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论,经典物理：,描述宏观物理现象，,只涉及体系行为的某些总的特征。,量子物理：,描述微观物理现象。主要研究微观粒子的行为，如原子、中子、电子等的运动规律。,经典物理学定律是量子物理学定律的极限,形式。量子物理学规律是自然界中最普遍的定律之一。,RETURN,5,二、量子物理学产生的历史背景,（一）,几个主要的经典物理学问题,（二）,经典物理学的困难与量子物理学的诞生,1.,黑体辐射问题,2.,光电效应问题,3.,康普顿（,Compton,）效应,4.,原子结构及其光谱问题,RETURN,6,二、量子物理学产生的历史背景,（一）,几个主要的经典物理学问题,19,世纪末、,20,世纪初经典物理学理论发展到相当完善的地步，一般的物理现象都可归结于经典物理学理论。,1.,行星运动,牛顿力学,2.,热运动,热力学与玻耳兹曼统计等理论,3.,电磁运动,麦克斯韦方程组,RETURN,7,（二）,经典物理学的困难与量子物理学的诞生,1.,黑体辐射问题,一个能全部吸收投射在其上面的辐射而无反射的物体称为绝对黑体，简称黑体。,能量密度,/,10,-4,cm,0,5,10,热平衡时，只与黑体的绝对温度,T,有关,而与黑体的,形状,和,材料,无关,。,8,（,1,）维恩（,Wien,）,经验公式,高频部分与实验相符。,（,2,）瑞利,-,金斯,(Rayleigh-Jeans),公式,低频部分与实验相符；,紫外发散困难：,时，,实验,瑞利,-,金斯,维恩理论值,T=1646,T,理论与实验发生巨大矛盾,？,9,（,3,）,普朗克,（,Planck,）,公式,普朗克,假说,（,1900,年）：,黑体分子（原子）可视为线性谐振子，,以,h,（能量子）为能量单位不连续地发射和吸收辐射能量（,h,称为普朗克常量）,普朗克,Max Planck(1858-1947),因发现,能量子,荣获,1918,年诺贝尔物理学奖,普朗克公式：,10,低频极限：,高频极限：,意义：,解决了物理学中的紫外实验困难问题,统一了,维恩,和瑞利,-,金斯公式,提出能量量子化的概念,奠定了量子理论基础,RETURN,11,2.,光电效应问题,光电效应：,光照射到金属表面上时，有电子从金,属表面上逸出的现象。,光的频率大于某一定值（遏止频率）时，才有光电子逸出，与光强无关。,光电子能量仅与光的频率有关，且成线性关系，与光强无关。光强只影响光电子数目。,当光的频率大于遏止频率时，不管光多么微弱，光电子在光照的瞬间（,10,-9,s,）就会逸出。,经典理论的困难：,光的能量决定于光的强度即波幅,与频率无关。,12,爱因斯坦理论：,单色光的能量是成包的，每包大小为,h,，当光照射金属表面时，这能量全部传给金属中的电子。电子用此能量来克服金属表面对它的束缚做功，剩余部分便是电子离开金属表面后的动能。,因发现,光电效应,和对,理论物理学,的贡献荣,获,1921,年诺贝尔物理学奖,爱因斯坦,Albert Einstein,(1879-1955),13,光电方程,v,m,-,电子脱离金属表面后的速度,m,e,-,电子质量,W,0,-,金属脱出功,其中：,RETURN,14,3.,康普顿（,Compton,）效应,康普顿效应：,高频,X,射线经物质散射后，散射光,波长随散射角增加而增大的现象。,石墨体,X,射线谱仪,经典理论困难：光被散射后波长不变。,15,康普顿假设：,波长随散射角增加而增大是,X,射线的光子与电子碰撞的结果。,q,j,c,h,n,m,v,x,-,c,h,n,康普顿,A.H.Compton,(1892-1962,）,因发现康普顿效应,荣获,1927,年,诺贝尔物理学奖,16,根据能量守恒：,根据动量守恒：,（）,解之：,注意到：,17,则：,电子康普顿散射波长,结论：,或,其中：,光是由光子组成，能量是量子化的,;,微观碰撞事件中能量、动量守恒。,意义：,RETURN,18,4.,原子结构及其光谱问题,实验：（,1,）原子是稳定的；,（,2,）氢原子光谱是分立谱线：,1911,年卢瑟,福,粒子散射实验，原子是有核结构。