基于非局部TV正则化的泊松去噪.docx

广西科技大学

基于非局部TV正则化的泊松去噪
模型与算法

所 属 学 院：理 学 院
学 科 专 业：信 息 与 计 算 科 学
学 生 ：
指 导 老 师：

2014年5月

摘 要
去除医学CT成像，天文图像中的泊松噪声是一个重要的研究课题，大多数的图像复原算法，一般都是运用图像中某个领域内的灰度值、梯度信息，又或者是单一像素点进行处理。若我们能够在更大的范围内充分利用图像本身的信息，就有可能更高效地改善图像复原质量。事实上，大部分自然图像，它们的内容都有自相似性这一个特征。基于非局部的图像处理，就是以这种特征为考虑出发点。为了进一步提高图像去噪效果，同时使边缘信息得到充分保留，针对泊松噪声，我们提出一种基于非局部TV正则化的泊松去噪模型与算法，该模型结合了TV正则化去噪和非局部理论特点，运用Bregman分裂的多步迭代和交替最小化法，来求解该抑制噪声模型，使其能达到图像复原。实验结果发现，通过非局部正则化的去噪算法，使泊松噪声在一定程度上得到抑制的效果比传统算法要好，还可以尽量保留图像的一些有效信息，如边缘和部分纹理等。因此，本文在深入分析非局部正则化的基础上，去介绍泊松抑制噪声算法模型，并与其他算法相比较，本文的算法使图像的恢复度更高。
关键词：图像去噪；泊松噪声；非局部正则化；分裂Bregman迭代；
Abstract
Removal of medical CT imaging and astronomical image of Poisson noise is an important research subject,most of the image restoration algorithm,in general,are used in the image grey value in a certain field,gradient information,or a single pixel point processing.If we can make full use of the image itself in a larger scope of information,it is possible to improve the image quality more effectively.In fact,most of the natural images,they all have self-similarity.Image processing is based on nonlocal,which is considered as a start point.In order to further improve the effect of image denoising and edge information fully at the same time.according to poisson noise,we propose a poisson denoising algorithm based on the nonlocal total variation regularization.And the algorithm of the model is a combination of TV regularization denoising, and the characteristics of the nonlocal theory,using Bregman split iterative and alternating minimization method to solve the noise model,so it can achieve image restoration.The experimental results show that the non-local regularization denoising algorithm, to a certain extent,has a better effect on suppressing Poisson noise than traditional algorithm,we can also try to reserve some effective image information,such as edge and part of the texture.Therefore, this paper on the basis of in-depth analysis of nonlocal regularzation,to introduce the poisson denoising algorithm model.and compared with oother methods, the algorithm of the this article make the image more recover .
Key words:image denoising；Poisson noise；non-local regularization；split Bregman method

目 录

摘 要 2
Abstract 2
1 绪论 4
1.1 课题研究背景及意义 4
1.2 图像泊松噪声抑制方法的研究现状 4
1.3 论文研究的主要内容 4
1.3.1 论文的主要创新点..............................................................................................5
1.3.2 论文的组织结构..................................................................................................5
2 非局部正则化的泊松图像去噪模型 5
2.1 全变差图像模型介绍 5
2.1.1 全变差（TV）泊松噪声模型 5
2.2 非局部TV图像模型 7
2.3 基于MAP统计推断的泊松去噪模型 8
3 求解模型的多步迭代的快速算法 9
3.1 子问题 9
3.2 子问题 10
3.3 算法步骤的描述 11
4 实验结果与分析 11
5 结束语 15
致 谢 15
6 参考文献................................................................................................................17

1 绪论
1.1 课题研究背景及意义
图像是我们获取一些重要信息的来源，而图像在成像获取、传输和存储过程中，一般会受到噪声的污染，使图像质量有所下降。而含噪图像影响了我们从原图像中获取一些有用的信息，则在获取图像的正确信息前，对它进行去噪过程是最基本的问题。它的目的就是想从含噪声的观测图中估计出我们需要的理想图像，这本身是一个不适定的反问题。如今，许多文献都对这一问题进行了研究，不过大部分学者研究的对象主要还是加性高斯白噪声，但是，例如天文成像、X射线成像、荧光共焦的显微成像等等这些传输图像中的光量子计数成像，通常都会随着时间或者空间的改变而受到量子噪声的污染，该噪声不是加性噪声，而是是服从泊松分布的统计法则，与此同时，这类噪声强度与方差之间存在着信号依赖关系。一般来说，亮度越大的像素，它受到的干扰更多更强，所以，泊松去噪是尤为重要且是十分难处理的。

