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第6章 应力与变形分析 101
6.1拉压杆横截面上的应力 101
6.2 轴向拉伸或压缩时的变形·胡克定律 106
6.3 材料在拉伸与压缩时的力学性能 110
6.4 轴向拉伸或压缩时的强度计算 115
6.5 应力集中的概念 120
6.6 剪切和挤压时的应力 121
6.7 剪切胡克定律 125
6.8 圆轴扭转时的应力分布规律和强度条件 125
6.9 弯曲时梁横截面上的正应力和强度计算 129
6.10 弯曲变形的概念 135
6.11 提高梁弯曲强度和刚度的措施 138
第6章 应力与变形分析
本章通过对四种基本变形时构件截面上的应力分布规律的分析，介绍研究材料力学的基本方法；讨论其应力和变形的计算问题；重点研究构件的强度计算；介绍常温、静载下材料的机械性质。
6.1拉压杆横截面上的应力
6.1.1 应力的概念
同一种材料制成横截面积不同的两根直杆，在相同轴向拉力的作用下，其杆内的轴力相同。但随拉力的增大，横截面小的杆必定先被拉断。这说明单凭轴力FN并不能判断拉（压）杆的强度，即杆件的强度不仅与内力的大小有关， 图6-1
而且还与截面面积有关，即与内力在横截面上分布的密集程度（简称集度）有关，为此引入应力的概念。
要了解受力杆件在截面m-m上的任意一点C处的分布内力集度，可假想将杆件在m-m处截开，在截面上围绕C点取微小面积ΔA，ΔA上分布内力的合力为Δp(图6-1a)，将Δp除以面积ΔA，即
（6-1）
pm称为在面积ΔA上的平均应力，它尚不能精确表示C点处内力的分布状况。当面积无限趋近于零时比值的极限，才真实地反映任意一点C处内力的分布状况，即
（6-2）
上式p定义为C点处内力的分布集度，称为该点处的总应力。其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切。通常，将它分解成与截面垂直的法向分量和与截面相切的切向分量（图6-1b），法向分量称为正应力，用s 表示；切向分量称为切应力，用t表示。
将总应力用正应力和切应力这两个分量来表达具有明确的物理意义，因为它们和材料的两类破坏现象——拉断和剪切错动——相对应。因此，今后在强度计算中一般只计算正应力和切应力而不计算总应力。
应力的单位为“帕”，用Pa表示。1Pa=1N/m2, 常用单位为兆帕MPa，
1MPa=106Pa=1MN/mm2=1N/mm2，1GPa=109Pa。
6.1.2 轴向拉伸和压缩时横截面上的正应力
取一等截面直杆，在其侧面作两条垂直于杆轴的直线ab和 cd，然后在杆两端施加一对轴向拉力F使杆发生变形，此时直线ab、 cd分别平移至a'b'、 c'd '且仍保持为直线（图6-2a）。由此变形现象可以假设，变形前的横截面，变形后仍保持为平面，仅沿轴线产生了相对平移，并仍与杆的轴线垂直。这就是平面假设。根据平面假设，等直杆在轴向力作用下，其横截面间的所有纵向的变形伸长量是相等的。由均匀性假设，横截面上的内力应是均匀分布的(图6-2b)。即横截面上个点处的应力大小相等，其方向与FN一致，垂直于横截面，故横截面上的正应力s可以直接表示为
（6-3）
式中， s —正应力，符号由轴力决定，拉应力为正，压应力为负；
FN —横截面上的内力（轴力）；
图6-2 A — 横截面的面积。
例6-1 在例5-2中，设等直杆的横截面面积A=500 mm2，试求此杆各段截面上的应力，并指出此杆危险截面所在的位置。