,经验公式：,（巴耳末公式）,m,-1,氢的里德伯常量,700nm,400nm,500nm,600nm,656.3nm,486.1nm,434nm,19,莱曼系,（紫外光）,-,=,2,2,1,1,1,n,R,H,n,巴耳末系,(,可见光区,),-,=,2,2,1,2,1,n,R,H,n,布拉开系,（红外区）,-,=,2,2,1,4,1,n,R,H,n,普丰德系,（红外区）,-,=,2,2,1,5,1,n,R,H,n,帕邢系,（红外区）,-,=,2,2,1,3,1,n,R,H,n,20,玻尔理论,（,1913,年）：,原子具有能量不连续的定态，角动量是量子化的；,原子可由能量为,E,m,的定态跃迁到能量为,E,n,的定态。,辐射谱线的频率,量子化条件：,玻 尔,Niels Bohr,(1885,1962),因,研究原子结构和原子辐射所作出的贡献,荣获,1922,年诺贝尔物理学奖,21,巴耳末公式的推导：,解 之,22,所 以,10,0973731,.,1,8,1,7,3,2,0,4,-,=,=,m,c,h,m,e,R,e,理,实验值,10,096776,.,1,1,7,-,=,m,R,实,理论值,23,n=4,n,=3,n,=2,n,=1,r,=,a,1,r,=4,a,1,r,=9,a,1,r,=16,a,1,莱曼系,巴耳末系,帕邢系,24,=,n,1,2,3,5,4,氢原子能级图,13.58,3.39,1.51,0.85,0.54,0,E,n,(eV),莱曼系,巴耳末系,帕邢系,布拉开系,25,玻尔理论是经典物理与量子物理的“混合物”，它保留了经典的确定性轨道，另一方面又假定量子化条件来限制电子的运动。它不能解释稍微复杂的问题，正是这些困难，迎来了物理学的大革命,。,注：,玻尔理论存在的缺陷：,理论推导不自洽（该理论是以牛顿力学经典理,论为基础的，但定态不产生辐射又与经典理论,自相矛盾）。,量子化条件带有人为性质，没有指出量子化结,果的本质原因是什么；,26,为克服经典物理所遇到的困难，人们在经典物理的基础上加上了一些能量量子化的假设，由此虽然解决了许多问题，但并没有从根本上解决能量不连续的本质问题。这一切都推动着理论的发展。量子力学（,1923-1929,）就是在克服这些困难中建立起来的。,20,世纪,20,年代量子物理学的两种等价理论同时提出：,波动力学和矩阵力学,。,27,RETURN,量子力学发展简史,A,旧量子,论的形成（冲破经典,量子假说）,1900,年 普朗克（,Planck,）,振子能量量子化,1905,年,爱因斯坦,（,Einstein,）,电磁辐射能量量子化,1913,年 玻尔（,N.Bohr,）,原子能量量子化,B,量子力学的建立（崭新概念）,1923,年 德布罗意（,de Broglie,）,电子具有波动性,1926,1927,年 戴维孙（,Davisson,）,电子衍射实验,1925,年 海森伯（,Heisenberg,）,矩阵力学,1926,年 薛定谔（,Schr,edinger,）,波动方程,1928,年 狄拉克（,Dirac,）,相对论波动方程,28,三 量子力学的应用简介,1.,量子力学是现代物理学和其他自然学科的基础,2.,量子力学是现代高新技术的基础,量子光学、量子电动力学、量子统计物理学、量子化学、量子生物学、量子信息学等。,计算机技术、激光技术、电子及光通信技术、材料技术等,RETURN,29,量子力学,30,第二章,波函数和薛定谔方程,2.1,波函数及其统计解释,2.2,态叠加原理,2.3,含时薛定谔方程,2.4,定态薛定谔方程,2.5,薛定谔方程的简单应用,2.6,势垒贯穿,2.7,例 题,RETURN,31,2.1,波函数及其统计解释,一、波粒二象性,二、波函数,三、波函数的统计解释,RETURN,32,第二章 波函数,和薛定谔方程,2.1,波函数及其统计解释,一、波粒二象性,1.,光的波粒二象性,光子的能量和动量,(,其中,，,),33,2.,微观粒子的波粒二象性,德布罗意假说（,1924,年）：,一切实物微粒也具有波动性。,德布罗意,de Broglie,(1892,1987),因发现,电子的波动性,荣获,1929,年,诺贝尔物理学奖,34,与能量为,E,及动量为,p,的粒子相联系的波（物质波）的频率及波长为,例：,自由粒子,则波长,电子在电场中,则波长,35,定态 驻波,例题,粒子在无限深势阱中运动。