改：锐角三角函数导学案.doc

锐角三角函数
课前小测试
1.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则的值是（ ）
2.（2008·威海中考）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinB＝（ ）
3.（2009·齐齐哈尔中考）如图，是的外接圆，是的直径，若的半径为，，则的值是（ ）
A
O
B

E
C
D

４.(2009·河北中考) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD = 24 m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE = ．
（1）求半径OD；
（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，
则经过多长时间才能将水排干？
D
A
B
C
E
F
５.（2009·綦江中考）如图，在矩形中，是边上的点，，，垂足为，连接．
（1）求证：；
（2）如果，求的值．

解直角三角形
一. 直角三角形的性质：直角三角形两锐角互余．
即：．
2、直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
即：．
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
即：．
4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和，等于斜边的平方．
即：．
注意：此定理揭示了直角三角形三边关系，蕴含了数形结合思想，是从图形到数量的关系，常用来求线段的长．
5、 射影定理：直角三角形斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项
　　　　　　　　　　　 即：
注意：
1、它是线段计算、比例求等积式或证明中的常用定理；
2、这个双垂直图形中还有：
①两对等角(除直角)；
②三个相似三角形即∽∽；
③由面积公式推导出来另一等积式：．
二. 直角三角形的判定
①、有一个角是直角的三角形是直角三角形．
②、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
注意：它是“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”的逆定理．
③、勾股定理逆定理：
如果三角形三边长有下面关系：，那么这个三角形是直角三角形．
注意：它是利用三角形边长的数量关系判断三角形形状，体现了数形结合思想．
　　三. 锐角三角函数的概念
如图，在中，，我们把锐角A的
①对边与斜边的比叫做的正弦，记作，
即：；
②邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，
即：；
③锐角A的对边与邻边的比叫做的正切，记作，
即：；
④锐角A的邻边与对边之比叫做的余切，记作，
即：．
说明：当固定时，的正弦值，余弦值，正切值，余切值都是固定的，这与的两边长短无关．
锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做的锐角三角函数．
说明：由于锐角三角函数都是线段的比值，因而都是正数，而且没有单位．
四. 特殊角度的三角函数值
三角函数

0

1

1

0

0

1

－
五. 各锐角三角函数之间的关系式
(1)互余关系：，，
(2)平方关系：．
(3)相除关系：．
六. 锐角三角函数的增减性
当角度在之间变化时，
(1)正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；
(2)余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)；
(3)正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；
七. 解直角三角形
　　（一）、解直角三角形的概念：
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．
　　（二）、解直角三角形的方法：
在RtABC中，，，，所对边分别为．
1、三边之间的关系：(勾股定理)．
2、锐角之间的关系：+=．
3、边角之间的关系：，，，，，，，．
说明：
①利用这些关系，知道其中的2个元素(至少有一个边)，就可以求出其余的3个未知元素．
②已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，不一定全等．因此其边的大小不确定．
　　（三）、直角三角形解法：
直角三角形解法按除直角外已知2个元素的不同情况可大致分为四种类型：
1、已知一条直角边和一个锐角(如，)其解法为：
；
2、已知斜边和一个锐角(如，)其解法为：
；
3、已知两直角边(如，)，其解法为：
；
4、已知斜边和一直角边(如，)，其解法为：
．
　　8. 解直角三角形的应用
　　仰角、俯角：
如图1，在我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．

坡度、坡角：
如图2，我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，用字母表示，即．
坡面与水平面的夹角叫坡角．
坡度与坡角(若用表示)的关系：．坡角越大，坡度也越大，坡面越陡．
如图3，平面上，过观测点作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．
例如，图中“北偏东”是一个方向角，又如“西北”即指正西方向与正北方向所夹直角的平分线，此时的方向角为“北偏西”(或“西偏北” )．
　　例题１：如图,AD是直角△ABC斜边上的高,DE⊥DF,且DE和DF分别交AB、AC于E、F.
　　　　　　求证:。
A
D
C
B
E
F
图8
例2．如图8，某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且CB＝5米．
(1)求钢缆CD的长度 (精确到0.1米) ；
(2)若AD＝2米，灯的顶端E距离A处1.6米，且∠EAB＝120°，则灯的顶端E距离地面多少米？ (参考数据：tan40°＝0.84， sin40°＝0.64， cos40°＝)
例３.某商场门前的台阶截面积如图所示．已知每级台阶的宽度（如CD）均为0.3m，高度（如BE）均为0.2m．现将此台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角∠A为9°，计算从斜坡的起点A到台阶前点B的距离．（精确到0.1m）．（参考数据：）

作业：
1．如图，在某建筑物AC上，宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测的仰角为，再往条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测的仰角为，求BC的长？（小明的身高不计，结果保留根号）

２．如图，某船由西向东航行，在点A测得小岛O在北偏东60°，船行了10海里后到达点B，这时测得小岛O在北偏东45°．由于以小岛O为圆心16海里为半径的范围内有暗礁，如果该船不改变航向继续航行，有没有触礁的危险？通过计算说明．
A
B
O
东
北
60°
45°

3.（2009·郴州中考）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB的高度为1.5米，测得仰角为，点B到电灯杆底端N的距离BN为10米，求路灯的高度MN是多少米？（取=1.414，=1.732，结果保留两位小数）

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