曲柄摇杆机构存在的判定定理及其应用(第十六届全国机械设计年会征文).doc

第十六届全国机械设计年会征文
曲柄摇杆机构存在的判定定理及其应用
——Ⅰ型、Ⅱ型曲柄摇杆机构有解判据的全面表述与证明
李易珍1, 薛立新 2，李强3
（1. 内蒙北方重工集团培训中心，包头 014030；2，内蒙一机集团培训中心，包头 014030；
3，内蒙古科技大学机械工程学院，包头 014010）
摘 要：本文针对具有急回运动特性的Ⅰ型、Ⅱ型曲柄摇杆机构，定义了几何特征点的概念，在充分考虑Ⅰ型、Ⅱ型曲柄摇杆机构结构特征的前提下，对其内在的固有几何关系进行分析，通过研究、探讨A铰可行域的存在条件，提出并证明了Ⅰ型、Ⅱ型曲柄摇杆机构存在的判定定理，通过实例对其具体应用进行了说明。
关键词：曲柄摇杆机构；A铰可行域；判定定理
中图分类号：TH112

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1 问题的提出
曲柄摇杆机构因其具有急回运动特性而得到了广泛应用，也一直是人们所关注的焦点，但大多偏重于图解法、解析法等综合方法的研究[1-3]。对于具有急回运动特性的Ⅰ型、Ⅱ型曲柄摇杆机构，当给定行程速比系数（或极位夹角）和摇杆摆角并结合其他辅助条件时，也大多在有解的前提下研究、探讨其综合方法，而作为已知条件的行程速比系数（或极位夹角）和摇杆摆角，其值的可取范围和相互关系尚不明晰，从而影响了机构的设计和应用[4]，有鉴于此，文献[4]对其进行了极有价值的研究。文献[5]对曲柄摇杆机构的图解综合法进行了新探，结合图解综合法研究曲柄摇杆机构是否有解的判据，但其“当行程速比系数K≥3，（即＜90o）时，Ⅰ型曲柄摇杆机构无解，Ⅱ型曲柄摇杆机构有解”结论是不正确的。因讨论θ≥90o（K≥3）时曲柄摇杆机构极位夹角定义所附的简图，曲柄、摇杆的两固定铰A、D均位于摇杆活动铰极限位C1、C2两点所在直线的同侧，符合Ⅰ型曲柄摇杆机构的结构特征，说明K≥3的Ⅰ型曲柄摇杆机构客观存在，但其存在条件需要探讨。
是否存在K≥3的Ⅰ型曲柄摇杆机构还是Ⅱ型曲柄摇杆机构，其本质是如何简明而准确地判定曲柄固定铰接点A(简称为A铰)之可行域的存在与否（尤其是K≥3时）。本文针对具有急回运动特性的Ⅰ型、Ⅱ型曲柄摇杆机构，定义了几何特征点的概念，在充分考虑Ⅰ型、Ⅱ型曲柄摇杆机构结构特征的前提下，对其内在的固有几何关系进行分析，通过研究、探讨A铰可行域的存在条件，提出并证明了Ⅰ型、Ⅱ型曲柄摇杆机构存在的判定定理。
2 A铰可行域
2.1 几个定义（参见图1—4）
（1）极位夹角与行程速比系数K（同文献[5]）：当机构处在两极限位置时，对应曲柄的第2位置AB2与第1位置AB1的反向所夹的角度θ称为极位夹角。 K与θ的关系为：，其中：1≤K＜∞，0o≤θ＜180o。
（2）A解圆：是求解曲柄固定铰链中心A点位置的圆。
在A解圆中，圆心为O；弦C1C2被称之为极位弦，其中垂线与A解圆的交点记作O1、O2，其中弧C1C2所对圆周角为θ的交点记作O1，而其所对圆周角为180o—θ的交点记作O2；摇杆的两极限位置DC1、DC2或DC2、DC1其反向延长线与A解圆的交点记作E、F。

（3）几何特征点：A解圆的圆心O，曲柄、摇杆的固定铰接点A、D，摇杆的两极限位置线与A解圆的交点E、F统称为为几何特征点。
图1 K＜3的Ⅰ型曲柄摇杆机构 图2 K=3的Ⅰ型曲柄摇杆机构
图3K＞3的Ⅰ型曲柄摇杆机构 图4 Ⅱ型曲柄摇杆机构
（4）A铰可行域：指所设计的曲柄摇杆机构在满足基本要求（即同时满足急回运动条件和连续运动条件）时，A铰在A解圆上的取值区域。
2.2 A铰可行域
本文在满足有解条件的前提下讨论A铰可行域，A铰可行域应确保摇杆其扇形摆动区域总位于机架线的同侧。可以证明：A铰可行域就是在A解圆上，当两圆弧C1E、C2F其弧长大于零时对应两圆弧C1E、C2F的开区间弧段。证明如下：
（1）在有解的条件下A解圆上的两圆弧C1E、C2F其开区间弧段任取一点作为A铰，总满足机构的基本要求（不证自明）。
（2）不能在圆弧EO2F闭区间弧段上选取A铰。当在圆弧EO2F开区间弧段选取A铰，不满足运动的连续性条件(已有定论)；特别说明的是若A铰取在O2点上，则因曲柄长度为零而形不成机构。如A铰与E（或F）重合，所得机构的某一极限位置恰好为机构的死点位置，当机构运动至该极限位置时，会出现运动的不确定性，存在机构的基本要求遭到破坏的可能性。
