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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,转子动力学分析方法,前 言,转子动力学的分析方法是解决工程中各类旋转机械动力学问题的实用有效工具。,本书主要介绍了基于欧拉动力学方程和拉格朗日方程的盘轴结构动力学分析的直接法、基于,Riccati,变换的整体传递矩阵法、转子系统的动力优化设计方法和稳定性分析方法。轴承与旋转机械本体共同构成了转子支承系统。,本书对现代工业中新兴的磁悬浮轴承转子系统的涡动作了详细分析。针对旋转机械的流固耦合问题，介绍了充液转子的涡动分析方法，对于连续质量分布系统模型，本书介绍了 分析弹性盘轴转子涡动特性的解析法。最后介绍了大型旋转机械动力计算的有限元法。,转子动力学分析方法,目 录,第,1,章,转子系统涡动分析的直接法；,第,2,章,磁悬浮轴承转子系统的涡动特性；,第,3,章,多轴转子系统动力分析的整体传递矩阵法；,第,4,章 转子系统动力优化设计方法；,第,5,章,转子系统动力稳定性分析方法；,第,6,章,充液转子的涡动及稳定性分析方法；,第,7,章,连续质量转子系统的涡动分析方法；,第,8,章,转子系统动力分析的有限元法。,内容提要：,1.1,非对称支承转子涡动分析的直接法；,1.2,弹性支承双刚度轴转子的稳态涡动；,1.3,非对称弹性支承多盘转子的瞬态涡动。,第,1,章,转子系统涡动分析的直接法,非对称弹性支承多盘转子动力学模型示意图,第,1,章 转子系统涡动分析的直接法,1.1,非对称支承转子涡动分析的直接法,1.1.1,非对称弹性支承多盘转子的涡动模型,图 在,oxz,平面内的投影关系,图 在,oyz,平面内的投影关系,（,1,）圆盘与支承的动能,（,2,）圆盘与支承的势能,同理，可得,V,dy,。,1.1,非对称支承转子涡动分析的直接法,1.1.1,非对称弹性支承多盘转子的涡动模型,（,3,）广义力,（,4,）单跨多盘转子系统的稳态涡动微分方程,取广义坐标：,代入第二类拉格朗日方程，得：,1.1.2,稳态自由涡动的频率方程与临界角速度,稳态自由涡动微分方程为：,简记为：,1.1,非对称支承转子涡动分析的直接法,1.1.2,稳态自由涡动的频率方程与临界角速度,得频率方程：,同步正向涡动化为：,同步反向涡动化为：,1.1.3,算例：非对称弹性支承三盘转子的稳态涡动,图 对称放置单跨三盘转子系统的稳态涡动示意图,求：,导出转子系统刚度矩阵，建立固定坐标系下的稳态涡动微分方程；,求解稳态自由涡动方程，导出频率方程和临界转速表达式；,画出涡动频率与自转角速度的关系曲线图，并讨论支承刚度和支承质量对临界转速的影响。,1.1,非对称支承转子涡动分析的直接法,1.1.3,算例：非对称弹性支承三盘转子的稳态涡动,解：,两端弹性支承单跨多盘转子系统的涡动微分方程为,得频率方程：,涡动频率与自转角速度的关系：,同步正向涡动,临界角速度,/rad.s,-1,临界转速,/r.min,-1,314.49,3003,448.68,4285,同步,反,向涡动,临界角速度,/rad.s,-1,临界转速,/r.min,-1,-314.49,-3003,-448.68,-4285,1.1,非对称支承转子涡动分析的直接法,1.1.3,算例：非对称弹性支承三盘转子的稳态涡动,图 支承质量对临界角速度的影响曲线,图 非对称支承刚度对临界角速度的影响曲线,非对称支承刚度和支承质量对临界角速度的影响：,随着支承刚度比值,k,Ay,/,k,Ax,的增加，转子系统正向涡动的低阶临界角速度变化很小。