解: 根据前面已求得的各段轴力，各段截面上的应力为
AB段：
BC段：
CD段：
DE段：
由以上计算可知，在BC段应力最大为100 MPa，故BC段各截面为危险截面。
例6-2 一钢制阶梯杆如图6-3a所示。各段杆的横截面面积为：A1=1600 mm2，A2=625 mm2，A3=900 mm2，试画出轴力图，并求出此杆的最大工作应力。
图6-3
解: （1）求各段轴力
根据式（5-1）得
FN1=F1=120 kN
FN2=F1－F2=120 kN－220 kN = －100 kN
FN3=F4=160 kN
（2）作轴力图 由各横截面上的轴力值，作出轴力图（图6-3b）。
（3）求最大应力 根据式（6-3） 得
AB段 （拉应力）
BC段 （压应力）
CD段 （拉应力）
由计算可知，杆的最大应力为拉应力，在CD段内，其值为178 MPa。
例6-3 圆杆上有一穿透直径的槽(图6-4a)。已知圆杆直径d=20 mm，槽的宽度为，设拉力F=30 kN，试求最大正应力（槽对杆的横截面积削弱量可近似按矩形计算）。
解: （1）求内力：杆的轴力图见（图6-4b）
FN=F=30 kN
（2）确定危险截面面积：
由轴力图可知，受力杆件任意截面上的轴力相等，但中间一段因开槽而使截面面积减小，故杆的危险截面 图6-4
应在开槽段，即最大应力应发生在该段，开槽段的横截面积为

（3）计算危险段上的最大正应力：

6.1.3 轴向拉伸（或压缩）时斜截面上的应力
实验证明，拉伸或压缩杆件的破坏，不一定都是沿横截面，有时会沿斜截面发生。为全面分析杆件的强度，了解各种破坏发生的原因，需研究轴向拉伸（或压缩）时斜截面上的应力。
图6-5a表示一等截面直杆，受轴向拉力F的作用。由截面法知FN=F，若杆的横截面面积为A，显然，横截面的正应力s为 图6-5
(a)
用一个与横截面成a角的斜截面m-m假想地将杆截分为两段，并研究左段的平衡，运用截面法,可求得斜截面m-m上的内力（图6-5b）为
FNa=FN (b)
由图6-5a的几何关系可知，斜截面m-m的面积为，仿照横截面上正应力均匀分布的讨论，可知斜截面m-m上的总应力pa亦为均匀分布，于是，可得斜截面上各点的应力为
(c)
将pa分解为垂直于截面的正应力sa和沿斜截面的切应力ta(图6-5c)，则有
sa= pacosa =s cos2a (6-4)
ta= pasina =scosa×sina =sin2a (6-5)
由上两式可知,sa、ta都是角a的函数，即截面上的应力随截面方位的改变而改变。
（1）a = 0°时
s0°=s cos20°=s =smax
t0°=sin(2×0°)= 0
上式说明，轴向拉（压）时，横截面上的正应力具有最大值，切应力为零。
（2）a = 45°时
s45°=s cos245°=
t45°=sin(2×45°)==tmax
上式说明，在45°的斜截面上，切应力为最大，此时正应力和切应力相等，其值为横截面上正应力的一半。
（3）a =90°时
s90°=s cos290° = 0
t90°=sin(2×90°)= 0
上式说明，杆件轴向拉伸和压缩时，平行于轴线的纵向截面上无应力。
应力符号规定如下：sa仍以拉应力为正，压应力为负； ta对杆内任意点的矩为顺时针转向时为正，反之为负。
由（6-5）式可知，必有，说明杆件内部相互垂直的截面上，切应力必然成对出现，两者等值且都垂直于两平面的交线，其方向则同时指向或背离交线，即切应力互等定理。