（3）不能在圆弧C1O1C2闭区间弧段上选取A铰。当A铰在圆弧C1O1C2其开区间弧段选取时，按极位夹角的新定义，此时机构的极位夹角是，不满足急回运动条件；同时也不满足连续运动条件(已有定论)；特别说明的是若A铰取在O1点上，则因曲柄长度为零而形不成机构。如A铰与C1（或C2）重合，则得一曲柄和连杆等长且同为最短构件，摇杆与机架等长且同为最长构件的Ⅲ型曲柄摇杆机构，无急回运动特性。
综上，A铰可行域就是当A解圆上的两圆弧C1E、C2F其弧长大于零时，对应两圆弧C1E、C2F的开区间弧段。
3 Ⅰ型、Ⅱ型曲柄摇杆机构存在的判定定理（以下简称为“判定定理”）
（1）总存在1＜K≤3（0o＜θ≤90o）的Ⅰ型曲柄摇杆机构；只存在K＞3，且＜90o的Ⅰ型曲柄摇杆机构。
（2）只存在1＜K＜3，且＜90o的Ⅱ型曲柄摇杆机构；不存在K≥3，θ≥90o的Ⅱ型曲柄摇杆机构。
（3）不存在K≥3，且≥90o的曲柄摇杆机构。
证明如下：
（1） Ⅰ型曲柄摇杆机构
Ⅰ型曲柄摇杆机构的结构特征是A、D位于极位弦C1C2的同侧。
参见图1—3，对Ⅰ型曲柄摇杆机构，为确保A、D位于极位弦C1C2的同侧，A铰可行域必位于极位弦C1C2靠近D点的一侧，则E、F与D应位于极位弦C1C2的同侧，即几何特征点D、E、F、A总位于极位弦C1C2的同侧。
由图1、图2可知，在1＜K＜3（0o＜θ＜90o）范围内，弧C1O1C2是劣弧， O、D位于极位弦C1C2的同侧；当K=3，θ=90o时， O点是极位弦C1C2的中点，极位弦C1C2成为A解圆的一条直径。在这两种情况下，不论D点落在A解圆内部还是外部，摇杆的两极限位置线总能与A解圆相交，使得A解圆上的两圆弧C1E、C2F其弧长总大于零，并使A、D位于极位弦C1C2的同侧，即总存在A铰可行域，与角相互之间无关联性。
由图3可知，当K＞3（θ＞90o）时，弧C1O1C2是优弧，故O、D应位于极位弦C1C2的异侧。设计时为保证A解圆上的两圆弧C1E、C2F其弧长大于零，且几何特征点E、F总和A、D位于极位弦C1C2的同侧，应有∠OC1D＜90o，则在△OC1D中， ＞90o，由此推之：θ＜90o+（一定，当摇杆的两极限位置线与A解圆相切时θ=90o+）或＞2（θ一定，当摇杆的两极限位置线与A解圆相切时 =2）。所以当K＞3（θ＞90o）时，满足＜90o条件，才存在A铰可行域。
综上，对Ⅰ型曲柄摇杆机构，随K或θ的递增，O、A相对位置的变化规律：K＜3，O、D位于极位弦C1C2的同侧；K＞3，O、D位于极位弦C1C2的异侧；K=3时，因极位弦C1C2变为A解圆的直径而成为其变化的临界点。
（2）Ⅱ型曲柄摇杆机构
Ⅱ型曲柄摇杆机构其结构特征是A、D位于极位弦C1C2的异侧。
参见图4，对Ⅱ型曲柄摇杆机构，为确保A、D位于极位弦C1C2的异侧，A铰可行域必位于极位弦C1C2远离D点一侧，则E、F、A位于极位弦C1C2的同侧而与D位于极位弦C1C2的异侧。
参见图1、图4，设计Ⅱ型曲柄摇杆机构时，D点不能落在A解圆内部，极位弦C1C2必位于A解圆上与C1C2平行的直径、D点中间的某一位置，否则均使得A铰可行域与D位于极位弦C1C2的同侧，从而得不到Ⅱ型曲柄摇杆机构。
设计时为保证A解圆上的两圆弧C1E、C2F其弧长大于零，并确保A、D位于极位弦C1C2的异侧，满足几何特征点相对位置关系，则＜90o，由此推之：θ＜90o＜90o（一定，当摇杆的两极限位置线与A解圆相切时θ=90o）或＜2（θ一定，当摇杆的两极限位置线与A解圆相切时=2）。所以不存在K≥3，θ≥90o的Ⅱ型曲柄摇杆机构；只存在1＜K＜3，且＜90o的Ⅱ型曲柄摇杆机构。
（3）因只存在K＞3，且＜90o的Ⅰ型曲柄摇杆机构，且不存在K≥3，θ≥90o的Ⅱ型曲柄摇杆机构，故不存在K≥3，且≥90o的曲柄摇杆机构。
至此，判定定理得证。由此可见，文献[5]的“当行程速比系数K≥3，时，Ⅰ型曲柄摇杆机构无解，Ⅱ型曲柄摇杆机构有解”的结论是不正确的。
4 应用
判定定理其具体应用如下：
（1）可准确判断曲柄摇杆机构的存在与否。由判定定理可知，总能设计出1＜K≤3（0o＜θ≤90o）的Ⅰ型曲柄摇杆机构，故只讨论其它几种情况。如设计K=2（θ=60o），的Ⅱ型曲柄摇杆机构，因=92.5o＞90o而无解，此时或重新调整设计参数使之满足Ⅱ型曲柄摇杆机构的存在条件，或按Ⅰ型曲柄摇杆机构设计。若重新调整设计参数：若将摆角修正为，此时则因=80o＜90o而有解。又如设计K=8（θ=140o），的曲柄摇杆机构，只能按Ⅰ型曲柄摇杆机构设计，但因＞90o而无解，此时可重新调整设计参数使之满足Ⅰ型曲柄摇杆机构的存在条件，如把摆角修正为，则因＜90o而有解。如必须满足设计条件，则应另辟蹊径。
