一些高维逆Bonnesen型不等式.pdf

Mathemitica数学物理学报2023,43A(4):985-993Cientiahttp:/一些高维逆 Bonnesen 型不等式王贺军（山东师范大学数学与统计学院济南2 50 358)摘要：该文研究n维欧氏空间Rn中逆Bonnesen型不等式，主要利用Urysohn不等式，对偶等周不等式，平均宽度与平均截面面积，得到了一些高维逆Bonnesen型不等式.关键词：逆Bonnesen型不等式；等周亏格；平均宽度；平均截面面积.MR(2010）主题分类：52 A40中图分类号：O186.5文章编号：10 0 3-3998(2 0 2 3)0 4-98 5-0 91引言等周问题是数学中一个古老而又经典的问题，该问题的发展极大地促进了几何与分析的发展在欧氏空间 Rn中经典的等周问题描述为：在所有固定表面积的域中，球的体积最大；或在所有固定体积的域中，球的表面积最小其数学表述是：设K为欧氏空间Rn中表面积为S,体积为V的域，则Rn中的经典等周不等式（参见文献 1，10 )为(1.1)华号成立当具仅当K为球，其中一表示n维单位球的体积，T()表示Gamma函数由（1.1)式，定义Rn中凸体K的等周亏格为An(K)=Sn-nwnVn-1.对于 R中任意的凸体K,n(K)刻画了表面积为 S,体积为V的凸体K与半径为（）的n维球的差别程度.在二十世纪二十年代，Bonnesen 发现了平面上一系列形如的不等式，其中B2(K）是一个仅与K有关的非负几何不变量，B2(K）为零当且仅当K为圆盘这类不等式（1.3）是等周不等式的加强，称为Bonnesen型不等式因为对于欧氏收稿日期：2 0 2 2-0 1-14；修订日期：2 0 2 3-0 2-0 6E-mail:基金项目：中国博士后科学基金（2 0 2 0 M682222）和山东省自然科学基金（ZR2020QA003，ZR 2 0 2 0 Q A 0 0 4)Supported by the China Postdoctoral Science Foundation(2020M682222)and the Natural ScienceFoundation of Shandong Province(ZR2020QA003,ZR2020QA004)文献标识码：Asn-nwnVn-1 0,2(K)B2(K)(1.2)m.w(1.3)986平面R2中面积为A，周长为L的域K，它的凸包K*的面积A*增大而周长L*减小，即A*A,L*L,从而L-4元AL*2-4元A*，即2(K)2(K*).因此对于平面的情形，只需对凸域情形证明Bonnesen型不等式即可.对于 R2中可求长的若尔当曲线围成的域K,Bonnesen,Osserman 等人 8 得到一系列平面上的Bonnesen型不等式，其中比较著名的结果等号成立当且仅当K为圆盘.其中r,R分别为域K的最大内切圆半径与最小外接圆半径.对于R2中的域K，周等 15,18 利用积分几何的办法估计随机凸域包含另一域的包含测度，得到了一些新的Bonnesen 型不等式现在 R2中的部分结果已经被推广到了常曲率平面 4,16 .Bonnesen主要得到了平面 R上一些Bonnesen型不等式，随后，数学家们开始寻找高维的 Bonnesen 型不等式，即(1.4)其中Bn(K）是一个仅与K有关的非负几何不变量，Bn(K)为零当且仅当K为球高维的结果很久以后才被数学家发现在高维欧氏空间Rn（n 3）中，域K的凸包并不能同时保证体积增大而表面积减小因此对于证明高维的Bonnesen型不等式，域的凸性要求是基本的对于欧氏空间Rn中域K，周 17 利用其凸包K*的表面积S*与体积V*，得到了一些新的Bonnesen型不等式：如果SS*,则有An(K)(S-S*);n(K)C w n(V*-V)n-1.其中常数C，当K为球时等号成立Hadwiger、D i n g h a s 3、张 12 等在高维的Bonnesen型不等式方面也做出了重要的工作.