专升本第三讲 中值定理及导数的应用.doc

第三讲 中值定理及导数的应用
1、 罗尔定理
如果函数满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间（a,b）内可导；（3），则在(a,b)内至少存在一点，使得
b

记忆方法：脑海里记着一幅图：

2、 拉格朗日定理
如果满足（1）在闭区间上连续
（2）在开区间（a,b）内可导；
则在(a,b)内至少存在一点，使得
脑海里记着一幅图：

（*）推论1 ：如果函数在闭区间上连续，在开区间（a,b）内可导，且，那么在内=C恒为常数。
记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜率都为0。
（*）推论2：如果在上连续，在开区间内可导，且，那么

记忆方法：两条曲线在每一点切线斜率都相等
3、 驻点
满足的点，称为函数的驻点。
几何意义：切线斜率为0的点，过此点切线为水平线
4、极值的概念
设在点的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点x,有，则称为函数的极大值，称为极大值点。
设在点的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点x,有，则称为函数的极小值，称为极小值点。
记忆方法：在图像上，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。
5、 拐点的概念
连续曲线上，凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点，称为曲线的拐点。
注在原点即
是拐点

6、 单调性的判定定理
设在内可导，如果，则在内单调增加；
如果，则在内单调减少。
记忆方法：在图像上凡是和右手向上趋势吻合的，是单调增加，；
在图像上凡是和左手向上趋势吻合的，是单调减少，；
7、 取得极值的必要条件
可导函数在点处取得极值的必要条件是
8、 取得极值的充分条件
第一充分条件：
设在点的某空心邻域内可导，且在处连续，则
（1） 如果时，; ,那么在处取得极大值；
（2） 如果时，；，那么在处取得极小值；
（3） 如果在点的两侧，同号，那么在处没有取得极值；

记忆方法：在脑海里只需记三副图，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。
第二充分条件：
设函数在点的某邻域内具有一阶、二阶导数，且，
则 （1）如果，那么在处取得极大值；
（2）如果，那么在处取得极小值
9、 凹凸性的判定
设函数在内具有二阶导数，（1）如果，那么曲线在内凹的；（2）如果，那么在内凸的。
图像表现：

凹的表现 凸的表现
10、 渐近线的概念
曲线在伸向无穷远处时，能够逐步逼近的直线，称为曲线的渐近线。
（1） 水平渐近线：若,则有水平渐近线

(2) 垂直渐近线：若存在点，，则有垂直渐近线

（2） 求斜渐近线：若，则为其斜渐近线。

11、 罗比达法则
遇到“” 、“”，就分子分母分别求导，直至求出极限。
如果遇到幂指函数，需用把函数变成“” 、“”。