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动量传递、热量传递与质量传递的类似性
摘要：对动量、热量与质量传递的类似性进行了介绍，并阐述了传递过程中的类似律。
关键字：似类似性；类律；牛顿流体
Abstract : The article mainly introduces the similarity and describs a similar law of the momentum, heat and mass transfer, Then Solves the turbulent mass transfer coefficient based on the application of mass transfer and heat transfer similarity.
Keywords: Similarity ; law of similarity ; newtonian fluid

传递现象是自然界和工程技术中普遍存在的现象。通常所说的平衡状态，是指物系内具有强度性质的物理量，如温度、组分浓度等不存在梯度而言。对于任何处于不平衡状态的物系，一定会有某些物理量由高强度区向低强度区转移。传递过程特指物理量朝平衡转移的过程。在传递过程中传递的物理量有动量、热量、质量和电量等。
动量传递——在垂直于实际流体流动方向上，动量由高速度区向低速度区的转移。
热量传递——热量由高温度区向低温度区的转移。
质量传递——物系中一个或几个组分由高浓度区向低浓度区的转移。
由此可见，动量、热量与质量传递之所以发生，是由于物系内部存在着速度、温度和浓度梯度的缘故。
动量、热量与质量传递是一种探讨速率的科学，三者之间具有许多类似之处，它们不但可以用类似的数学模型来描述，而且描述三者的一些物理量之间还存在着某些定量关系。这些类似关系和变量关系[1-3]会使研究三种传递过程的问题得以简化。
1动量、热量与质量传递的类似性[4]
动量、热量与质量的传递，既可以由分子的微观运动引起，也可由漩涡混合造成的流体微团的宏观运动引起。前者称为分子传递，后者称为涡流传递。由分子运动引起的动量传递，可采用牛顿粘性定律描述；由分子运动引起的热量传递，可采用傅里叶定律描述；而分子运动引起的质量传递称为扩散，则采用菲克定律描述。牛顿粘性定律、傅里叶定律与菲克定律都是描述分子运动引起传递的现象定律。下面分别叙述这三个定律。
1.1牛顿粘性定律 (Newton,s Viscosity Law)
牛顿粘性定律用于描述分子运动引起的动量传递。1687年牛顿第一个对最简单的剪切运动作了一个著名实验，建立了切向应力和剪切变形之间的关系。实验在两块相互平行的很大的板之间进行，两板之间有静止的流体，上板静止，下板以恒速向右运动（见图）。由于实验流体存在着粘性，紧贴在板上的一层流体随平板一起运动，并获得沿x方向的动量，并将其动量传递给与之邻近的流体层，在两平板间建立了速度分布。速度不大时，两板间的流体作层流流动，此时由于动量传递而使两流体层之间产生剪应力。实验表明，剪应力与速度成正比，用公式表述为
τ=-μ әux/ әy
式中，τ为剪应力，N/m2; әux/ әy为速度梯度或剪切速率；μ 为动力粘度，Kg/(m.s)。式中的负号表示动量通量的方向与速度梯度的方向相反，即动量朝着速度降低的方向传递。比例常数μ为流体的动力粘度，一般简称为粘度。粘度是流体的一种物理性质，仅是流体压力、温度和组成的状态函数，与速度梯度无关。实际气体和液体的粘度一般随压力的升高而增加，理想气体的粘度与压力无关。气体的粘度随温度升高而增加；液体的粘度随温度升高而降低。
牛顿流体是遵循牛顿粘性定律的流体，包括气体和低分子量的大多数液体。非牛顿流体是不遵循牛顿粘性定律的流体，包括泥浆、污水、聚合物溶液、油漆等。
1.2傅里叶定律
傅里叶定律表述为“在场中任一点处，沿任一方向的热流强度（即在该点处单位时间内垂直流过单位面积的热量）与该方向上的温度变化率成正比”。在场中任一点处，沿方向的热流强度记为