6.2 轴向拉伸或压缩时的变形·胡克定律
轴向拉伸（或压缩）时，杆件的变形主要表现为沿轴向的伸长（或缩短），即纵向变形。由实验可知，当杆沿轴向伸长（或缩短）时，其横向尺寸也会相应缩小（或增大），即产生垂直于轴线方向的横向变形。
6.2.1 纵向变形
设一等截面直杆原长为l，横截面面积为A。在轴向拉力F的作用下，长度由l变为l1（图6-6a）。杆件沿轴线方向的伸长为 Δl=l1－l
拉伸时Δl为正，压缩时Δl为负。
图6-6
杆件的伸长量与杆的原长有关，为了消除杆件长度的影响，将Δl除以l，即以单位长度的伸长量来表征杆件变形的程度，称为线应变或相对变形，用e 表示：
e = （6-6）
e 是量纲一的量，其符号与Δl的符号一致。
6.2.2 胡克定律
实验证明：当杆件横截面上的正应力不超过比例极限（见后文6.3节）时，杆件的伸长量Δl与轴力FN及杆原长l成正比，与横截面面积A成反比。即

引入比例常数E，则上式可写为
（6-7）
上式称为胡克定律。
将式（6-3）和（6-6）代入上式，可得
s =E×e （6-8）
这是胡克定律的另一形式。可表述为：当应力不超过比例极限时，则正应力与纵向线应变成正比。
式中的E为材料的弹性模量，与材料的性质有关，其单位与应力相同，常用单位为GPa。材料的弹性模量由实验测定。弹性模量表示在受拉（压）时，材料抵抗弹性变形的能力。由式（6-7）可看出，EA越大，杆件的变形Δl就越小，故称EA为杆件抗拉（压）刚度。工程上常用材料的弹性模量见表6-1。
6.2.3 横向变形
在轴向力作用下，杆件沿轴向的伸长（缩短）的同时，横向尺寸也将缩小（增大）。设横向尺寸由b变为b1（图6-6b），
Δb= b1-b
则横向线应变为 （6-9）
e ¢也是量纲一的量。
6.2.4 泊松比
实验表明，对于同一种材料，当应力不超过比例极限时，横向线应变与纵向线应变之比的绝对值为常数。比值ν称为泊松比，亦称横向变形系数。即
(6-10a)
由于这两个应变的符号恒相反，故有
e'=－n×e (6-10b)
泊松比n 是材料的另一个弹性常数，是量纲一的量，由实验测得。工程上常用材料的泊松比见表6-1。
表6-1 常用材料的E和n
材料
E/GPa
n
碳素钢
200~210
0.24~0.30
合金钢
185~205
0.25~0.30
灰口铸铁
80~150
0.23~0.27
铜及其合金
72.5~128
0.31~0.42
铝合金
70
0.25~0.33

例6-4 图6-7a为一阶梯形钢杆，已知杆的弹性模量E=200GPa，AC段的截面面积为AAB=ABC=500mm2，CD段的截面面积为ACD=200mm2，杆的各段长度及受力情况如图6-7a所示。试求：
（1）杆截面上的内力和应力；
（2）杆的总变形。 图6-7

解： 此题可直接用式（5-1）求各截面内力
（1）求各截面上的内力
BC段与CD段 FN2=－F2=－10 kN =－10 kN （受压）
AB段 FN1= F1－F2=30 kN－10 kN =20 kN （受拉）
（2）画轴力图（图6-7b）
（3）计算各段应力
AB段 （拉应力）
BC段 （压应力）
CD段 （压应力）
（4）杆的总变形
全杆总变形ΔlAD等于各段杆变形的代数和，即
ΔlAD=ΔlAB+ΔlBC+ΔlCD=++
将有关数据代入，并注意单位和符号，即得
ΔlAD=
= －0.015 mm
计算结果为负，说明整个杆件是缩短的。
