II范希尔的几何思维水平理论.ppt

II.范希尔的几何思维水平范希尔的几何思维水平起因起因 在在50年代的荷年代的荷兰兰，几何教学所面，几何教学所面临临的的问题问题是是很普遍的（很普遍的（Freudenthal,1958）。范希）。范希尔尔夫夫妇妇（Pierre Van Hiele&Dina Van Hiele）作）作为为荷荷兰兰一所中学的数学教一所中学的数学教师师，每天都，每天都亲亲身身经历经历着着这这些些问问题题。最。最让让他他们们感到困惑的是教材所呈感到困惑的是教材所呈现现的的问题问题或或作作业业所需要的所需要的语语言及言及专业专业知知识识常常超出了学生的常常超出了学生的思思维维水平，水平，这这使得他使得他们们开始关注皮开始关注皮亚亚杰的工作。杰的工作。经过经过一段一段时间时间的研究，他的研究，他们们提出了几何思提出了几何思维维的五的五个水平。个水平。这这一成果最初一成果最初发发表在他表在他们们夫夫妇妇于于1957年年在在乌乌特勒克大学共同完成的的博士特勒克大学共同完成的的博士论论文上。文上。评价评价前前苏联苏联学者很快就注意到了范希学者很快就注意到了范希尔尔的思想，他的的思想，他的论论文文（1959）在）在1963年就由皮什卡年就由皮什卡罗罗（A.M.Pyshkalo）作了）作了详详尽的尽的报报道。道。10年之后，美国人才开始了解范希年之后，美国人才开始了解范希尔尔的工作。在的工作。在1974年召开的大西洋城年召开的大西洋城NCTM年会上，芝加哥大学的威年会上，芝加哥大学的威兹兹普普（Isaak Wirszup）将范希）将范希尔尔的思想正式介的思想正式介绍给绍给了美国学者，了美国学者，并同并同时时介介绍绍了前了前苏联苏联几何教学的几何教学的“惊人惊人进进展展”。威。威兹兹普的普的报报告告后来以后来以“几何教学心理学中的一个重大突破几何教学心理学中的一个重大突破”为标题发为标题发表在表在Martin 和和Bradbard主主编编的著作上（的著作上（Wirszup，1976）。）。与与此此同同时时，弗，弗赖赖登塔登塔尔尔也提供了思也提供了思维维水平在数学水平在数学归纳归纳法学法学习习中中的范例。他的范例。他发现发现，数学，数学归纳实际归纳实际上也是沿着五个思上也是沿着五个思维维水平水平发发展的（展的（Freudenthal,1973,p123）。所有）。所有这这一些，使范希一些，使范希尔尔理理论论引起了全世界的广泛关注，并成引起了全世界的广泛关注，并成为为上世上世纪纪80年代几何教年代几何教学研究的一个学研究的一个热热点。点。水平的划分水平的划分层层次次0视觉视觉(visuality)层层次次1分析分析(analysis)层层次次2非形式化的演非形式化的演绎绎(informal deduction)层层次次3形式的演形式的演绎绎(formal deduction)层层次次4严严密性密性(rigior)层次层次0视觉视觉(visuality)儿童能通儿童能通过过整体整体轮轮廓辨廓辨认图认图形，并能操作其几何构形，并能操作其几何构图图元素（如元素（如边边、角）；能画、角）；能画图图或仿画或仿画图图形，使用形，使用标标准或不准或不标标准名称描述几何准名称描述几何图图形；能根据形；能根据对对形状的操形状的操作解决几何作解决几何问题问题，但无法使用，但无法使用图图形之特征或要素名形之特征或要素名称分析称分析图图形，也无法形，也无法对图对图形做概括的形做概括的论论述述.如：如：儿童可能会儿童可能会某个某个图图形是三角形，因形是三角形，因为为它看起它看起像像一个三明治。一个三明治。层次层次1分析分析(analysis)儿童能分析儿童能分析图图形的形的组组成要素及特征，并依此建立成要素及特征，并依此建立图图形的特性，利用形的特性，利用这这些特性解决几何些特性解决几何问题问题，但无，但无法解法解释释性性质间质间的关系，也无法了解的关系，也无法了解图图形的定形的定义义；能根据能根据组组成要素比成要素比较较两个形体，利用某一性两个形体，利用某一性质质做做图图形分形分类类，但无法解，但无法解释图释图形某些性形某些性质质之之间间的关的关联联，也无法也无法导导出公式和使用正式的定出公式和使用正式的定义义。如：儿童如：儿童会知道三角形有三条会知道三角形有三条边边和三个角，但和三个角，但能能解如解如果内角愈大，果内角愈大，则对边则对边愈愈长长的性的性质质。