概述和运动分解,M,N,S,A,1,A,2,A,刚,体,上,每一点都在与固定平面,M,平行的平面内运动。,若作一平面,N,与平面,M,平行,并以此去截割刚体得一平面图形,S,。,可知该平面图形,S,始终在平面,N,内运动。,因而垂直于图形,S,的任一条直线,A,1,A,2,必然作平动。,A,1,A,2,的运动可用其与图形,S,的交点,A,的运动来替代。,刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身平面,S,内的运动。,这就是平面图形的运动方程。,S,M,O,y,x,O,j,平面图形,S,在其平面上的位置完全可由图形内任意线段,O,M,的位置来确定，而要确定此线段的位置，只需确定线段上任一点,O,的位置和线段,OM,与固定坐标轴,Ox,间的夹角,j,即可。点,O,的坐标和,j,角都是时间的函数，即,平面图形的运动方程可由两部分组成：一部分是平面图形按点,O,的运动方程,x,O,=,f,1,(,t,),y,O,=,f,2,(,t,),的平移，没有转动；另一部分是绕,O,点转角为,j,=,f,3,(,t,),的转动。,平面运动的这种分解也可以按上一章合成运动的观点加以解释。以沿直线轨道滚动的车轮为例，取车厢为动参考体，以轮心点,O,为原点取动参考系,Oxy,，,则车厢的平动是牵连运动，车轮绕平动参考系原点,O,的转动是相对运动，二者的合成就是车轮的平面运动,(,绝对运动,),。单独轮子作平面运动时，可在轮心,O,处固连一个平动参考系,Oxy,，,同样可把轮子这种较为复杂的平面运动分解为平动和转动两种简单的运动。,y,x,O,y,x,O,对于任意的平面运动，可在平面图形上任取一点,O,，,称为,基点,。,在这一点假想地安上一个平移参考系,Oxy,；,平面图形运动时，动坐标轴方向始终保持不变，可令其分别平行于定坐标轴,Ox,和,Oy,。,于是平面图形的平面运动可看成为随同基点的平移和随基点转动这两部分运动的合成。,y,x,O,y,x,O,三、平面图形上各点的运动分析,O,M,平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和,这就是平面运动的速度合成法或称,基点法,。,1.,基点法,已知,O,点的速度及平面图形转动的角速度，求,M,点的速度。,w,v,M,v,O,v,MO,v,O,例,8,椭圆规机构如图。已知连杆,AB,的长度,l,=20 cm,，滑块,A,的速度,v,A,=10 cm/s,，求连杆与水平方向夹角为,30,时，滑块,B,和连杆中点,M,的速度。,解,:,AB,作平面运动，以,A,为基点，分析,B,点的速度。,由图中几何关系得：,方向如图所示。,A,v,A,v,A,v,B,v,BA,B,w,AB,30,M,30,以,A,为基点，则,M,点的速度为,将各矢量投影到坐标轴上得：,解之得,A,v,A,v,A,v,MA,B,w,AB,30,M,v,M,x,y,a,例,9,行星轮系机构如图。大齿轮,I,固定，半径为,r,1,；行星齿轮,II,沿轮,I,只滚而不滑动，半径为,r,2,。系杆,OA,角速度为,w,O,。求轮,II,的角速度,w,II,及其上,B,，,C,两点的速度。,解,:,行星齿轮,II,作平面运动，求得,A,点的速度为,v,A,w,O,O,D,A,C,B,v,A,v,DA,w,II,I,II,以,A,为基点，分析两轮接触点,D,的速度。,由于齿轮,I,固定不动，接触点,D,不滑动，显然,v,D,0,，因而有,v,DA,v,A,w,O,(,r,1,+,r,2,),，方向与,v,A,相反，,v,DA,为点,D,相对基点,A,的速度，应有,v,DA,w,II,DA,。所以,v,A,w,O,O,D,A,C,B,v,A,v,CA,v,C,v,B,v,BA,v,A,w,II,I,II,以,A,为基点，分析点,B,的速度。,v,BA,与,v,A,垂直且相等，点,B,的速度,以,A,为基点，分析点,C,的速度。,v,CA,与,v,A,方向一致且相等，点,C,的速度,同一平面图形上任意两点的速度在其连线上的投影相等。这就是,速度投影定理。,2.,速度投影定理,由于,v,BA,垂直于,AB,，,因此,v,BA,AB,=0,。,于是,将等式两边同时向,AB,方向投影,:,A,B,w,v,B,v,A,v,BA,v,A,例,10,用速度投影定理解例,1,。,解：由速度投影定理得,解得,A,v,A,v,B,B,30,w,设有一个平面图形,S,角速度为,w,，,图形上点,A,的速度为,v,A,，,如图。在,v,A,的垂线上取一点,C,(,由,v,A,到,AC,的转向与图形的转向一致,),，有,如果取,AC,v,A,/,w,，,则,N,C,v,A,v,CA,v,A,A,定理：,一般情况，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点。,该点称为,瞬时速度中心，,或简称为,速度瞬心。,图形内各点速度的大小与该点到速度瞬心的距离成正比。速度的方向垂直于该点到速度瞬心的连线，指向图形转动的一方。,C,A,w,v,A,v,B,B,D,v,D,w,C,确定速度瞬心位置的方法有下列几种：,(1),平面图形沿一固定表面作无滑动的滚动，图形与固定面的接触点,C,就是图形的速度瞬心。,如车轮在地面上作无滑动的滚动时。,v,C,(2),已知图形内任意两点,A,和,B,的速度的方向，速度瞬心,C,的位置必在每点速度的垂线的交线上。,w,AB,w,O,C,v,A,A,B,v,B,(3),已知图形上两点,A,和,B,的速度相互平行，并且速度的方向垂直于两点的连线,AB,，,则速度瞬心必定在连线,AB,与速度矢,v,A,和,v,B,端点连线的交点,C,上。,A,B,v,B,v,A,C,A,B,v,B,v,A,C,(4),某瞬时，图形上,A,、,B,两点的速度相等,如图所示，图形的速度瞬心在无限远处。,(,瞬时平动：此时物体上各点速度相同，但加速度不一定相等,),w,O,v,A,A,B,v,B,另外注意：,瞬心的位置是随时间在不断改变的，它只是在某瞬时的速度为零，加速度并不为零。,确定瞬心的一般方法：,例,11,用速度瞬心法解例,8,。,解：,AB,作平面运动,A,v,A,v,B,B,30,C,v,M,w,M,瞬心在,C,点,例,12,已,知轮子在地面上作纯滚动，轮心的速度为,v,，半径为,r,。求轮子上,A,1,、,A,2,、,A,3,和,A,4,点的速度。,A,3,w,A,2,A,4,A,1,v,A,2,v,A,3,v,A,4,v,O,解：很显然速度瞬心在轮子与地面的接触点即,A,1,各点的速度方向分别为各点与,A,点连线的垂线方向，转向与,w,相同，由此可见车轮顶点的速度最快，最下面点的速度为零。,O,45,90,90,O,1,O,B,A,D,例,13,已知四连杆机构中,O,1,B,l,，,AB,3,l,/2,，,AD,DB,，,OA,以,w,绕,O,轴转动。,求：,(1),AB,杆的角速度；,(,2,),B,和,D,点的速度。,w,解：,AB,作平面运动，,OA,和,O,1,B,都作定轴转动，,C,点是,AB,杆作平面运动的,速度瞬心。,v,A,v,B,v,D,C,w,AB,13,小 结,再 见,化 学 工 业 出 版 社,