,n,=0,，,a,，为节点,驻波条件：,所以,能量不连续,解：,o,a,36,驻波条件：,轨道圆周长,=n,倍周长,m,v,h,p,h,=,=,l,所以，角动量为,角动量是量子化的,德布罗意关系：,驻波,2,=,n,r,l,p,),2,1,(,=,n,例题,氢原子的角动量。,解：,问题,物质粒子既然具有波动性，为什么,过去长期把它们看成经典粒子？,37,例题,质量,m,、带电荷,q,的粒子，在与均匀磁场,B,垂直,的平面内运动，利用玻尔量子化条件，求粒子,能量的可能值。,解,该带电粒子的机械动量 与正则动量 的关系为,设磁场方向垂直穿出纸面，粒子在纸面内做圆周运动，半径为,r,。由玻尔条件,于是，,38,又因洛伦兹力 ，使粒子做圆周运动,.,与玻尔量子化条件联立,得,所以,粒子能量可能值为,39,V(x),V(x),（,1,）,德布罗意,革末（,DavisonGermer,）,电子衍射,实验：,（,德布罗意,假说验证，,1927,年,）,3.,德布罗意假设的实验验证,电子枪,探测器,q,q,d,40,单晶表面等效的一个反射光栅,q,sin,2,25,.,12,d,k,U,=,（,2,）汤姆孙电子衍射实验,电子束,金箔,屏,电子枪,代入,41,电子通过金属多晶薄膜的衍射实验,电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验,（汤姆孙,1927,年）,（约恩逊,1961,年,),42,P,Q,D,d,B,s,1,s,2,S,电子源,电子的双缝衍射实验,以,E,1,和,E,2,分别表示穿过狭缝,S,1,和,S,2,到达,P,点的电子波振幅,上图中光程差,S,2,Q,=,d,sin,在,P,点电子波振幅为,43,实验证明：,电子、质子、原子、分子等都具有波,动性；波动性是物质粒子普遍具有的。,戴维孙、汤姆孙因,电子衍射实验,获,1937,年诺贝尔物理学奖,Clinton Davisson,18811958,P,点电子流的强度,当 时,电子强度为极大,此结果为实验所证实,.,RETURN,44,二、波函数,量子力学基本假说之,一,：,一,切微观粒子的状态可用相应的波函数来描写,.,自由粒子：,是常量 是常量 平面波,自由粒子平面波函数,用一个函数描写粒子的波,称这个函数为波函数。,RETURN,45,三、波函数的统计解释,1.,粒子和波,关系,两种错误观点：,电子波是电子的某种实际结构，即电子是三维空间连续分布的某种物质的波包。,波是由其所描写的粒子分布于空间而形成的疏密波。,电子所呈现出来的粒子性只是经典粒子概念中的,“,颗粒性,”,，电子呈现的波动性也只是波动性中最本质的东西,波的,“,叠加性,”,。电子是具有波粒二象性的物质客体。,46,2.,概率波,德布罗意：,“,物质波,”,不是经典波所代表的某种物理量的波动，而是所描写粒子空间分布的概率波，把粒子的,“,原子性,”,与波的,“,叠加性,”,统一了起来。,电子衍射实验：,电子束,金箔,屏,电子枪,47,x,处电子数,又因为强度 波幅平方,所以，电子在,t,时刻，,x,处的概率电子波函数的模方,因为,x,处的强度,x,处感光点子数,电子出现,x,处的几率,玻恩（,M.Born),：在某一时刻,空间,x,处粒子出现的概率正比于该处波函数的模方。粒子在空间出现的概率具有波动性的分布，它是一种概率波。,48,设波函数,(,),t,z,y,x,t,时刻处于,xx+,d,x,，,yy+,d,y,，,zz+,d,z,内的概率,概率密度：,3.,波函数的性质,(1),是单值、有界、连续的；,(,),t,z,y,x,(2),与 描写同一状态。,(,),t,z,y,x,(,),t,z,y,x,C,49,(3),波函数的归一性,即粒子在全空间出现的概率和等于,1,是平方不可积的,则可,归一,为,d,函数,(,),t,z,y,x,是平方可积的,则可,归一化，,如：平面波函数,50,(,),2,1,2,1,h,p,=,A,取,所以,箱归一化,加上周期性边界条件限制,L,周期,4.,存在不确定的相因子 （其既不影响空间各,点粒子的概率，也不影响到归一性）,d,i,e,51,设归一化因子为,C,，则归一化的波函数为,取,0,，则归一化的波函数为,解：,例题,将波函数 归一化,(,),(,),2,exp,2,2,x,x,f,a,-,=,计算积分得,所以，,由,RETURN,52,2.2,态叠加原理,一、量子态,二、态叠加原理,量子力学假设之二,RETURN,53,2.2,态叠加原理,一、量子态：,二、态叠加原理,量子力学假设之二,量子力学叠加原理：,如果 和 是体系的可能态，则它们的线性叠加 也是体系的可能态。