第十四章稳恒电流的磁场习题解答.doc

第十四章 稳恒电流的磁场习题解答（仅作参考）
14．1 通有电流I的导线形状如图所示，图中ACDO是边长为b的正方形．求圆心O处的磁感应强度B 。
I
C
O
b
a
D
A
图14.1
[解答] 电流在O点的产生的磁场的方向都是垂直纸面向里的．根据毕-萨定律：
，
圆弧上的电流元与到O点的矢径垂直，在O点产生的磁场大小为
，
由于 dl = adφ，
积分得
l
r
θ
Idl
Idl
C
O
b
a
D
A
．
OA和OD方向的直线在O点产生的磁场为零．在AC段，电流元在O点产生的磁场为
，
由于 l = bcot(π - θ) = -bcotθ，
所以 dl = bdθ/sin2θ；
又由于 r = b/sin(π - θ) = b/sinθ，
可得 ，
积分得

同理可得CD段在O点产生的磁场B3 = B2．
O点总磁感应强度为
．
14．6 在半径为R = 1.0cm的无限长半圆柱形导体面中均匀地通有电流I=5.0A，如图所示．求圆柱轴线上任一点的磁感应强度B = ？
[解答] 取导体面的横截面，电流方向垂直纸面向外．
半圆的周长为 C = πR，
电流线密度为 i = I/C = IπR．
在半圆上取一线元dl = Rdφ代表无限长直导线的截面，电流元为
I
R
图14.6
dI = idl = Idφ/π，
在轴线上产生的磁感应强度为
，
方向与径向垂直．dB的两个分量为
dBx = dBcosφ，dBy = dBsinφ．
积分得
x
dBy
dBx
dB
y
R
o1
φ
，

．
由对称性也可知Bx = 0，所以磁感应强度
B = By = 6.4×10-5(T)，
方向沿着y正向．

14．8 在半径为R的木球上紧密地绕有细导线，相邻线圈可视为相互平行，盖住半个球面，如图所示．设导线中电流为I，总匝数为N，求球心O处的磁感应强度B = ？
I
R
O
图14.8
[解答]四分之一圆的弧长为 C = πR/2，
单位弧长上线圈匝数为
n = N/C = 2N/πR．
在四分之一圆上取一弧元
dl = Rdθ，
线圈匝数为 dN = ndl = nRdθ，
环电流大小为 dI = IdN = nIRdθ．
dB
y
x
R
o1
θ
环电流的半径为 y = Rsinθ，
离O点的距离为 x = Rcosθ，
在O点产生的磁感应强度为

，
方向沿着x的反方向，积分得O点的磁感应强度为

．

14．11 有一电介质圆盘，其表面均匀带有电量Q，半径为a，可绕盘心且与盘面垂直的轴转动，设角速度为ω．求圆盘中心o的磁感应强度B。
[解答] 圆盘面积为 S = πa2，
面电荷密度为 σ = Q/S = Q/πa2．
a
ω
o
图14.11
在圆盘上取一半径为r、宽度为dr的薄环，其面积为 dS = 2πrdr，
所带的电量为 dq = σdS = 2πσrdr．
薄圆环转动的周期为 T = 2π/ω，
形成的电流元为 dI = dq/T = ωσrdr．
薄环电流可以当作圆电流，在圆心产生的磁感应强度为
dB = μ0dI/2r = μ0ωσdr/2，
从o到a积分得圆盘在圆心产生磁感应强度为
B = μ0ωσa/2 = μ0ωQ/2πa．
如果圆盘带正电，则磁场方向向上．

14．1 3 一电子在垂直于均匀磁场的方向做半径为R = 1.2cm的圆周运动，电子速度v = 104m·s-1．求圆轨道内所包围的磁通量是多少？
B
o
R
v
图14.13
[解答] 电子所带的电量为e = 1.6×10-19库仑，质量为m = 9.1×10-31千克．
电子在磁场所受的洛伦兹力成为电子做圆周运动的向心力，即：
f = evB = mv2/R，
所以 B = mv/eR．
电子轨道所包围的面积为 S = πR2，
磁通量为
Φ = BS = πmvR/e =2.14×10-9(Wb)．

14．17 载有电流I1的无限长直导线，在它上面放置一个半径为R电流为I2的圆形电流线圈，长直导线沿其直径方向，且相互绝缘，如图所示．求I2在电流I1的磁场中所受到的力．
θ
r
I1
o
R
I2
图14.17
[解答] 电流I1在右边产生磁场方向垂直纸面向里，右上1/4弧受力向右上方，右下1/4弧受力向右下方；电流I1在左边产生磁场方向垂直纸面向外，左上1/4弧受力向右下方，左下1/4弧受力向右上方．因此，合力方向向右，大小是右上1/4弧所受的向右的力的四倍．
电流元所受的力的大小为dF = I2dlB，
其中 dl = Rdθ，B = μ0I1/2πr，
而 r = Rcosθ，
所以向右的分别为
dFx = dFcosθ = μ0I1I2dθ/2π，
积分得
，
电流I2所受的合力大小为
F = 4Fx = μ0I1I2，
方向向右．

14．19 均匀带电细直线AB，电荷线密度为λ，可绕垂直于直线的轴O以ω角速度均速转动，设直线长为b，其A端距转轴O距离为a，求：
（1）O点的磁感应强度B；
（2）磁矩pm；
（3）若a>>b，求B0与pm．
[解答]（1）直线转动的周期为T = 2π/ω，
在直线上距O为r处取一径向线元dr，所带的电量为 dq = λdr，
B
A
b
ω
o
a
图14.19
形成的圆电流元为 dI = dq/T = ωλdr/2π，
在圆心O点产生的磁感应强度为
dB = μ0dI/2r = μ0ωλdr/4πr，
整个直线在O点产生磁感应强度为
，
如果λ > 0，B的方向垂直纸面向外．
（2）圆电流元包含的面积为S = πr2，
形成的磁矩为 dpm = SdI = ωλr2dr/2，
积分得
．
如果λ > 0，pm的方向垂直纸面向外．
（3）当a>>b时，因为
，
所以 ．