例6-5 图6-8a所示杆系由两根钢杆1和2组成。已知杆端铰接，两杆与铅垂线均成a=30°的角度，长度均为l=2m，直径均为d=25mm，钢的弹性模量为E=210GPa。设结点A处悬挂一重物P=100 kN，试求结点A的位移ΔA。
解： 题意分析：A点的位移是由于两杆受力后伸长引起的，故应先求出各杆的伸长，因此，须求出各杆的轴力。
根据小变形假设，在求各杆的轴力时可将杆系看成刚体，因此a角的微小变化可忽略不计。以结点为研究对象，作受力图（图6-8b）
（1）列平衡方程
åFx=0， FN2sina －FN1sina=0
åFy=0， FN1cosa + FN2cosa－P=0
解上两式得
FN1= FN2= （1）
（2） 求两杆的伸长 由题意可知 图6-8
Δl1=Δl2== （2）
式中A=为杆的横截面面积。
（3）求结点的位移
为了求位移ΔA，可假想地将两杆在点A处拆开，并在杆原长上分别增加长度Δl1= AA1和
Δl2= AA2。由于两杆在点A为铰接，变形后仍应铰结在一起，即应满足变形的几何相容条件。于是，两杆伸长后的长度为BA1、CA2。因变形微小，可以切线代弧，过A1、A2分别作两杆的垂线交于
A′，由于两杆材料相同，受力、变形均对称，故A′必与A在同一铅垂线上，因而从图（6-8c）可得
ΔA = AA′= （3）
将式（2）代入式（3）得
ΔA = （4）
再将已知数据代入（4）得

6.3 材料在拉伸与压缩时的力学性能
材料在外力作用下其强度和变形方面所表现出的力学性能，是强度计算和选用材料的重要依据。在不同的温度和加载速度下，材料的力学性能将发生变化。本节介绍常用材料在常温（指室温）、静载（加载速度缓慢平稳）情况下，拉伸和压缩时的力学性能。
材料的拉伸和压缩试验是测定材料力学性能的基本试验，试验中的试件按国家标准
（GB/T228-198）设计，如图6-9所示。
试验前，先在试件中间的等截面直杆部分取长为l的一段作为工作段，长度l称为标距。根据国家标准，拉伸试件分长短二种，
对圆截面试件，规定标距l与截面直径的比例关系分别为 图6-9
l=10d l=5d
对矩形截面试件，规定其标距l与横截面面积A的关系分别为

6.3.1 低碳钢在拉伸时的力学性能
低碳钢是工程上应用最广泛的材料，同时，低碳钢试件在拉伸试验中所表现出来的力学性能最为典型。因此，先研究这种材料在拉伸时的力学性能。
将试件装上试验机后，缓慢加载，直至拉断，试验机的绘图系统可自动绘出试件在试验过程中工作段的变形和拉力之间的关系曲线图。
常以横坐标代表试件工作段的伸长Δl，纵坐标代表试验机上的载荷读数，通即试件的拉力F，此曲线称为拉伸图或F-Δl曲线，如图6-10。 图6-10
试件的拉伸图不仅与试件的材料有关，而且与试件的几何尺寸有关。用同一种材料做成粗细不同的试件，由试验所得的拉伸图差别很大。所以，不宜用试件的拉伸图表征材料的拉伸性能。将拉力F除以试件横截面原面积A，得试件横截面上的应力s。将伸长Δl除以试件的标距l，得试件的应变e。以e 和s 分别为横坐标与纵坐标，这样得到的曲线则与试件的尺寸无关，此曲线称为应力-应变图或s-e曲线。
（1）材料的刚度指标
图6-11所示为Q235钢的s -e 曲线。从图中可见，整个拉伸过程可分为四个阶段：
第Ⅰ阶段 弹性阶段
在试件拉伸的初始阶段，s 与e 的关系表现为直线=Oa，即s 与e 成正比，即s µ e ,
直线的斜率为

所以有 s =E×e
这就是在6.2.2节中所述的胡克定律，式中E为弹性模量，为材料的刚度性能指标。