,设,态中测力学量,A,值为 ，态中测力学量,A,值为,则 态中测,A,结果既可能是 ，也可能是 。或：体系处于,态时，体系既处在态,又处在态 。,1,a,1,1,a,2,2,a,2,=+,1,2,c,1,c,2,a,1,波函数描写体系的量子状态。,54,一般来说，任何一个波函数都可以看作是各种不同动量的平面波的叠加,其中,其中,推广,55,注：,动量表象,坐标表象,与 是互为付氏变换式。,的归一性：,（,2,）同一量子态可用不同形式的波函数表示。,（,1,）态叠加原理指的是波函数（概率幅）的线,性叠加，而不是概率的叠加。,RETURN,56,2.3,含时薛定谔方程,一、方程的建立,二、方程的讨论,RETURN,57,2.3,含时薛定谔方程,一、方程的建立,量子力学基本假设之三：,量子态随时间的变化规律满足薛定谔方程,.,1.,含时薛定谔方程,建立,（,1,）单粒子体系的薛定谔方程,设粒子在势场 中运动，则粒子能量,(,),x,U,r,58,作代换,能量算符,动量算符,薛定谔方程,由,特例：,自由粒子的含时薛定谔方程,59,2.,多粒子体系的非相对论薛定谔方程,体系的能量,作代换,薛定谔方程：,其中：,一般方法：,根据非相对论能量动量关系式（体系的哈密顿式），用能量算符和动量算符代替能量和动量分别作用于波函数上，便可得到量子体系所满足的薛定谔方程。,60,注：,（,2,）方程为什么不是时间,t,的二阶导数,？,（,1,）方程不是由更基本的假定从数学上严格推,导出来的。它是量子力学的一个基本假定。,薛定谔方程是非相对论微观粒子的基本方程，地位同经典物理的牛顿定律。,薛定谔,Schr,dinger Erwin,奥地利人,（,1887,1961,）,因,发现原子理论新的有效形式与狄拉克,荣获,1933,年,诺贝尔物理学奖,RETURN,61,二,.,方程的讨论,设,t,时刻，,x,点周围单位体积内粒子出现的概率,1.,概率流密度和守恒定律,概率随时间的变化规律,因为,62,其中：,则,J,概率流密度矢量,注：,几率流密度矢量,的物理意义,单位时间体积,V,内增加的概率等于从体积,V,外部穿过界面,S,流入,V,内的概率。,63,电荷守恒方程,粒子电荷为,e,电流密度：,电荷守恒方程：,电荷密度为,e,w,w,e,=,单位时间体积,V,内电荷增量等于单位时间由,V,表面流入,V,内的电量,64,2.,波函数的归一不变性,若波函数是归一化的，即,则将保持归一性不变。,当,V,时,所 以,RETURN,65,2.4,定态薛定谔方程,设势场,U,(,x,),与,t,无关,令特解,代入薛定谔方程,定态波函数,(,),x,E,v,y,满足,：,得：，则有,66,定态薛定谔方程,若记哈密顿算符,则定态薛定谔方程,注：,定态的特点,（,1,）概率密度、概率流密度与时间,t,无关,（,2,）力学量取各种可能值的概率分布与,t,无关,（,3,）力学量平均值与,t,无关,RETURN,67,2.5,薛定谔方程的简单应用,一、一维无限深方势阱,二、线性谐振子,RETURN,68,2.5,薛定谔方程的简单应用,一、一维无限深方势阱,根据定态薛定谔方程：,因,U,0,，,根据波函数的连续性和有限性条件，得,U(x),x,o,a,a,阱外,69,解得,阱内,由波函数连续性条件,由此得到,A,与,B,不能同时为零，因此得两组解,70,由此可得,对于第一组解,n,为奇数,两组解可合并为,对于第二组解,n,为偶数,71,体系的能量,归一化：,所以,波函数,72,E,正比于,n,平方,能级越高,能级间隔越大。,基态,:,n,=,1,，能量最低状态,.,波函数无结点。第,k,个激发,态,n=k,+1,有,k,个结点,节点,的存在是量子效应,.,束缚态,:,无限远处为零的波函数描写的状态。,当,n,时,能量可认为是连续的。