1.2 图像泊松噪声抑制方法的研究现状
针对数字图像中的泊松噪声，至今为止，广大学者也提出了一些去噪算法。其中，提出的算法中最经典的是VS变换，即在空间域或者变换域中，对观测图像中的数据进行VS变换处理。我们先通过变换，将图像中的观测数据看成是近似同方差的高斯分布，这样，我们就可以将其转化成普通的高斯去噪，最后，经过反VS变换处理，我们就得到了所需的去噪数据。当然，只有在光量子增多的时候，通过变换得到的数据才逐步接近高斯分布，由此看出，这种小波VS变换方法并不是对所有的光量子数都适用，例如X射线，伽马射线这种低光量子数，同时，若是将VS变换成非线性的，会对去噪方法的性能有不良的影响。
事实上，一个效果更好的泊松噪声抑制方法，是我们不需要通过VS变换而能够直接得出泊松数据。针对观测图像，我们用泊松噪声的统计法则，使其小波变换系数与之有相应的阈值，这样就能直接跳过VS预处理。针对该噪声的统计法则，Kolaczyk针对高斯噪声，改变了原先的小波系数阈值，但是，在低光子量数中，效果仍然不理想。后来，他重新提出一种方法，利用假设检验方法，事先假设错误检验概率，判别小波系数的一致性，同时，还要进行阈值处理。将这种算法推广到双正交小波中，得到的去噪理想图更加平滑。
还有一种方法就是基于贝叶斯理论下进行的泊松去噪。在处理泊松去噪的过程中，相较于其他的方法，其优势在于它能够结合原始图像的先验知识，同时可以利用多尺度分析去简化。文献：叙述了针对泊松似然函数，利用多尺度分析，而且，用先验概率作为约束正则化的条件，最后求出后验概率。
而在1999年，Buades等学者受到了Alecei Efros,Thmas Leung采用非局部特性去进行图像补缺这一方法的启发，建立了非局部均值去噪。这个算法不是只在单一像素点间取值，而是以观测图的像素点作中心，形成一个邻域去代替单个像素点，然后通过邻域中灰度值间的欧式距离去计算所有的平均灰度，从而达到抑制噪声的效果。自从提出了非局部均值去噪算法，广大学者都在思考是否可以在非局部的基础上改进正则化去噪。

1.3 论文研究的主要内容
本文考虑服从泊松分布的噪声图像，在TV模型和贝叶斯理论框架下，去引入非局部的思想，提出了一种新的改进模型和算法------基于非局部理论的TV正则化泊松噪声抑制模型。在这个模型中，泊松概率的似然估计分布的负自然对数构成了其保真项，符合泊松噪声的统计特性；而模型的正则化项就是非局部TV项，能够有效恢复图像的重要信息。针对提出的优化模型，综合考虑其特点，我基于Bregman分裂迭代算法，提出多步迭代算法去解决该模型，并混合运用了变量分裂法和交替最小化法，将一个主问题化成两个简单的子问题的迭代，可以降低计算量，同时，我也对一些测试图进行验证，与上述的方法进行比较。由测试结果可知：不仅达到去噪效果，还使我们想要的图像重要信息得以保留。

1.3.1 论文的主要创新点
在全变差图像的基础上，结合非局部正则化项，提出基于非局部TV正则化的泊松噪声抑制模型，还利用了多步迭代去求解，该模型不仅能够实现基本的去噪功能，还能在非局部TV下改善全变差所实现不了的功能，有效地保持了图像的边缘纹理区域，同时，降低了阶梯效应的影响。