直线Oa的最高点a 所对应的应力，称为比例极限，用sp表示。即只有应力低于比例极限，胡克定律才能适用。Q235钢的比例极限sp≈200MPa。弹性阶段的最高点b所对应的应力是材料保持弹性变形的极限点，称为弹性极限，用se表示。此时，在ab段已不再保持直线，但如果在b点卸载，试件的变形还将会完全消失。由于a、b两点非常接近，所以工程上对弹性极限和比例极限并不严格区分。
（2）材料的强度指标 图6-11
第Ⅱ阶段 屈服阶段
当应力超过弹性极限时，s-e 曲线上将出现一个近似水平的锯齿形线段（图中的bc段），这表明，应力在此阶段基本保持不变，而应变却明显增加。此阶段称为屈服阶段或流动阶段，若试件表面光滑，可看到其表面有与轴线大约呈的条纹，称为滑移线。在屈服阶段中，对应于曲线最高点与最低点的应力分别称为上屈服点应力和下屈服点应力。通常，下屈服点应力值较稳定，故一般将下屈服点应力作为材料的屈服点应力，用ss表示。Q235钢的屈服点应 图6-12
力ss≈240MPa。
当材料屈服时，将产生显著的塑性变形。通常，在工程中是不允许构件在塑性变形的情况下工作的，所以ss是衡量材料强度的重要指标。
第Ⅲ阶段 强化阶段
经过屈服阶段后，图中ce段曲线又逐渐上升，表示材料恢复了抵抗变形的能力，且变形迅速加大，这一阶段称为强化阶段。强化阶段中的最高点E所对应的是材料所能承受的最大应力，称为强度极限，用sb 表示。强化阶段中，试件的横向尺寸明显缩小（如图6-11）。Q235钢的强度极限sb≈400MPa。
第Ⅳ阶段 局部变形阶段
在强化阶段，试件的变形基本是均匀的。过e点后，变形集中在试件的某一局部范围内，横向尺寸急剧减少，形成缩颈现象。由于在缩颈部分横截面面积明显减少，使试件继续伸长所需要的拉力也相应减少，故在s-e 曲线中，应力由最高点下降到f点，最后试件在缩颈段被拉断，这一阶段称为局部变形阶段。
上述拉伸过程中，材料经历了弹性变形、屈服、强化和局部变形四个阶段。对应前三个阶段的三个特征点，其相应的应力值依次为比例极限sp、屈服点应力ss和强度极限sb 。对低碳钢来说，屈服点应力和强度极限是衡量材料强度的主要指标。
（3） 材料的塑性指标
试件拉断后，材料的弹性变形消失，塑性变形则保留下来，试件长度由原长l变为l1。试件拉断后的塑性变形量与原长之比以百分比表示，即
(6-11)
式中d 称为断后伸长率。
断后伸长率是衡量材料塑性变形程度的重要指标之一，Q235钢的断后伸长率δ≈20%~30%。断后伸长率越大，材料的塑性性能越好，工程上将δ≥5%的材料称为塑性材料，如低碳钢、铝合金、青铜等均为常见的塑性材料。d <5%的材料称为脆性材料，如铸铁、高碳钢、混凝土等均为脆性材料。
衡量材料塑性变形程度的另一个重要指标是断面收缩率y 。设试件拉伸前的横截面积为A，拉断后断口横截面面积为A1，以百分比表示的比值，即
y =100% （6-12）
称为断面收缩率，断面收缩率越大，材料的塑性越好，Q235钢的断面收缩率约为50 %。
（4）冷作硬化现象
当应力超过屈服点应力后，在强化阶段某一点d处卸载直至载荷为零。试验结果表明，卸载时的s-e 曲线将沿着平行于Oa直线（图6-13）回到零应力点d'。由图中可见，与d点对应的总应变应包括两部分，Od'和d'g，其中 d'g在卸载时完全消失，即为弹性变形。而Od'则为卸载后遗留下的塑性变形。
如果在卸载后重新加载，则应力—应变关系基本沿卸载时的
直线d'd上升直至回到卸载点d后才开始出现塑性变形，且以后的变形曲线与该材料的s-e曲线大致相同。观察再加载的s-e 曲线， 图6-13