在努力寻找等周亏格下界Bn(K）的同时，另一个自然的问题是：是否存在几何意义深刻的不变量 Un(K)使得(1.5)同时也期望K为圆盘时等号成立形如（1.5）式的不等式称为逆Bonnesen型不等式.对于R中边界至少C光滑的严格凸域K，即边界K的曲率 0,Bottema9于1933年得到了一个著名的逆Bonnesen型不等式等号成立当且仅当pM=Pm，即K为圆盘.其中pM，Pm 为边界K的曲率半径的最大值与最小值Pleijel9于1955年改进了Bottema 的结果，即等号成立当且仅当pM=Pm，即K为圆盘，对于R2中的凸域K,Bokowski,Heil,周等 17,18 也做了大量的工作，R中的部分结果已经被推广到了常曲率平面 5,11.对于 Rn 中的凸体K，周等 17 得到了一些高维逆Bonnesen 型不等式，部分结果如下(1.6)数学物理学报2(K)?(R-r)2,n(K)Bn(K),n(K)U n(K)?2(K)?(pM-pm)2,2(K)(4-)(pM-pm)2,n(K)WnSn(Rn-rn);VAn(K)nwn sn-1(Rn-1-rn-1)An(K)nwn(Vol.43A(Rn(n-1)-rn(n-1)No.4等号成立当且仅当K为球.关于欧氏平面R上的Bonnesen型不等式（1.3）与逆Bonnesen型不等式（1.5)，已得到比较丰富的结果，而关于高维的Bonnesen型不等式（1.4）与逆Bonnesen型不等式(1.5)，发展比较缓慢，目前已得到部分结果 2,12-14,17 ，但是还有待于进一步研究，最大的困难在于运用哪些仅与K有关的几何量来刻画等周亏格n(K）的下界Bn(K）与上界Un(K)，且使它们拥有相应的性质。基于此，在本文中，我们利用平均宽度与平均截面面积两个几何量，运用Urysohn不等式与对偶等周不等式，建立了凸体的最大内切球半径，平均截面面积，表面积，体积，平均宽度与最小外接球半径之间的大小关系（见引理3.3)，从而得到欧氏空间Rn中几个新的逆Bonnesen型不等式.2预备知识欧氏空间Rn中的点集K称为凸集，如果连接K中任意两点,yEK的线段 c,K,即具有非空内点的紧凸集称为凸体 表示 R中所有凸体构成的集合Sn-1与B分别表示Rn中的单位球面和单位球.设K,LEKn,入E R,Minkowski加法 K+L为数量积入K为设Kn,K的支持函数h:Rn0R为hk(a)=max(-y:y E K),E R 0.凸体KEKn在ERn方向上的支撑超平面为Hk(c)=(y E Rn:ay=hk(a).设入1.入m0,Ki,.,Km EKn,则有mV(iKi+.+入mKm)=V(Ki,.,Kin)入i.Ain.i1,in=1其中系数V(Ki，,K i n）称为Ki，.,Kin的混合体积混合体积具有对称性，单调性，多重线性，平移不变性，仿射不变性等性质 10 .设 K,LE Kn,令一个凸体KEKn的第i阶均质积分定义为王贺军：一些高维逆 Bonnesen 型不等式(1-)+入y E K,0入 1.K+L=(+y:aEK,yEL),入K=入:c E K.V(K,L)=V(K,.,K,L,.,L),i=0,1,.,n.n一iW;(K)=Vi(K,B),i=0,1,.,n.987(2.1)988设Ki，,KnEK，它们混合体积的积分表达式为V(Ki,.,Kn-1,Kn)=其中 S(Ki,Kn-1,u)为凸体K1,Kn-1的混合表面积测度当K1=Kn-1=K时，S(K,K,u)为K 的表面积测度，简记为 S(K,u).特别K=B时，S(B,u)简记为n-1S(u).由(2.1)与(2.2)式可得设 k(u)为凸体 Kn 在方向uE Sn-1上的宽度，即 k(u)=hk(u)+hk(-u).设Pu为过原点o且以uE Sn-1为法方向的一个超平面设 Pu(t)为与Pu平行且在u方向上的有向距离为t的超平面.对于KEKn,存在t1,t2使得 Pu(ti)=Hk(-u),Pu(t2)=Hk(u).