,注：,(x),x,o,a,1,y,E,1,3,y,E,3,2,y,E,2,4,y,E,4,-a,RETURN,73,二、线性谐振子,2,2,2,2,1,2,1,),(,x,m,kx,x,U,w,=,=,粒子势能为,根据定态薛定谔方程：,令,其中,:,k,或,是常数的体系称为线性谐振子。,74,考察的,渐近形式,设,且当,时，,H,(,),有限,利用级数解法，为使当,时,有限，,应取奇数,故：,线性谐振子的能级,75,能量本征波函数,由归一化条件：,利用厄米多项式的正交条件,得归一化常数,76,注：,（,1,）能量量子化,基 态：,零点能：,能量不等于零的最低的基态,能量称为零点能。,（,2,）,n,的奇偶性决定了谐振子波函数的奇偶性,n,偶数 具有,偶宇称,n,奇数 具有,奇宇称,77,（,4,）常用递推公式,2,(x),x,（,3,）本征函数和概率密度分布,2,(x),RETURN,78,2.6,势垒贯穿,一、势垒贯穿,二、应用,RETURN,79,2.6,势垒贯穿,势垒贯穿效应：,当粒子能量低于势垒时仍有一定概率贯穿势垒，称为势垒贯穿效应，又称隧道效应。,一、势垒贯穿,势垒贯穿效应（隧道效应）是一纯量子效应。,80,设,根据定态薛定谔方程：,隧道效应,E,1,2,0,a,U,0,x,区,区,区,3,81,讨论：,（,1,）当 时，令,0,U,E,利用波函数连续条件：,解得,82,联立解得,83,入射波的概率流密度,透射波的概率流密度,反射波的概率流密度,D,=,透射波概率流密度入射波概率流密度,透射系数,D,84,反射系数,R,R,=,反射波概率流密度入射波概率流密度,容易证明：,（,2,）当 时，令,0,U,E,85,3,2,i,k,k,用 代换,透射系数,D,反射系数,R,86,如果粒子能量很小，使得,1,，,3,a,k,a,k,a,k,e,。,e,1,3,-,透射系数,D,随势垒的加高、加宽而减少。,如果势垒的形状是任意的，整个势垒看做是许多方形势垒组成的。贯穿整个势垒的透射系数应等于贯穿所有这些方形势垒的透射系数之积。设每个方形势垒宽为,d,x,，高为,U,(,x,),则,则有,87,讨论：,（,1,）全反射：,D,随势垒宽度,a,和高度,U,0,增大而衰减,.,若设,a,或,U,0,则,D,0,即无透射波，粒子在势垒边界全反射。,反射系数：,势垒为无限大时，,。,反射波与入射波位相差为,（反射波落后入射波）即存在所谓半波损失。,即有,k,3,a,，,，,88,则,D,=1,，,R,=0,即粒子全部通过势场，称为,共振散射。,（,2,）当 时，若,即粒子能量为,RETURN,89,二、应用,（,2,）扫描隧穿显微镜（,STM,）,隧道电流,I,与样品和针尖间距离,d,的关系,（,1,）,衰变，金属冷电子发射,隧道电流,I,U,d,探针,样品,k,为,常量,为,样品表面平均势,垒高度,（,eV,）,图像处理系统,90,48,个,Fe,原子形成,“,量子围栏,”,，围栏中的电子形成驻波。,STM,用于观察表面的微观结构（不接触、不破坏样品）,宾尼 罗尔,G.Binning Rohrer,因设计出,STM,荣获,1986,年,诺贝尔物理学奖,91,隧道效应,经典,量子,RETURN,92,2.7,例 题,例题,设一维无限深方势阱宽为,a,求处于基态的粒,子的动量分布。,U(x),x,o,a,根据定态薛定谔方程：,解得,a,x,0),能量为,E,的粒子从左方入射，求透射系数。,根据定态薛定谔方程：,即,98,将此波函数代入一阶导数在,x=a,处不连续条件,有,波函数可写为,其中波矢量,可见波函数一阶导数在,x=a,处不连续，但是这个问题的粒子几率连续，故波函数连续。,由波函数,(,a,),连续,99,消去,R,得透射系数,RETURN,100,量子力学,101,第三章 量子力学中的力学量,3.1,表示力学量的算符,3.2,动量算符和角动量算符,3.3,厄米算符本征函数的正交性和完备性,3.4,算符间的对易关系 不确定关系,3.5,力学量平均值随时间的变化 守恒定律,3.6,中心力场问题,氢原子,3.7,例题,RETURN,102,3.1,表示力学量的算符,一、力学量的算符表示,二、,算符的基本性质,三、表示力学量的算符应是线性、厄米算符,RETURN,103,3.1,表示力学量的算符,引,量子力学量特点：,任何状态下，一般具有一系列可能值，每个可能值以一定的概率出现。,经典力学量特点：,任何状态下，都有确定解。