发现材料的比例极限由sp提高到s'p，而材料的塑性降低，这种现象称为冷作硬化。
由于冷作硬化提高了材料的比例极限，从而提高了材料在弹性范围内的承载能力，故工程中常利用冷作硬化来提高杆件的承载能力，如起重机械中的钢索和建筑钢筋，常用冷拔工艺来提高强度。
6.3.2 其它材料在拉伸时的力学性能
许多金属拉伸时，并不都具有像低碳钢的s-e 曲线中的四个阶段。为便于比较，现将工程中常用的几种塑性材料的s-e 曲线和低碳钢的s-e 曲线置于同一图中（图6-14），可以看出，青铜、硬铝、退火球墨铸铁均没有屈服阶段，其它三个阶段则很明显，而锰钢仅有弹性阶段和强化阶段，没有屈服阶段和局部变形阶段。这些材料的共同特点是伸长率均较大，它们和低碳钢一样都是塑性材料。对于这类没有明显屈服阶段的塑性材料，工程上通常以产生0.2%塑性应变时所对应的应力值作为衡量材料强度的指标，此应力称为材料的条件屈服点应力，用sp0.2 表示(图6-15)。 图6-14
对于脆性材料，例如灰口铸铁，从图6-16所示的的s-e 曲线可以看出，从开始受拉到断裂，没有明显的直线部分（图中实线）。一般可将该曲线近似地视为直线（图中虚线）， 图6-15 图6-16
即认为胡克定律在此范围内仍然适用。
图中亦无屈服阶段和局部变形阶段，断裂是突然发生的，断口齐平，断后伸长率约为0.4%~0.5%，故为典型的脆性材料。强度极限sb是衡量铸铁强度的唯一指标。
6.3.3 材料在压缩时的力学性能
在试验机上做压缩试验时，考虑到试件可能被压弯，金属材料选用短粗圆柱试件，其高度为直径的1.5~3倍。图6-17中实线表示低碳钢压缩时的s-e 曲线。将其与拉伸时的s-e 曲线（图中虚线）比较，可以看出，在弹性阶段和屈服阶段，拉、压的s-e 曲线基本重合。这表明，拉伸和压缩时，低碳钢的比例极限、屈服点应力及弹性模量大致相同。与拉伸试验不同的是，当试件上压力不断增大，试件的横截面积也不断增大，试件愈压愈扁而不破裂，故不能测出它的抗压强度极限。
铸铁压缩时的曲线s-e 如图6-18实线所示。与其拉伸时的s-e 曲线（图中虚线）相比，抗压强度极限sbc远高于抗拉强度极限sb（约 3~4倍），所以，脆性材料宜作受压构件。铸铁试件压缩时的破裂断口与轴线约成45o倾角，这是因为受压试件在45o方向的截面上存在最大切应力，铸铁材料的抗剪能力比抗压能力差，当达到剪切极限应力时首先在45o截面上被剪断。 图6-17 图6-18
低碳钢试件拉伸断裂时，其颈缩部位断口内部的应力比较复杂，但仔细观察，不难发现断口边缘与轴线约呈45o的斜面，可知这是由最大切应力引起的。前面已经得到塑性材料具有相同的抗拉与抗压性能（sp、ss、E均相同）的结论。因此，对不同材料拉伸和压缩试验进行分析研究，可得出以下重要结论：
塑性材料 抗拉能力=抗压能力>抗剪能力
由铸铁试件压缩破坏知，它的抗压能力优于抗剪能力，而铸铁试件拉伸破坏时，断口为横截面，说明它的抗剪能力优于抗拉能力。因此
脆性材料 抗压能力>抗剪能力>抗拉能力
通过拉伸和压缩试验，可以获得材料力学性能的下述三类指标：
（1）、刚度指标：弹性模量E；
（2）、强度指标：屈服点应力ss（sp0.2）和强度极限sb（sbc）；
（3）、塑性指标：断后伸长率δ和断面收缩率y。
几种常用金属材料的力学性能见表6-2，表中所列数据是在常温和静载荷（即缓慢加载）的条件下测得的，其它材料的力学性能可查阅机械设计手册等有关资料。
