第三章：直线与方程的知识点.doc

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第三章：直线与方程的知识点
高考要点分析 ：
选择填空题为主，至多占5分，但往往在解答题中与圆锥曲线综合在一起出现。
一、基础知识

倾斜角与斜率
1. 当直线l与x轴相交时，我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l的倾斜角的范围是或
2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即. 如果知道直线上两点，则有斜率公式. 特别地是，当，时，直线与x轴垂直，斜率k不存在；当，时，直线与y轴垂直，斜率k=0.
注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k=0；当时，斜率，随着α的增大，斜率k也增大；当时，斜率，随着α的增大，斜率k也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k取值范围的一些对应问题.
两条直线平行与垂直的判定
1. 对于两条不重合的直线 、，其斜率分别为、，有：
（1）Û；（2）Û.
2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x轴；….
直线的方程
1. 点斜式：直线过点,且斜率为k，其方程为.
2. 斜截式：直线的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为.
注. 点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线. 若直线过点且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为，或.
注意：与是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点，后者才是整条直线.
3 两点式：直线经过两点，其方程为，
4. 截距式：直线在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为.
注.①两点式不能表示垂直x、y轴直线；截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线.
②线段中点坐标公式.
5. 一般式：，注意A、B不同时为0. 直线一般式方程化为斜截式方程，表示斜率为，y轴上截距为的直线.
注. 与直线平行的直线，可设所求方程为；与直线垂直的直线，可设所求方程为.
6.点法式方程（附加）： 若直线的法向量,且过点（，则直线的方程为.显然一般式方程中的系数构成的向量即为直线的法向量.
注. 两条直线平行与垂直的判定在一般直线方程中的判定
已知直线的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
（1）；
（2）∥；
（3）与重合； （4）与相交.
如果时，则；与重合；与相交.
两条直线的交点坐标
1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.
2. 方程为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是与的交点.

两点间的距离
1. 平面内两点，，则两点间的距离为：.
特别地，当所在直线与x轴平行时，；当所在直线与y轴平行时，；
点到直线的距离及两平行线距离
1. 点到直线的距离公式为.
2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线，之间的距离公式，推导过程为：在直线上任取一点，则，即. 这时点到直线的距离为

二、典型例题分析

例1.（2005，山东）设直线关于原点对称的直线为若与椭圆的交点为
A、B,点P为椭圆上的动点,则使的面积为的点P的个数为
（A）1　　　　（B）2　　　　（C）3　　　　（D）4

例2.（上海文，15）已知直线平行，则k得值是（ ）
A. 1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2

例 3.直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是
A（-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）

例4 （05北京卷）“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的( )
（A）充分必要条件 （B）充分而不必要条件
（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

例5 与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ）
A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0
C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0

例6.已知圆C过点（1，0），且圆心在轴的正半轴上，直线被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为 。

例7直线的倾斜角的范围是（ ）
A. B. C. D.

例8.已知三直线，直线 和，且的
距离是，
（1） 求的值
（2） 能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P到距离是到P到的距离的③P到距离与到P到的距离的之比是。若能，求P点的坐标，若不能，说明理由。

例9.设直线系,对于下列四个命题：
．中所有直线均经过一个定点
．存在定点不在中的任一条直线上
．对于任意整数，存在正边形,其所有边均在中的直线上
．中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
解： 因为所以点到中每条直线的距离
即为圆:的全体切线组成的集合,从而中存在两条平行直线,所以A错误
又因为点不存在任何直线上,所以B正确
对任意,存在正边形使其内切圆为圆,故正确
中边能组成两个大小不同的正三角形和,故D错误,
故命题中正确的序号是 B,C

问题：点到中每条直线的距离，说明为圆:的
切线，但却没有说明到的距离为1的直线都在中，因此并没有说明为圆:
的全体切线组成的集合，怎样能说明这个问题？

[课后练习]

一.选择题
1.(安徽高考) 过点(1,0)且与直线x-2y=0平行的直线方程是（ ）
A.x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=0
2. 过点且垂直于直线 的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知过点和的直线与直线平行，则的值为（　　）
A. B. C. D.
4.(安徽高考)直线过点（-1，2），且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线的方程是（ ）
A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=0
5.设直线ax+by+c=0的倾斜角为，切则a,b满足 （ ）
A. a+b=1 B. a-b=1 C. a+b=0 D. a-b=0
6. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a=
A、 -3 B、-6 C、 D、
7.点P（-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ）
A 2 B C 1 D
8. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是
A（-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）
9. （上海文，15）已知直线平行，则k得值是（ ）
A. 1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2
L3
10、若图中的直线L1、L2、L3的斜率分别为K1、K2、K3则（ ）
L2
A、K1﹤K2﹤K3
B、K2﹤K1﹤K3
o
x
C、K3﹤K2﹤K1
L1
D、K1﹤K3﹤K2
11. 直线与圆相交于M，N两点，若，则的取值范围是
A． B．
C． D．

12、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ）
A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0
C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0
13. 若直线ax + by + c = 0在第一、二、三象限，则( )
A. ab＞0，bc＞0 B. ab＞0，bc＜0
C. ab＜0，bc＞0　　　　 　 　D. ab＜0，bc＜0
14.（2005北京文）“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的 ( )
A.充分必要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
15. 如果直线 l 经过两直线2x - 3y + 1 = 0和3x - y - 2 = 0的交点，且与直线y = x垂直，则原点到直线 l 的距离是( )
A. 2 B. 1 C. 2
16. 原点关于x - 2y + 1 = 0的对称点的坐标为( )
A. B.
C. D.
二、填空题
1. 点到直线的距离是________________.
2.已知A(-4,-6),B(-3,-1),C(5,a)三点共线，则a的值为（ ）
3.经过两直线11x+3y－7=0和12x+y－19=0的交点，且与A（3，－2），
B（－1，6）等距离的直线的方程是 。
4.（全国Ⅰ文16）若直线被两平行线所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是 ① ② ③ ④ ⑤
其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）
三.解答题
1.已知两条直线. 为何值时,
（1）相交 （2）平行 （3）垂直
2. 求经过直线的交点且平行于直线的直线方程.
3.求平行于直线且与它的距离为的直线方程。
4.已知直线 l1 : mx + 8y + n = 0与l2 : 2x + my - 1 = 0互相平行，求l1，l2之间的距离为时的直线l1的方程.
5.已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点。（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长（3）求AB边的高所在直线方程。

6.求与两坐标轴正向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线的方程。

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