由宽度的定义可知k(u）=t 2-t1.那么凸体K在u方向上的平均截面面积k(u）（参见文献 6 )可表示为(2.6)k(u)t1其中Vn-1(Pu(t)nK)为 Pu(t)交K所得截面的 n-1维体积.若K为 Rn中的单位球 B,则关于任意的方向uESn-1,B(u)=wn.由（2.6)式可知，对于任意的E Sn-1与KKn都有(2.7)事实上，k(u）可视为与凸体KEn 等体积且以k(u）为高的柱体的底面积.设凸体K的平均宽度阝为类似于平均宽度的概念，定义K的平均截面面积为=nwn Jsn-1在二维平面R中，就是K的平均弦长.由（2.5）与(2.8)式可知，平均宽度与均质积分Wn-1(K）有如下关系3主要结果为得到本文的主要结果，需要以下几个引理.Lutwak6在197 6 年得到了一个与经典等周不等式对偶的不等式，即数学物理学报hkn(u)dS(Ki,.,Kn-1,u),n Jsn-1V=Wo(K),S=nWi(K),Wn-1(K)=n Jsn-11?t2K(Vn-1(Pu(t)n K)dt,k(u)k(u)=V.k(u)dS(u);nwn Jsn-11k(u)dS(u).=2w=1Wn-1(K).Vol.43A(2.2)(2.3)(2.4)hk(u)dS(u).(2.5)(2.8)(2.9)(2.10)No.4引理3.1设Kn,k(u)为K在u方向上的平均截面面积，则等号成立当且仅当K为球.在文献 3 中介绍了广义的Urysohn不等式.引理3.2 设KKn,W;(K)为K的第i阶均质积分，则w-1 W(K)Wn-1(K)-,0 i n-2.等号成立当且仅当K为球.事实上，当i=0时，(3.2)式就是经典Urysohn不等式等号成立当且仅当K为球当n=2时，(3.2)式就是欧氏平面R2上经典等周不等式.根据以上两个引理，得到本文的主要引理.引理3.3设Kn，,r,R分别为K的平均截面面积，平均宽度，最大内切圆半径与最小外接圆半径，则2Wn任意一个等号成立当且仅当K为球；rn(n-1)当K为球时等号成立.证由平均截面面积的定义（2.9)式与对偶等周不等式(3.1）可得即等号成立当且仅当K为球.就是经典等周不等式（1.1)，等号成立当且仅当K为球.在(3.2)式中取i=1,有等号成立当且仅当K为球然后，利用 S(K）=n Wi(K）与=2wWn-1(K),我们得到王贺军：一些高维逆Bonnesen型不等式2ark(a)ds(u)wrv,nwn Jsn-1wn-1VWn-1(K),n-1SWnnwn(）()n(n-1)Rn(n-1)12&-1Vn2WnVn-1wnwn-2Wi(K)Wn-1(K)n-1,Snwn989(3.1)(3.2)n(n-1)nn-1WnSnnwnn(n-1)(3.3)(3.4)990等号成立当且仅当K为球.下面只需证明(3.4)式中的两个不等式。因为为凸体 K的最大内切球半径，所以存在 o Rn使得 or BK，因此a(rB).由(2.7)式可得对于所有的uE Sn-1都有rnV(B)rB(u)BrB(u)从而，根据平均截面面积的定义可得wnrn-112nwnSn-1即若K为球，则K=ao+rB.由(2.7)与(2.9)式可知(3.5)式中的等号成立.因为R为凸体K的最小外接球半径，所以存在yoERn使得Kyo+RB,于是对于所有的uE Sn-1都有k(u)RB(u)=2R.从而，根据平均宽度的定义（2.8)式可得nwnJsn-1即若K为球，则K=yoR B.由(2.8)式可知(3.6)式中的等号成立.根据(3.3)式，可以得到Rn中一个高维逆Bonnesen型不等式.定理3.1设K,分别为K的平均截面面积与平均宽度，则An(K)nwnn数学物理学报V(rB)Wnrn-12r2wnrn-1d.S(2rn(n-1)k(u)dS(u)nwnJsn-1n(n-1)（2）Rn(n-1).3n(n-1)Vol.43ArB(u)dS(u)=a(rB),nwnSn-12anwn1(3.5)RB(u)dS(u)2R,(3.6)2(3.7)等号成立当且仅当K为球.