（2）可准确确定A解圆圆心O及A铰可行域的位置。根据几何特征点与极位弦C1C2的相对位置关系可知：当设计1＜K＜3的Ⅰ型曲柄摇杆机构时，应使O、D位于极位弦C1C2的同侧；当设计Ⅱ型曲柄摇杆机构或K＞3的Ⅰ型曲柄摇杆机构时， O、D位于极位弦C1C2的异侧，即O应在远离D点的C1、C2连线的另一侧。文献[5]之所以得出“当行程速比系数K≥3，时，Ⅰ型曲柄摇杆机构无解，Ⅱ型曲柄摇杆机构有解”错误结论，其主要原因就是未准确确定A解圆圆心O的位置所致。在其所附 “K≥3的Ⅰ型曲柄摇杆机构的综合”图4中，O、D应位于极位弦C1C2的异侧，实际是同侧，肯定不会得到K≥3的Ⅰ型曲柄摇杆机构；而在其所附“K≥3、＞2Ⅱ型曲柄摇杆机构的综合”的图5中，A、D均位于极位弦C1C2的同侧，符合Ⅰ型曲柄摇杆机构的结构特征，所得到的实际上正是K＞3的“Ⅰ型曲柄摇杆机构，佐证了本文中关于“只存在K＞3，且＜90o（＞2）的Ⅰ型曲柄摇杆机构”的结论；在其所附“K≥3、＜2Ⅱ型曲柄摇杆机构的综合”的图6中，A、D均位于极位弦C1C2的同侧，符合Ⅰ型曲柄摇杆机构的结构特征，但因其摇杆的扇形摆动区域不在机架线的同侧，故图示机构不能满足目标机构的急回运动条件和连续运动条件，佐证了本文中关于“不存在K＞3，且＞90o（＜2）的曲柄摇杆机构”的结论。
参考文献
[1] 薛立新.曲柄摇杆机构的构件置换定理及其应用[J].机械设计,2001,18(1):29-32.
[2] 马爱兵,李强,薛立新.曲柄摇杆机构图解设计的解圆定理[J].机械制造与自动化,2005,34(6):31-32.
[3] 张静，王占英，刘春东，等.按最小传动角设计曲柄摇杆机构的解析方法[J].机械设计，2008，25(10)：6 3-65.
[4] 钱瑞明，刘庆运.关于曲柄摇杆机构极位夹角的若干命题及其应用[J].机械工程学报，2005，41（7）：80—83.
[5] 于潇雁，蓝兆辉.具有急回特性的曲柄摇杆机构的综合新探[J].机械设计与研究，2007，23（6）：43-45，50.[6]
Judgment Theorem and Application for Existence
of Crank-rocker mechanisms
——Overall explanation and proof on exist criterion of
type Ⅰand Ⅱ crank-rocker mechanisms
Li Yi-zhen 1, Xue li-xin2,Li Qiang3
(1. Training center,Inner Mongolia North Heavy Industries Group Corp.LTD,Baotou 014030,China ; 2. Training center,Inner Mongolia First Machinery Group Corporation.,Baotou 014030,Chian; 3.Mechanical Engineering School,UST Inner Mongolia,Baotou 014010,Chian)
Abstract:The paper defines the concept of geometrical characteristic points for type Ⅰand Ⅱ of crank-rocker mechanisms with quick return characteristics. In full consideration of the structure characteristics of type Ⅰand Ⅱ crank-rocker mechanisms,the paper analyzes the inner existing geometrical relation, and raises and proves the judgment theorem for the existence of type Ⅰand Ⅱ crank-rocker mechanisms through researching and discussing the existence conditions of hinge A feasible zone, and describes the specific application via some examples.
Key words: crank-rocker mechanisms; hinge A feasible zone; judgment theorem

研究方向：动力学设计
通讯地址：内蒙古包头市青山区一机培训中心
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