层次层次2非形式化的演绎非形式化的演绎(informal deduction)儿童能建立儿童能建立图图形及形及图图形性形性质质之之间间的关系，可以提出的关系，可以提出非形式化的推非形式化的推论论，了解建构，了解建构图图形的要素，能形的要素，能进进一步一步探求探求图图形的内在属性和其包含关系，使用公式与定形的内在属性和其包含关系，使用公式与定义义及及发现发现的性的性质质做演做演绎绎推推论论。但不能了解。但不能了解证证明与定明与定理的重要性，不能由不熟悉的前提去建立理的重要性，不能由不熟悉的前提去建立证证明明结结果果的成立，也未能建立定理网的成立，也未能建立定理网络络之之间间的内在关系。的内在关系。如：学生如：学生解了等腰三角形的性解了等腰三角形的性质质后，他后，他们们会推出会推出等腰直角三角形同等腰直角三角形同时时也是直角三角形的一种，因也是直角三角形的一种，因为为等腰直角三角形等腰直角三角形较较直角三角形多直角三角形多一些性一些性质质的限制。的限制。因此，学童能作一些非正式的因此，学童能作一些非正式的说说明但明但还还能作系能作系统统性的性的证证明明.层次层次3形式的演绎形式的演绎 学生可以了解到学生可以了解到证证明的重要性和了解明的重要性和了解“不定不定义义元素元素”、“定理定理”和和“公理公理”的意的意义义，确信几何定理是需要形式，确信几何定理是需要形式逻辑逻辑推演才能建立的，理解解决几何推演才能建立的，理解解决几何问题问题必必须须具具备备充分或充分或必要条件；能猜必要条件；能猜测测并并尝试尝试用演用演绎绎方式方式证实证实其猜其猜测测，能，能够够以以逻辑逻辑推理解推理解释释几何学中的公里、定几何学中的公里、定义义、定理等，、定理等，也能推理出新的定理，建立定理也能推理出新的定理，建立定理间间的关系网的关系网络络，能比，能比较较一个定理的不同一个定理的不同证证明方式；能理解明方式；能理解证证明中的必要与明中的必要与充分条件，例如至少有一个充分条件，例如至少有一个边对应边对应相等或至少一个角相等或至少一个角对应对应相等是相等是证证明两个三角形全等的必要条件，两角明两个三角形全等的必要条件，两角夹夹边对应边对应相等相等则则是两三角形全等的充分条件；能写出一是两三角形全等的充分条件；能写出一定理的逆定理，如平行四定理的逆定理，如平行四边边形的形的对对角角线线互相平分，其互相平分，其逆定理是逆定理是对对角角线线互相平分的四互相平分的四边边形是平行四形是平行四边边形。形。层次层次4严密性严密性 在在这这个个层层次能在不同的公理系次能在不同的公理系统统下下严谨严谨地建立定地建立定理以分析比理以分析比较较不同的几何系不同的几何系统统，如欧氏几何与非，如欧氏几何与非欧氏几何系欧氏几何系统统的比的比较较。水平的修正水平的修正（Van Hiele，1986）1.直直观观水平水平（visual level）整体地整体地认识认识几何几何对对象。象。Fuys,geddes,Lovett和和Tischler（1988）认为这认为这一一阶阶段是段是“学学习习者依据几何者依据几何图图形的外表来形的外表来认识认识，命名，比，命名，比较较，和画出，和画出这这些些图图形的形的时时候，像三角形，角度，平行候，像三角形，角度，平行线线”。2.描述水平描述水平（descriptive level）通通过过几何性几何性质认识质认识几何几何对对象。在象。在这这一一阶阶段学生按照段学生按照图图形的形的组组成部分和成部分和这这些些组组成部分成部分之之间间的的联联系来分析系来分析图图形。学生依据形。学生依据经验经验确立确立图图形的性形的性质质和使和使用用这这些性些性质质解决解决问题问题。3.理理论论水平水平（theoretical level）利用演利用演绎绎推理推理证证明几何明几何关系。在描述关系。在描述阶阶段中由段中由Murray（1997）提出的概念网）提出的概念网络图络图在在这这一一阶阶段完整和段完整和稳稳定了。学生理解和接受了准确的定定了。学生理解和接受了准确的定义义，学生学生谈论谈论形状形状时时涉及到涉及到这这些定些定义义，学生理解，学生理解图图形内部和形内部和图图形形之之间间的的联联系。系。这这一一阶阶段学生能段学生能够够运用运用“如果如果 那么那么”思想，并思想，并由此由此发发展展逻辑逻辑推理能力。推理能力。几何教学阶段几何教学阶段 1.学前咨学前咨询询(information)，教，教师师和学生就学和学生就学习对习对象象进进行双向交行双向交谈谈，教，教师师了解学生如何理解指了解学生如何理解指导语导语，并且帮助学生理解要学并且帮助学生理解要学习习的的课题课题。学生提出。学生提出问题问题，对课题对课题的的对对象和运用的象和运用的词汇词汇做出做出观观察，确定下一察，确定下一步的学步的学习习。2.