,力学量如何表示,一、力学量的算符表示,104,1.,力学量的期望值与算符的关系,(1),坐标的期望值,同 理：,粒子处于处的概率密度,所以,量子态的平均值（力学量,F,在,态中的平均值）称为期望值。,105,(2),势能期望值,(3),动量的期望值,粒子动量概率密度,粒子动量期望值,x,分量：（以一维情况为例）,其中,106,所以,107,同 理：,推广至三维情况,由此得到计算期望值的一个新的数学工具,算符,一般地，粒子的任何一个力学量,A,的期望值：,108,结论,：,量子力学中力学量的期望值,A,与相,应的算符对应,109,2.,力学量的可能值与算符的关系,一维无限深势阱中运动粒子,能量的可能值即为相应算符的本征值。,能量可能值,110,结论,：,力学量,F,的可能值与相应算符的本征值对应,量子力学中力学量与力学量算符的这种对应关系称之为：,力学量算符表示力学量。,基本假定：,如果力学量,F,的相应算为 ，则力学量,F,的可能值即为 的本征值,当系统处于 的本征态时,力学量,F,有确定值，亦即在,态中 的本征值。,111,3.,量子力学中力学量算符的构成规则,例,角动量,角动量算符,如果量子力学中的力学量,F,在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符 由经典表示式,F,(,r,p,),中将,r,p,换成相应的算符而构成。,RETURN,112,二、算符的基本性质,2,基本性质,其中,为任意函数,则称两算符相等,即,1,定义,算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号,（,1,）算符相等,（,2,）单位算符,如果两算符 满足,作用到任意函数,上,不变,113,（,3,）算符之和,满足：,加法交换律,加法结合律,（,4,）算符乘积,一般,则称二者不对易。,则称两算符对易。,若,为任意函数,即,两算符与之和定义为,两算符与之积定义为,114,则称两算符反对易。,若,为任意函数,即,（,5,）逆算符,或 如果两算符满足,则称两者互为逆算符,.,记,且有,设 能唯一的解出,则定义,的逆算符为,115,（,6,）算符的转置、复共轭及厄米共轭,量子系统任意两波函数的标积：,性质,:,算符的转置算符,或,116,证明,:,117,例题,求动量的转置算符。,所以,算符的复共轭算符,把算符中的所有复量换成共轭复量。,如：动量的复共轭算符,解,118,厄米共轭算符,或,因,为任意函数,于是,（,7,）幺正算符：,若 或,则称为么正算符。,119,（,8,）算符的函数,其中,（,9,）线性算符,满足运算规则,的算符 称为线性算符，,c,1,，,c,2,是任意常数。,120,（,10,）厄米算符,可以证明,:,若,即,则称为厄米算符,例,动量算符 是线性算符,注：,期望值为实数的算符必为厄米算符。,厄米算符的期望值都是实数。,所以 是实数。,121,注：,厄米算符的本征值必为实数。,设,因为,所以,则有,3,算符的本征值方程,则称,为 的本征值，,为属于,的本征函数，上述方程称为算符 的本征值方程。,如果算符 作用于一个函数,，结果等于乘上一个常数,乘上这个函数,，,即,122,例题,证明动量算符是厄米算符。,解,因为,所以,或,例题,证明,解,所以,因为,RETURN,123,三、表示力学量的算符应是线性、厄米算符,1,线性：,态叠加原理的要求。,2,厄米性：,因力学量的可能值为相应算符的,本征值，且应为实数，而厄米算,符的本征值定为实数。,结论：,量子力学中表示力学量的,算符应该为线性厄米算符。,RETURN,124,3.2,动量算符和角动量算符,一、动量算符,二、角动量算符,RETURN,125,3.2,动量算符和角动量算符,一、动量算符,本征值方程：,三个分量方程：,解之得,126,归一化常数的确定：,动量的本征函数,所以,RETURN,127,二、角动量算符,直角分量：,角动量平方算符：,128,在球坐标系中：,129,因为,130,所以,131,132,角动量平方算符的本征函数和本征值,分离变量,代入上式，再乘以 ，得,由,133,由周期性条件,所以,得,由归一化条：,得,134,令 ，,则化为连带勒让德方程,x,=,1,是正则奇点，其余点均为常点,利用级数解法，,时，,当,得物理上允许的解：,135,所以,角动量动量平方算符的本征函数,球谐函数,由归一化条件：,角动量平方算符的本征值：,角动量,z,分量算符的本征函数和本征值：,136,注：,角动量平方、角动量,z,分量算符的本征值,对应于 的一个本征值：,2,L,2,),1,(,h,，,+,l,l,有,2,l,+1,个不同的本征函数，称为,2,l,+1,度简并的，,l,称角量子数，,m,称磁量子数。