表6-2 常用材料的主要力学性能
材料名称
牌号
ss /MPa
sb /MPa
d5/%
普通碳素钢
Q235
235
372~392
25~27
Q275
274
490~519
21
优质碳素钢
35
314
529
20
45
353
598
15
50
372
527
14
低合金钢
09MuV
294
431
22
12Mn
280
500
20
合金钢
20Cr
539
833
10
40Cr
784
980
9
30CrMnSi
882
1078
8
铝合金
LY12
274
412
19
6.4 轴向拉伸或压缩时的强度计算
6.4.1 极限应力•许用应力•安全因数
工程上将使材料丧失正常工作能力的应力称为极限应力或危险应力，用su表示。对于塑性材料，当应力达到屈服点应力ss（或sp0.2）时，构件将发生明显的塑性变形而影响其正常工作。此时，一般认为材料已经破坏。故对塑性材料规定用屈服点应力为其极限应力或危险应力，所以
su =ss（或sp0.2）
脆性材料直到拉断时也无明显的塑性变形，其破坏表现为断裂，故用材料的强度极限sb（或sbc）作为极限应力或危险应力，即
su =sb（或sbc）
构件在载荷作用下产生的应力称为工作应力。等直杆最大轴力处的横截面称为危险截面。危险截面上的应力称为最大工作应力。
为使构件正常工作，最大工作应力应小于材料的极限应力，并使构件留有必要的强度储备。因此，一般将极限应力除以一个大于1的系数，即安全因数n，作为强度设计时的最大许可值，称为许用应力，用[s]表示，即
[s]= （6-13）
对于塑性材料 或 （6-14）
对于脆性材料 或 （6-15）
式中ns、nb分别为对应屈服点应力和强度极限的安全因数。各种材料在不同工作条件下的安全因数和许用应力值，可从有关规定或设计手册中查到。在静载荷作用下，一般杆件的安全因数为：ns=1.5~2.5，nb=2.0~3.5。
工程中必须考虑安全因素是出于以下诸多原因，例如：材料的极限应力是在标准试件上获得的，而构件所处的工作环境和受载情况不可能与试验条件完全相同；构件与试件的材料虽然相同，但很难保证材质完全一致；由于对外载荷的估算可能带来误差；对结构、尺寸的简化可能造成计算偏差，等等。
安全因数的选取，关系到工程设计的安全和经济这一对矛盾问题。安全因数越大，强度储备越多，构件则越偏于安全，但不经济；反之，只考虑经济，安全性下降。因此，在进行强度计算时，应注意根据实际合理地选取安全因数。
6.4.2 强度计算
为保证轴向拉（压）杆件在外力作用下具有足够的强度，应使杆件的最大工作应力不超过材料的许用应力，由此，建立强度条件
smax= £ [s] (6-16)
上述强度条件，可以解决三种类型的强度计算问题：
（1） 强度校核
若已知杆件尺寸A、载荷F和材料的许用应力[s]，则可应用式（6-16）验算杆件是否满足强度要求，即
smax £ [s]
（2） 设计截面尺寸
若已知杆件的工作载荷及材料的许用应力[s]，则由式（6-16）可得

由此确定满足强度条件的杆件所需的横截面面积，从而得到相应的截面尺寸。
（3） 确定许可载荷
若已知杆件尺寸和材料的许用应力[s]，由式（6-16）可确定许可载荷，即
FNmax £ [s]A
由上式可计算出已知杆件所能承担的最大轴力。从而确定杆件的最大许可载荷。
必须指出，对受压直杆进行强度计算时，式（6-16）仅适用较粗短的直杆。对细长的受压杆，应进行稳定性计算，关于稳定性问题，将在第8章讨论。