证由(3.3)式可知()()nw(3.8)任意一个等号成立当且仅当K为球所以n-1n(n-1)nnw即An(K)nnw（2）n(n-1)220No.4由(3.8)式可知，(3.7)式等号成立等价于两不等式2awn等号同时成立由(3.3）式可知(3.9)式中两不等式等号同时成立当且仅当K为球，因此不等式(3.7）中等号成立当且仅当K为球.根据(3.3）与(3.4)式，还可得到Rn中一些高维逆Bonnesen型不等式.定理3.2 设KK，,r,R分别为K的平均截面面积，平均宽度，最大内切圆半径与最小外接圆半径，则An(K)nnw,An(K)nwn(任意一个等号成立当且仅当K为球.证由(3.3)与(3.4)式可得rn(n-1)王贺军：一些高维逆Bonnesen 型不等式n(n-1)S3WnwnRn(n-1)2Q991(3.9)2(3.10)(3.11)n(n-1)n一1nw当K为球时，不等式(3.12)中的等号均成立.由(3.12)式可知因此即2n(n-1)SnnwnBn(n-1)nw2n(n-1)An(K)nwn2n Rn(n-1),1(3.12)(3.13)从而不等式(3.10)得证.由(3.13)式可知,不等式(3.10)中等号成立等价于两不等式rn(n-1)()-与()(%)时成立当且仅当K为球因此，不等式(3.10）等号成立当且仅当K为球.又由(3.12)式可知所以即)n(n-1)等号同时成立，而由(3.3)与(3.4)式可得两不等式等号同(2)s(3.14)nwnn-1 Rn(n-1),nwnAn(K)nwnn Rn(n-1),2nRn(n-1)20992从而不等式(31)得证：由（(3.14)式可知，(31)等号成立等价于两不等式（)（二)-1与（）R（-1）等号同时成立，而由（3.3）与（(3.4）式可得两不等式等号同时成豆当且仅当K为球因此，不等式（3.11)等号成立当且仅当K为球.1注3.1由(3.3)与(3.4)式可得2arn(n-1)(一一Wn在(3.15)式中,因为()n(n-1)Rn(n-1),所以n(n-1)2a（）Wnn(n-1)-rn(n-1)Rn(n-1)-rn(n-1).(2）因此(3.7)式强于(3.11)式，（3.10)式强于（1.6)式又因为rn(n-1)（2），所以(）n(n-1)(2）Rn(n-1)因此(3.7)式强于(3.10)式，(3.11)式强于(1.6)式.综上所述，(3.7)式分别强于(3.11)，(3.10)与（1.6)式，并且(3.11)与(3.10)式分别强于(1.6)式.当维数n=3时，由定理3.1与定理3.2，得到R3中几个逆Bonnesen型不等式.推论3.1设K3,r,R分别为K的平均截面面积，平均宽度，最大内切圆半径与最小外接圆半径，则任意一个等号成立当且仅当K为球.当维数n=2时，平均截面面积就退化为平均弦长，于是由定理3.1与定理3.2 得到欧氏平面R上几个逆Bonnesen型不等式.推论3.2 设,r,R分别为凸体K的平均弦长，平均宽度，最大内切圆半径与最小外接圆半径，则(3.16)2(K)2(2-4r2);(3.17)2(K)4(R2-42):(3.18)任意一个等号成立当且仅当K为圆盘。注3.2 由注3.1可知，(3.16)，(3.17 与(3.18)式均强于在文献 17 中得到的等号成立当且仅当K为圆盘。数学物理学报n(n-1)Rn(n-1).22n Rn(n-1)Wnn(n-1)2-rn(n-1),22 Rn(n-1)=rn(n-1).wnA:(K)3 6-2163;3(K)3(36-64r6);s(K)8 (3 R6-273).2(K)2 2-162;2(K)4元2 (R2-r2),Vol.43A(3.15)No.41 Burago Y D,Zalgaller V A.Geometric 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