,封闭性：,RETURN,137,3.3,厄米算符本征函数的正交性和完备性,一、正交性,二、完备性,三、力学量的可能测值,RETURN,138,3.3,厄米算符本征函数的正交性和完备性,一、正交性,1.,定义：,如果两函数满足,则称两函数相互正交。,2.,定理：,厄米算符的属于不同本征值的两个,本征函数相互正交。,证明：设厄米算符的本征函数为,相应的本征值为,139,对于不同本征值的本征函数，如,所以，两函数正交。,注：,对于属于 的简并的波函数，一般相互间不一定正交，但可采用施密特正交化方法使其正交归一化。,140,3.,正交归一系,满足条件：,函数系 构成正交归一系。,l,j,j,或,k,例：,（,1,）线性谐振子能量本征函数构成正交归一系,),(,2,2,2,1,x,H,e,N,n,x,n,n,a,y,a,-,=,或,141,（,2,）角动量,z,分量算符的本征函数构成正交归一系,（,3,）角动量平方算符的本征函数构成正交归一系,（,4,）一维无限深方势阱（宽为,a,）的能量本征函数,构成正交归一系,RETURN,142,二、完备性,1.,定理,厄米算符,F,的本征函数,构成一完备的正交函数系，由该函数系为基矢所张开的空间称为希尔伯特空间（函数空间）。体系的任何一个状态,可以,为基展开为级数，即,（,F,具有分立谱）,（,F,具有连续谱）,或,其中,其中,143,2.,本征函数完备性条件,封闭性关系,分立谱：,上式中,其中,144,连续谱：,封闭性关系：,既有分立谱又有连续谱：,封闭性关系：,其中,145,（,1,）,归一化条件,（,2,）任一力学量平均值,注：,物理意义：,表示任意,态中,系统处于,（本征值为 ）的概率。,2,n,C,n,j,n,l,的物理意义,RETURN,146,三、力学量的可能测值,态下,多次测量力学量的平均值趋于一个确定值，而每次测量的结果，围绕平均值有一个涨落,若体系处于一种特殊状态，使得测量力学量所得的结果是完全确定的，即涨落为零,对于特殊状态显然有,为常数。,147,记,基本假定：,测量力学量时，所有可能出现的值,都是相应的线性厄米算符的本征值。,148,解,根据,把,按动量本征函数展开,其中,因为,，,例题,已知氢原子处于基态，,求其电子动量的概率分布。,149,所以，动量几率分布密度：,RETURN,150,3.4,算符间的对易关系 不确定关系,一、算符间的对易关系,二、对易关系的物理意义,三、非对易关系的物理意义,不确定关系,RETURN,151,3.4,算符间的对易关系 不确定关系,一、算符间的对易关系,1.,基本对易式,因为,所以,152,同理：,2.,角动量算符的对易式,同理：,153,角动量算符定义：,Levi-Civita,符号,同理可证：,即,其中,154,例题,证明,因,是任意的函数，所以,解,取任意函数,，由于,155,解,例题,证明 。,，,因为,所以,又因,同理,同理,RETURN,156,二、对易关系的物理意义,证明：,设 ，,定理：,如果两个算符 和 有一组共同的本征,函数，而且组成完备系，则算符 和,对易。,F,n,f,G,F,G,因为,即有,一般情况：设任意波函数态为,，因 组成完备,系，所以,n,f,157,即有,设 ，则,因为,所以,证明：,（,1,）非简并,2.,定理：,如果两个算符 、对易，则这两个算符,有共同的本征函数，这些本征函数组成,完备系。,F,G,即 也是本征值为 的本征函数,158,又因 是无简并的，所以：,n,f,n,y,与 描写同一个状态，二者只差一个常数。,n,G,y,n,n,n,g,G,y,y,=,则,故：也是 的本征函数,G,n,y,是 和 的共同本征函数,n,y,F,G,（,2,）简并时,n,s,设 的本征值 有简并，简并度为,F,n,f,也是 属于 的本征函数,n,G,F,n,f,因为,所以,159,因有简并,n,G,故 与 所描写量子态不一定相同。