式中，为热通量，J/(m2.s);k为物质的热导率，k>0; 为温度梯度；式中负号表示热通量方向与温度梯度方向相反，即热量是朝着温度降低的方向传递的。
热导率k是物质的物理性质。对于同一物质，热导率主要是温度的函数，压力对它的影响不大。在高压或真空下，气体的热导率受压力的影响。一般情况下，讨论各项同性导热，热导率与方向无关。傅里叶定律描述了分子运动引起的热量传递，即描述导热现象。在直角坐标系中，三个方向的热流强度分别为
， ，

1.3菲克定律（Fick,s Law）
在混合物中若各组分存在浓度梯度时，发生分子扩散。分子质量扩散传递同分子的动量扩散传递一样，是分子无规则运动的结果。1855年，费克首先提出了质量分子扩散的基本关系式，认为对于两组份系统，组分A在单位时间内通过与扩散分子扩散方向（y向）相垂直方向上的单位面积的质量，即所产生的质量通量可用下式表示
jA = -DAB
式中，jA为组分A的扩散质量通量，㎏/（㎡.s）；DAB为组分A在组分B中的你扩散系数，与组分的种类、组成和温度有关； 为组分A的质量浓度梯度；式中负号质量通量的方向与浓度梯度方向相反，即组分A总是朝着浓度降低的方向传递。扩散系数DAB与组分的种类、温度和组成等因素有关。
比较牛顿粘性、傅里叶传热和费克传质这三个著名定律的数学表达式，不难发现动量、热量与质量传递的规律有类似性：各传递过程中的物理量都与其相应的强度因素成正比，并且都沿着负梯度的方向传递。格式中的系数只是状态的函数，传递的物理量与相应的梯度之间存在着线性关系。这三个定律常称为分子传递的线性现象定律。