引引导导定向定向(guided Orientation)，教，教师为师为学生仔学生仔细细安排活安排活动顺动顺序，使学生序，使学生认识认识到学到学习进习进行的方向，行的方向，逐逐渐渐熟悉熟悉这这一一结结构的特性。在构的特性。在这这个个阶阶段中，段中，许许多多活活动动都是引起一个特定的反都是引起一个特定的反应应的一步（的一步（简单简单）作）作业业。几何教学阶段几何教学阶段3.阐阐明明(explication)，通通过过前前面面的的经经验验和和教教师师最最小小程程度度的的提提示示，学学生生明明确确了了词词汇汇的的意意义义，表表达达自自己己对对内内在在结结构构的的看看法法。通通过过这这一一阶阶段段，学学 生生 开开 始始 形形 成成 学学 习习 的的 关关 系系 系系 统统。van Hiele（1984b）指指出出：在在这这个个阶阶段段的的过过程程中中，经经验验的的获获得得取取决决于于正正确确的的语语言言符符号号和和学学生生们们在在课课堂堂上上学学习习透透过过讨讨论论去去表表达达他他们们所所观观察察到到的的结结构构之之意意见见，老老师师只只需需注注意意这这些些讨讨论论所所使使用用的的习习惯惯措措词词。关关连连系系统统在在这这阶阶段段就就有有一一部部份形成了份形成了几何教学阶段几何教学阶段4.自由定向自由定向(free orientation)，在，在这这个个阶阶段，段，学生碰到多步作学生碰到多步作业业或能以不同方式完成的作或能以不同方式完成的作业业。在。在寻寻找方法和解决找方法和解决问题过问题过程中，学生程中，学生获获得了得了经验经验。通。通过过自己确定学自己确定学习领习领域的方向，域的方向，他他们对们对学学习对习对象之象之间间的关系越来越明确。按的关系越来越明确。按照照van Hiele（1984b）的）的观观点：点：这这个个阶阶段是段是自由探索，自由探索，调查调查的范的范围围是大多数学生知道的，是大多数学生知道的，但学生仍需迅速地找到他的方向。但学生仍需迅速地找到他的方向。几何教学阶段几何教学阶段5.整合整合(integration)，学生回，学生回顾顾自己所用的方自己所用的方法并形成一种法并形成一种观观点，点，对对象和关系被象和关系被统统一并一并内化内化进进一个新的思一个新的思维领维领域。教域。教师对师对学生理学生理解的解的东东西作一个全面的西作一个全面的评评述，帮助学生完述，帮助学生完成成这这一一过过程，在此，教程，在此，教师师要小心，不要提要小心，不要提出新的或不一致的出新的或不一致的观观点点 范希尔理论的特点范希尔理论的特点 1.次序性次序性(sequential)：学生几何思：学生几何思维维水平的水平的发发展是循序展是循序渐进渐进的，要在特的，要在特定的水平定的水平顺顺发发展，必展，必须须具有前一水平的各个概具有前一水平的各个概和策和策。也就是。也就是说说，学生在没通学生在没通过过第第n-1层层次之前，无法到达第次之前，无法到达第n层层次。次。2.进阶进阶性性(advancement)：学生几何思：学生几何思维维水平的提升是水平的提升是经经由教学，而由教学，而是随是随龄龄成成长长或心或心成熟自然而然的。没有一种教学方法能成熟自然而然的。没有一种教学方法能让让学生跳学生跳过过某一水平而某一水平而进进入下一水平，由一水平入下一水平，由一水平进进入下一水平并非一蹴而就的。入下一水平并非一蹴而就的。3.内内隐隐性及外性及外显显性性(intrinsic and extrinsic)：某一水平的内：某一水平的内隐隐性性质质成成为为下一水平的外下一水平的外显显性性质质，如某一个水平上的个人化的模糊概念在下一水，如某一个水平上的个人化的模糊概念在下一水平上通平上通过过外外显显的表征工具的表征工具(如符号如符号)而得到澄清。而得到澄清。4.语语言性言性(linguistics)：每一：每一层层次有其次有其专专属的属的阶阶段性段性语语言符号。在某一言符号。在某一层层次使用的次使用的语语言符号，可能到言符号，可能到另一另一层层次就必次就必须调须调整整为为另一另一语语言符号，言符号，因此每一因此每一层层次有其独特的次有其独特的语语言符号，言符号，谓谓之之语语言性。言性。5.适配性适配性(mismatch)：如果学生的思：如果学生的思维处维处于一个水平于一个水平,而教而教师师的教学的教学处处于另一个水平于另一个水平,那么就不可能取得那么就不可能取得预预期的教学效果期的教学效果.尤其是当教尤其是当教师师的教材的教材内容、教具内容、教具选择选择及及语汇语汇使用均属于使用均属于较较高高层层次次时时，学生将无法，学生将无法解、思解、思考其考其过过程与程与结结果。果。