,n,G,即：的本征函数 不一定是 的本征函数。,F,n,令,F,设：，共同的本征函数为,G,n,y,n,f,显然，是,F,的本征函数,本征值为 。,n,y,G,n,y,为使 也是的 本征函数，令,g,是 的本征值。,G,其中,160,（线性齐次方程组）,由,同乘 ，积分,*,j,n,j,分别将 代入前式可得对应于每个 的一组解,j,g,j,g,若无重根：,可解出 个,j,g,n,s,ij,a,161,所以相应的波函数,满足,所以,:,j,g,G,可按 的 个本征值 来分类,n,s,一组,确定的本征函数 ，度简并解除。,),(,j,n,g,f,j,n,n,s,F,即,:,是 、的共同本征函数,本征值分别为 。,n,y,G,162,与 、对易的力学量，才能确定体系的状态。,F,G,若 有重根：,则还需再找出,0,),det(,=,-,ji,ji,g,G,d,对易关系的物理意义：,若两算符对易，则两算符存在共同的本征函数。在其共同本征函数所描写的态中，两算符表示的力学量同时有确定的值。,因为 的本征函数 构成完全系，所以 、,的共同本征函数也组成完全系。,F,G,n,y,F,163,如：,动量 满足 ，,有共同的本征函数。,相应的本征值为：,氢原子的 满足：,164,共同本征函数,3.,力学量完全集,要完全确定系统所处的状态，需要一组相互对易的力学量（通常通过它们的本征值），这一组完全确定体系状态的力学量称之为力学量的完全集。,其中 在 态下，能量、角动量平方、角动量,z,分量同时具有确定值。,nlm,y,165,如：,本征值有简并：,2,L,),，,(,j,q,lm,Y,),1,(,2,l,l,+,h,确定的 ，有,2,l+,1,个,要完全确定状态 ，需确定,m,当,l,、,m,),(,j,q,lm,Y,同时确定时，状态才能唯一确定。而,m,与力学,量 相对应。即需另找一个与 对易的力学量，才能完全确定状态。,z,L,2,L,),(,2,z,L,L,r,构成一组力学量完全集。,一般情况，力学量完全集所包含的力学量个数等于体系的自由度。,例,:,三维空间中自由粒子的自由度是,3,完全确,定它的状态需 三个力学量。,氢原子中电子自由度是,3,完全确定它的状,态需,3,个相互对易的力学量,.,RETURN,166,三、非对易关系的物理意义,不确定关系,下面讨论一般情况：,设任意两力学量，相应的算符且满足,相应的涨落,考虑积分：,问题：,若系统处于,F,的本征态，测力学量,F,时，,F,有确定值，亦即涨落 ，如同时测量另一力学量,G,，则,167,由不等式成立条件：,因为,又,所以,168,不确定关系：,故有,或,如：,坐标与动量的测不准关系：,能量与时间的测不准关系：,169,注：,不确定关系是物质粒子波粒二像性矛盾的反映，标志着经典粒子及力学量的概念对于微观粒子的适用程度。由于普朗克常量非常小，在一般的宏观现象中，不妨引用轨道的概念，但在处理微观世界中的现象时，必须用不确定关系。,170,例题,用不确定关系计算线性谐振子的基态零点能量。,解,由于谐振子平均能量为,由于,故,由于,171,令,有,所以,故,因此,172,例题,利用不确定关系估计氢原子的基态能量。,解,由氢原子的能量公式,平均能量,因,173,所以,令,有,故：当 时，,2,2,s,e,r,m,h,=,D,氢原子的最小（基态）能量,RETURN,174,3.5,力学量期望值随时间的变化 守恒定律,一、力学量的期望值随时间的变化,二、守恒量与对称性的关系,RETURN,175,3.5,力学量期望值随时间的变化 守恒定律,一、力学量的期望值随时间的变化,量子力学中，处于一定状态下的体系，在每一时刻，不是所有的力学量都具有确定的值，而只是具有确定的期望值及概率分布。,力学量,F,的期望值,力学量,F,的期望值随时间的变化率,176,注意到,则有,即,177,力学量期望值随时间的变化率,守恒量的特点：,力学量期望值不随时间变化，。,0,=,dt,F,d,力学量的可能测量值的概率分布不随时间变化。,注：若 不显含,t,且,则 称为体系,的守恒量。,0,=,H,F,F,F,178,如：,（,i,）自由粒子动量,动量守恒,（,ii,）粒子在中心力场中运动的角动量,同理