但第四阶临界角速度变化比较明显，随着支承刚度比值,k,Ay,/,k,Ax,的增加而不断升高，接近线性增加趋势。,随着支承质量比值,m,A,/,m,B,的增加，转子系统正向涡动的临界角速度出现较明显的下降趋势。且在支承质量比值,m,A,/,m,B,小于,5,以内下降幅度更大，同时低阶临界角速度随支承质量比值,m,A,/,m,B,变化更明显。,1.2,弹性支承双刚度轴转子的稳态涡动,1.2.1,弹性支承双刚度轴转子的稳态涡动微分方程,图 弹性支承双刚度轴转子的动力学模型,图 圆盘的二维简图,图中,O,为两端支承静平衡位置连线与圆盘平面的交点，,O,和,O,”,分别为轴承中心及圆盘形心，,c,为圆盘质心。以,O,为坐标原点选取固定坐标系,Oxyz,，同时选取原点在,O,处随圆盘旋转的动坐标系,Oxyz,。圆盘的二维示意图中,r,为圆盘形心的矢径，,r,O,为盼形心的动挠度，,r,c,为圆盘质心的矢径，,r,b,为支撑中心的矢径，,e,为偏心距。,1.2,弹性支承双刚度轴转子的稳态涡动,1.2.1,弹性支承双刚度轴转子的稳态涡动微分方程,根据相对质心运动定理，可得旋转动坐标系下的运动微分方程：,整理，得：,1.2,弹性支承双刚度轴转子的稳态涡动,1.2.2,弹性支承双刚度轴单盘转子的稳态自由涡动,弹性支承双刚度轴转子稳态自由涡动方程：,解得弹性支承双刚度轴转子稳态自由涡动的频率方程：,设稳态解为：,1.2,弹性支承双刚度轴转子的稳态涡动,1.2.2,弹性支承双刚度轴单盘转子的稳态自由涡动,算例：,已知弹性支承双刚度轴对称放置单盘转子，圆盘质量,m,d,=5kg,，支承质量,m,b,=0.5kg,，设转子自转角速度为,。弹性轴两主刚度方向的刚度系数,k,=20000N/m,，,k,=10000N/m,，支承等效刚度,k,b,=2 10,6,N/m,。,求：,该转子涡动角速度随自转角速度变化关系；,求解转子的临界角速度，并分别讨论支承等效刚度和弹性轴两主刚度系数对转子临界角速度的影响。,解：,弹性支承双刚度轴转子稳态自由涡动的频率方程：,1.2,弹性支承双刚度轴转子的稳态涡动,1.2.2,弹性支承双刚度轴单盘转子的稳态自由涡动,通过此自由涡动的频率方程，可求得单盘对称放置弹性支承双刚度轴转子的涡动角速度随自转角速度变化关系。,图 涡动角速度与自转角速度的关系,1.2,弹性支承双刚度轴转子的稳态涡动,1.2.3,固定坐标系下双刚度轴单盘转子的稳态涡动,1.,弹性支承双刚度轴单盘转子的运动微分方程,图 涡动角速度与自转角速度的关系,把系统在某瞬时所具有的动能、势能、耗散函数的表达式及相应的广义力代入拉格朗日方程，得到转子的运动微分方程：,其中：,1.2,弹性支承双刚度轴转子的稳态涡动,1.2.3,固定坐标系下双刚度轴单盘转子的稳态涡动,2.,弹性支承双刚度轴单盘转子的稳态涡动响应,图 圆盘的瞬时位置,在偏心激励下作无阻尼强迫运动，则原运动微分方程简化为：,设：,带入运动微分方程，整理得：,1.2,弹性支承双刚度轴转子的稳态涡动,1.2.3,固定坐标系下双刚度轴单盘转子的稳态涡动,3.,算例：双刚度轴单盘转子的稳态涡动与临界转速,已知：单盘弹性支承双刚度轴转子系统，材料密度,=7.8 10,-3,kg/m,3,，转轴的双刚度分别为,k,=3.15 10,4,N/m,，,k,=4.56 10,4,N/m,，圆盘厚,=2cm,，直径,D,=16cm,，,e,=0.003mm,。两端的滚动轴承简化为弹性支座，质量,m,b,=1kg,，支承刚度分别为,k,x,=10,5,N/m,，,k,y,=1.5 10,5,N/m,。阻尼为,c,=9.303,，,c,x,=12.864,，,c,y,=15.755,。