2动量、热量与质量传递的类似律
类似律[5]可以直接描述对流传热系数h、对流传质系数kc0和曳力系数CD三者之间的关系。因此，可以由一个已知的传递系数去预测另一个未知的传递系数。三个传递系数的定义本身也是类似的。关于这一点，可由以下平板壁面边界层中个系数的定义直接看出。其中对流传热系数的定义式为
(2-1)
将上式恒等变形，改写为
(2-2)
对流传质系数的式为
NA=kc0(cA-cAW) (2-3)
由摩擦曳力系数的定义式为
CD=2FD/𝝆V2 D_Dd__________ĬĔϨϨ________________
将上式改写为
τW= CD 𝝆V2/2 =CD V/2(𝝆V-0) (2-5)
由式(2-2)、式(2-3)和式(2-5)可以看出，对流传递的热量通量、质量通量和动量通量，都相应的等于对流传递系数乘以各物理量的浓度差，而各式右侧中的浓度差可以表示传递的推动力，它们分别为
① D_Dd__________ĬĔϨϨ____
② (cA-cAW) ——摩尔浓度差，Kmol/m3，表示对流传质推动力；
③ (𝝆V-0) ——动量浓度差，kg.(m.s)/m3，表示动量传递的推动力。
其中的对流传递系数 、kc0、CD V/2 三者之间可以类比，它们的单位都为m/s。
为了进一步讨论类似律，下面首先对比热量传递和质量传递中常见的无量纲群数。
热量传递 质量传递
温度差 浓度差 CA-CA1/CA2-CA1
雷诺数 Re= 雷诺数 Re=
普朗特数Pr= 施密特数Sc=ν/DAB=μ/𝝆 DAB
努赛尔数Nu= 舍伍德数Sh=kc0l/ DAB
斯坦顿数St=Nu/RePr=h/cpu 传质斯坦顿数St*=Sh/ReSc= kc0/u
贝克莱数Pe=RePr= 贝克莱数Pe=ReSc=lu/DAB
下面简要介绍质量传递过程中的雷诺类似律、泰勒-普朗特类似律以及卡门类似律。
2.1 雷诺类似律[6]
1874年，雷诺通过理论分析，首先提出了类似律概念。雷诺认为，当湍流流体与壁面间进行动量、热量和质量传递时，湍流中心一直延伸到壁面，故雷诺类似律为单层模型。
设单位时间单位面积上，流体与壁面间所交换的质量为M，若湍流中心处流体的速度、温度和浓度分别为ub、fb和cAb，壁面上的速度、温度和浓度分别为us、fs和cAs，则单位时间单位面积上交换的动量为
τs= M(ub-us)=ub(ℓub- ℓus)= ℓub2
即 M= ℓub
交换的热量为 S= Mcp(tb-ts)=h/(
即 M= h/cp
由于单位时间单位面积上所交换的质量相同，联立以上三式得
M= ℓub= h/cp = ℓkc0
或写成 = kc0/ub （2-5）
即 S’t （2-6）
式中 称为传质的斯坦顿数，它与传热的斯坦顿数 相对应。式（2-5）和式（2-6）即为湍流情况下，动量、热量和质量传递的雷诺类似律表达式。
应予指出，雷诺类似律把整个边界层作为湍流区处理，但根据边界层理论，在湍流边界层中，紧贴壁面总有一层流内层存在，在层流内层进行分子传递，只有在湍流中心才进行涡流传递，故雷诺类似律有一定的局限性。只有当 Pr=l及 Sc=l时，才可把湍流区一直延伸到壁面，用简化的单层模型来描述整个边界层。
2.2 泰勒-普朗特类似律
前已述及，雷诺类似律只适用于Pr = l和 Sc = l的条件下，然而许多工程上常用物质的 和明显地偏离1，尤其是液体，其和往往比1大得多，这样，雷诺类似律的使用就受到了很大的局限。为此，普兰德一泰勒对雷诺类似律进行了修正，提出了两层模型，即湍流边界层由湍流主体和层流内层组成。根据两层模型，普兰德一泰勒导出以下类似律关系式:
动量和热量传递类似律
（2-7）
动量和质量传递类似律
（2-8）
式中ub为圆管的主体流速。由式 （2-7）和式 （2-8）可看出，当Pr=Sc=1时，则两式可简化为式 （2-6），回到雷诺类似律。对于Pr=Sc=0.5~2.0的介质而言，普兰德一泰勒类似律与实验结果相当吻合。
2.3 卡门类似律
普兰德一泰勒类似律虽考虑了层流内层的影响，对雷诺类似律进行了修正，但由于未考虑到湍流边界层中缓冲层的影响，故与实际不十分吻合。卡门认为，湍流边界层由湍流主体、缓冲层、层流内层组成，提出了三层模型。根据三层模型，卡门导出以下类似律关系式：
动量和热量传递类似律

卡门类似律在推导过程中所根据的是光滑管的速度侧型方程，但它也适用于粗糙管，对于后者仅需

动量和质量传递类似律
将式中的摩擦系数 f 用粗糙管的 f 代替即可。但对于Pr、Sc极小的流体，如液态金属，该式则不适用。
3 结论
传质、传热和动量传递过程，具有很大的类似性。研究他们的类似律对于解决一些比较困难的问题可以借助其它传递问题进行类比解决。由于到目前为止，各种类似律理论根据不足，且均有其局限性。故工程上应用的多数公式仍然是经验或半经验的。三传的类似性还需要进一步的研究，来促进工程的应用。

参考文献：
1 [美]本尼特.CO,迈克尔.JE著.动量、热量和质量传递.张统潮，陈岚生译.北京：化学工业出版社，1988.10～36
2 王绍亭，陈涛编著. 动量、热量和质量传递.天津：天津科学技术出版社，1986.16～47
3 Bird R B,Stewart W E,Lightfoot E N.Transport Phenomena.New York:Wiley,2002
4 陈晋南编著.传递过程原理.北京：化学工业出版社，2003.12
5王绍亭，陈涛编著.化工传递过程基础.北京：化学工业出版社，1987.198～264
6 江体乾编.近代传递过程原理. 北京：化学工业出版社，2002.226～230