1.3.2 论文的组织结构
本文以数字图像中的泊松噪声抑制为研究目的，在基于非局部中结合TV正则化项对噪声图像进行去除泊松噪声，同时进行实验分析结果。本文的主要结构如下：
第一部分：绪论。介绍泊松去噪的研究意义与背景，简单阐述了泊松噪声抑制的算法现状，给出本文的创新点和结构。
第二部分：非局部正则化的泊松去噪模型。介绍全变差图像，进一步引入基于非局部的TV图，并通过统计推断出本文的泊松图像去噪模型。
第三部分：给出相应的算法与步骤，将主问题分解成两个子问题，求解本文提出的模型。
第四部分：用Matlab进行实验，与其他算法进行结果比较，利用ReErr,PSNR和SSIM做权衡图像去噪仿真效果比对，结果表明，基于非局部TV的正则化泊松去噪算法，在有效抑制噪声的情况下，还能很好地保留了图像的边缘和纹理等细节。
第五部分：结束语。
2 非局部正则化的泊松图像去噪模型
2.1 全变差图像模型介绍
在科学应用领域中，泊松图像去噪是一个重要问题。通过计算一系列的图像内部像素得到观测数值，这些数值可以很小。如医学中的光学显微成像，天文学或者在夜视中的交通分析，这些过程就是一些有限数量的光量子撞击探测器或者车辆通过传感器时，受泊松噪声污染的观测图像。泊松噪声具有与信号相关的性质。一般的信号独立或有界噪声都不适用于泊松噪声，所以，通过泊松数据去恢复原始图像变得更加困难了。
通过泊松噪声抑制去重建图像其实是一个反问题。因为反问题通常是不适定的，所以许多去噪过程都是使用一些正则化项。例如Le等学者提出了一种全变差(total variation TV)正则化泊松噪声重建模型，它是利用贝叶斯定律来制定变分问题。在泊松噪声中，Jonsson等人运用全变差去调整正电子发射断层成像。Li和Liu通过在变换域中引入局部保真项参数，提出了一个局部泊松噪声重建模型。Figueiredo 和Bioucas-Dias提出利用交替最小化方法去优化全变差模型来重建图像。针对泊松噪声模型，Harmany等运用一个似然罚函数，并且尤其关注非限制约束条件。算法（SPIRAL）在每一步迭代中近似接近泊松噪声的似然概率，相当于一个基于似然曲率估计的二次函数。Zanella等人运用梯度投影算法去除泊松噪声。而Setzer等人运用Bregman迭代法处理泊松噪声。所有的这些方法都使用了TV项作为正则项，当在平滑区域中造成阶梯效应时，可以有效达到泊松噪声的抑制。正如我们所知，消除梯度效应最好且最有效的方法是TGV正则模型。然而，这个算法在图像边缘和纹理区域均模糊，正如存在着高阶导数项。更糟糕的是，在去噪的全过程中，一些细节会可能将会被去除掉。
正如我们所知，记是原始理想图像，是在基础上加入泊松噪声的观测图像，即，则有泊松分布的定义
（1）
其中均值、方差分别是、。
而在泊松噪声的假设下，若给定是定义在有界区域上的灰度图，通常是平面上的一个小矩形。则观测的噪声图像服从泊松似然概率分布，如下：
（3）
其中是需要恢复的图像，并且噪声图像的每一像素都服从（3）的概率分布。著名的全变差TV滤波器，也就是ROF模型，使函数最小化
（4）
其中，数据保真项是，用来保证复原图像与观测图像之间的距离足够小；正则项是；正则化参数是用来平衡的。对于图像的性质和噪声的强弱，起主要的决定性。TV被看成是正则项，定义如下：
（5）
的全变差也是大家都知道的的有界限变差（BV），并且，表示函数空间是有限，定义为：
（6）
能修改噪声的类别，根据一系列ROF，Le提出一种去除泊松噪声额模型，就是保真项由以下代替：
（7）
基于全变差的图像去噪这一方法证明它既能够充分实现抑制噪声，又能保留重要边缘。然而，去噪图像经常达不到理想效果，一些关键的细节部分可能不能很好地恢复，而且，仿射的邻域被看成是梯度型，为了减小梯度影响和更好的保留图像边缘，在后面那段时间许多非线性滤波器纷纷被学者们提出。
因此，对于上述的泊松去噪的TV模型，已经出现了一系列大量的处理算法，虽然取得较好的数值效果，但是对于图像的一些细节纹理的恢复重建结果仍不是很理想，图像中的信息量丢失还比较多，而且产生的“阶梯”效应也影响复原图像的视觉效果。因此，我们需要找到一种更为有效的方法，在去噪的前提下能够保留图像的细节纹理信息，同时能抑制图像复原过程中产生的“阶梯”效应，这就是本文所研究的重点。

2.2 非局部TV图像模型
针对数字图像去噪和去模糊问题，Kindermann研究提出，运用正则化函数的非局部相关系数。Gilboa,Osher从拉普拉斯算子中得到了启发，定义一个基于非局部算子的变换结构。
现在，让我们定义一个非局部TV函数。令，，且u(x)是的实函数。假设：是测试图像中的非负对称加权函数，非局部梯度是所有偏微分在x处的矢量，形如:
（8）
关于矢量的图像发散可以定义为通过带有以下梯度算子的标准伴随矩阵关系：
（9）
使得图像关于p：发散，定义形如：
（10）
其中拉普拉斯图解定义：
（11）
注意到：式中因子1/2是用来获得相关标准拉普拉斯。