例6-6 图6-19a所示为一刚性梁ACB由圆杆CD在C点悬挂连接，B端作用有集中载荷
F=25 kN。
已知：CD杆的直径d=20 mm，许用应力[s]=160 MPa。
1）校核CD杆的强度；
2）试求结构的许可载荷[F]；
3）若F=50kN，试设计CD杆的直径d。
解： （1）校核CD杆强度
作AB杆的受力图，如图6-19b。
由平衡条件 åMA=0 得 图6-19
2FCD×l-3F×l=0
故 FCD=F
求CD杆的应力，杆上的轴力 FN=FCD
故
所以CD杆安全。
（2）求结构的许可载荷[F]
由
故
由此得结构的许可载荷 [F]= 33.5 kN
（3）若F=50 kN，设计圆柱直径d
由
故
取d=25 mm。
例6-7 图6-20a所示为三铰拱屋架示意图，跨度l=18 m，屋架上承受均布载荷，载荷集度q=17kN/m。C处为铰链，AB两处用拉杆连接。若拉杆材料为Q235钢，其许用应力[s]1=160 MPa。试设计
1）杆AB的直径d1；
2）拉杆改用Q345钢，许用应力[s]2=230 MPa，拉杆直径d2为多大？
图6-20
解： （1）取整个物体系统为研究对象，求E处约束反力，
应用平衡条件 åMD=0，
故
（2）取屋架右半部分为研究对象（图6-20b），求拉杆轴力。
应用平衡条件åMC=0，

故
=219=219 kN
（3） 设计拉杆的直径d1
根据式(6-16)得
故
取d1=42 mm
（4）设计Q345钢拉杆的直径d2
可将上式中的[s]1换成Q345钢的许用应力[s]2，即可算得其拉杆直径。也可根据已算得的d1数值，利用下式进行计算。
因
故
在工程中当需要改变设计时，这种计算方法非常方便。
例6-8 重物P由铜丝CD悬挂在钢丝AB之中点C（图6-21a）。已知铜丝直径d1=2 mm，许用应力[s]1=100 MPa，钢丝直径 d2=1mm，许用应力[s]2 =240 MPa，且a=30°，试求结构的许可载荷。若不更换铜丝和钢丝，要提高许可载荷，钢丝绳相应的夹角为多少（结构仍然保持对称）？
解: 1）求结构的许可载荷。
（1）以点C为研究对象，作受力图（图6-21b），设铜丝和钢丝的拉力分别为FN1和FN2
（2） 考虑点C的平衡，应用平衡条件åFy=0，
（a）
（3）根据式(6-13)
对铜丝
故 （b）
图6-21
对钢丝
故 （c）
为保证安全，结构的许可载荷应取较小值，即[P]=188 N。
2）求钢丝绳的夹角。
若铜丝和钢丝都不更换，要提高结构的承载能力，由式（c）可知，只有调整钢丝绳的角度。在0≤a≤之间，钢丝的许可载荷随a角的增加而增加，当钢丝的许可载荷与铜丝的相等时（即：[P]1=[P]2=314N），则该结构的的承载能力为最大，设此时对应的钢丝绳角度为a*，
当 时
则有
因此，当a=a*=55.4°时，结构的许用载荷可提高为[P]2=[P]1=314 N。
6.5 应力集中的概念
前面分析的等截面直杆在轴向拉伸（压缩）时，横截面上的正应力是均匀分布的。但工程中，由于结构或工艺上的需要，常开有孔槽或留有凸肩，表面切割螺纹等，使截面形状发生突变。研究表明，杆件在截面突变处的局部范围内，应力值将急剧增加，而距突变区较远处又渐趋平均。这种由于截面的突变而导致的局部应力增大的现象，称为应力集中。
图6-22 图6-23
图6-22中所示的拉杆在1-1截面上，靠近孔边的小范围内应力很大，而离开孔边较远处的应力降低许多，且分布较均匀。应力集中的程度，通常以最大局部应力sma