这些算子操作存在着一些性质。例如，拉普拉斯算子是独立邻接的：
（12）
和半负定数定义： （13）
非局部TV准则是各向同性L1准则加权梯度图：
(14）

对应的欧拉拉格朗日方程写成：
（15）
相较于TV图像模型，非局部TV引入了非局部梯度函数，能够在抑制泊松噪声的同时，使图像边缘和纹理区域得到很好保留。

2.3 基于MAP统计推断的泊松去噪模型
正如我们所知，记是原始理想图像，是在基础上加入泊松噪声的观测图像，即，则有泊松分布的定义
（16）
其中均值、方差分别是、。
而在泊松噪声的假设下，若给定是定义在有界区域上的灰度图，通常是平面上的一个小矩形。则观测的噪声图像服从泊松似然概率分布，如下：
（17）

根据贝叶斯定律，我们有：
（18）
且我们假设先验分布条件：
（19）
其中为正则化参数，则TV正则化可以从上式（19）得到。
对（17）进行求的导数：
（20）
对（20）求积分等价于（17）：
（21）
将的极大化问题转化为极小化的负的自然对数形式，则等价于
（22）
若引入连续变量，则（22）等价于泛函离散化：
（23）
则我们可以得到泊松去噪的全变差模型：
（24）
针对泊松去噪问题，我们可以考虑用在非局部框架下的TV正则化项：
（25）
其中，且，是用来衡量之间的距离的权函数。
（24） 和（25）相结合，我们可以得到基于非局部TV正则化的泊松去噪模型：

（26）
为了满足泊松分布均值的非负性，我们对上式的加上一个非负约束乘子，得出最终的基于非局部TV正则化的泊松去噪模型：
（27）
其中， 0，
=

3 求解模型的多步迭代的快速算法
针对模型

我们利用变量分裂法去引入一个辅助变量，则可以转化为一个多变量的优化问题：

（28i）
对于多变量的优化问题，我们再利用交替最小化方法转化为两个单变量的子问题，分别是子问题和子问题。

3.1 子问题
（29i）
在这里，我们先介绍邻近算子的概念：1962年Mereau通过进行凸投影算子的推广首次提出了邻近算子的概念。设为实希尔伯特空间H上的一个下半连续凸函数，则给定，有函数的邻近算子定义：
（30i）
其中，是上述变分的唯一解。若取，则，就是C凸集的投影算子。
记 ，运用邻近算子的概念式等价于：
（31i）
这里需要求解复合算子的邻近算子，等价于
其中，是向凸集的投影算子，
令
（32i）
对其求导得： （33i）
得到二次方程 ： （34i）
对求解得： （35i）
即 （36i）

3.2 子问题
在这一部分，针对非局部正则化的泊松去噪模型中的，用形式去表示为：
（37i）
等价于下面的优化问题：
其中 （38i）
当，且，则一个新的值被定义为如下：
（39i）
s.t
延伸的Bregman分裂迭代算法在强迫约束条件定义下的过程：

（40i）
其中

3.3 算法步骤的描述
1） 输入观测图像；
2） 初始化松弛参数，；
3） 结合（19）和（20），可以求解得到；
4） 利用多步迭代算法求解（24），得到；
5） 当满足迭代终止条件时即停止运算；否则令，转回3）；
6）输出去噪的理想图像
4 实验结果与分析
通过多幅测试图像的实验分析和比较，加以说明本文提出的基于非局部TV正则化的泊松去噪算法模型的有效性。其中，本文选取的比较算法有：小波变换的软阈值法、加权全变差法和非局部均值算法，通过Matlab 7.11程序软件测试。
为了从客观上进一步验证算法的有效性，本文利用相对误差率(Relative Error, ReErr)，峰值信噪比(Peak Signal-to-Noise Ratio, PSNR)和结构相似度指标 (Structural Similarity Index, SSIM)来评价算法的客观去噪结果。ReErr越小，PSNR越大，SSIM越接近于1，则说明算法的去噪效果越好。它们分别定义如下：

其中，是图像的量化级数。由上式可以看出：当PSNR越大，则去噪效果越好；当PSNR越小，则去噪效果越差。
SSIM是衡量图像结构的信息保留程度的，通常将图像划分为若干个小块，假定为原始图像，为去噪图像，将X,Y均划分成M个大小为的小窗口，对应为，然后通过光度、对比和结构来进行比较实现。
光度： 其中分别是窗口的均值
对比： 其中分别是窗口的方差
结构： 其中是之间的协方差
上述三式结合得SSIM，定义如下：
其中均为非负参数
令，则有

当SSIM=0时，则两幅图像没有任何相似性；SSIM=1时，则两幅图像完全相同。

(a) Blood1 (b) lena (c) I52_256

(d) 1.1.12 (e) girl (f) spine
图1.六幅主测试图像

含噪图像 加权TV 非局部均值 本文算法
图2.blood1.bmp 不同算法的测试比较

含噪图像 加权TV 非局部均值 本文算法
图3. Lena.bmp 不同算法的测试比较

含噪图像 加权TV 非局部均值 本文算法
图4. I52_256.bmp 不同算法的测试比较

含噪图像 加权TV 非局部均值 本文算法
图5.1.1.12.tiff 不同算法的测试比较

含噪图像 加权TV 非局部均值 本文算法
图6.girl.bmp 不同算法的测试比较

含噪图像 加权TV 非局部均值 本文算法
图7.spine.tif 不同算法的测试比较

通过实验测试得到的评价指标如表格1：
表格1
图像
指标
加权TV
非局部均值
本文算法

Blood1
ReErr
0.0029
0.0013
5.2409e-004
PSNR
32.9193
35.9084
39.9898
SSIM
0.9652
0.9512
0.9755

lena
ReErr
7.9973e-004
9.4938e-004

3.6702r-004
PSNR
36.5860
35.1117
39.2391
SSIM
0.9689
0.8963
0.9525

I52_256
ReErr
0.0028
0.0024
6.5944e-004
PSNR
29.6774
30.8938
35.4704
SSIM
0.8804
0.8701
0.9364

1.1.12
ReErr
0.0031
0.0018
4.5312e-004
PSNR
28.0695
31.1270
36.4745
SSIM
0.8064
0.8045
0.9151

girl
ReErr
0.0059
0.0025
7.2852e-004
PSNR
31.8016
36.5088
40.7451
SSIM
0.8989
0.9551
0.9781

spine
ReErr
0.0094
0.0010
0.0011
PSNR
29.2678
38.8688
38.5944
SSIM
0.9494
0.9952
0.9916

通过以上实验测试结果图，我们可以看出，本文算法相较于加权TV，和非局部均值算法，在去除泊松噪声的同时，能更有效地保留了图像的边缘等细节信息。由表格1中，我们也可以知道，相比之下，本文算法的PSNR，SSIM在能取得很高的值的同时，ReErr是很小的值，这也说明了去噪到达很好的效果。

5 结束语
本文在正则化TV的基础上，引入非局部处理这一理论的思想，利用了泊松似然估计的概率分布函数的负的自然对数作为保真项，和非局部TV作为正则项，提出了一种新的非局部TV正则化的泊松去噪模型，并且利用Bregman多步迭代算法求解该模型，通过这两个算法，在求解速度上有了一定的提高。在测试实验部分，我们运用了本文建立的新模型和算法，对一些含噪图像（泊松噪声）进行去噪处理，同时，还将其与另外三种算法进行比较。去噪测试的实验结果表明，本文所提出的基于非局部TV正则化的图像泊松去噪模型和算法，与其它去噪算法相比起来，无论在视觉还是在客观评价指标上无疑得到都是更为有效的去噪效果。
致 谢
时光飞逝，转眼就到了六月毕业季，四年的大学生活让我收获颇多。经过大半年来的查阅、整理、停顿、修改，我的学位论文终于告一段落了，此时，我有一种如释负重的感觉，带着欣喜的同时，我要感谢那些给予我关心的人。
首先我要感谢我的导师黄丽丽老师。当初选择黄老师作为导师，一来她是我们班主任，和我们接触的时间会比较多，二来图像处理一直是我颇感兴趣的研究对象。大四刚开始，从论文的定题审批、查阅文献到写作修改、定稿阶段，黄老师都给我很大的关怀。在此期间，黄老师都是有计划地安排任务，让我们分阶段进行论文写作，让我们不会有拖到最后时间紧迫的压力。此外，每当我遇到令我疑惑的问题时，黄老师都会在百忙之中抽出时间为我指点迷经，解答我的疑惑。在此，我真诚地向黄丽丽老师说一声：谢谢您！
其次，我要感谢辅导员黄剑华老师。感谢他关怀关心我的就业情况，对我的就业进行了指导。
最后，我右中地感谢参加我论文评审和答辩的各位老师！谢谢你们给予的宝贵意见，让我审视到自己的缺点和不足，使我不断成长。
愿感谢的各位幸福快乐！

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