,(1),固定坐标下弹性支承单盘转子的涡动微分方程,可得单盘弹性支承对称放置双刚度轴转子的运动微分方程：,其中：,1.2,弹性支承双刚度轴转子的稳态涡动,1.2.3,固定坐标系下双刚度轴单盘转子的稳态涡动,(2),弹性支承双刚度轴单盘转子的稳态涡动响应,利用,MATLAB,进行数值计算，得到系统的稳态响应曲线：,1.2,弹性支承双刚度轴转子的稳态涡动,1.2.3,固定坐标系下双刚度轴单盘转子的稳态涡动,(3),弹性支承双刚度轴单盘转子的临界转速,图,涡动角速度与自转角速度的关系,同步正向涡动,临界角速度,/rad.s,-1,临界转速,/r.min,-1,92.92,887,127.25,1215,同步,反,向涡动,临界角速度,/rad.s,-1,临界转速,/r.min,-1,-92.92,-887,-127.25,-1215,忽略系统阻尼，则有：,求解并绘制图线，如下：,1.3,非对称弹性支承多盘转子的瞬态涡动,1.3.1,非对称弹性支承多盘转子的涡动模型,图,两端弹性支承多盘转子动力学模型,设转轴两端支承在轴承,A,和,B,上，轴承简化为弹性支承。支承质量分别为,m,A,和,M,B,，支承刚度分别为,k,A,和,k,B,。静平衡时，两支承弹簧长度为,0,。距离左端支承点为,a,i,处放置第,i,个刚性薄圆盘，其质量、极转动惯量与赤道转动惯量分别为,m,di,，,J,pi,，,J,di,。该转子在圆盘运动的任意瞬时的动力学模型如图右所示。,1.3,非对称弹性支承多盘转子的瞬态涡动,1.3.2,非对称弹性支承多盘转子的瞬态涡动微分方程,本节采用,Lagrange,方程建立多盘弹性支承偏置转子系统的瞬态涡动微分方程。忽略轴向变形和扭转变形的影响，瞬态涡动时,N,个圆盘与两个支承，以及整个转轴共计,4,N,5,个自由度。选取广义坐标为：,把系统的动能、势能等代入拉格朗日方程，得到得到两端弹性支承单跨多盘转子系统的涡动微分方程可写成一个,4,N,+4,阶矩阵式和一个转动方程：,1.3,非对称弹性支承多盘转子的瞬态涡动,1.3.3,算例：非对称弹性支承三盘转子的瞬态涡动,已知：,单跨三盘转子对称放置如图,1-15,所示。两端轴承简化为非对称弹性支承，,A,端支承刚度,k,Ax,=110,6,N/m,，,k,Ay,=210,6,N/m,，,B,端支承刚度,k,Bx,=110,6,N/m,，,k,By,=210,6,N/m,。,A,端支承质量,m,A,=10kg,，,B,端支承质量,m,B,=10kg,。转轴长,l,=400mm=0.4m,，圆盘,1,距左端支承距离,a,1,=100mm,，圆盘,2,居中，圆盘,3,距左端支承距离,a,3,=300mm,；转轴直径为,10mm,，抗弯刚度,EI,=410,5,N.cm,2,，各圆盘直径均为,D,=80mm,，偏心距,e,=0.002mm,，厚度,=1cm,。轴与盘的弹性模量,E,=2.110,6,kg/cm,2,=20.5810,6,N/cm,2,，材料密度,=7.810,-3,kg/cm,3,。,求：,建立固定坐标系下的瞬态涡动微分方程；,求解,系统的瞬态涡动响应。,图,对称放置单跨三盘转子系统瞬态涡动,1.3,非对称弹性支承多盘转子的瞬态涡动,1.3.3,算例：非对称弹性支承三盘转子的瞬态涡动,将数据代入各矩阵中，利用,MATLAB,软件编程，根据龙格,-,库塔法求解可得系统的瞬态涡动响应：,在不同偏心距,e,下，转子系统的瞬态响应如图所示：,1.3,非对称弹性支承多盘转子的瞬态涡动,1.3.3,算例：非对称弹性支承三盘转子的瞬态涡动,假设转子系统变速运行是等加速的，角加速度,=100rad/s,2,。这样，在给定时刻转子的运动状态是已知的。设,t,=0,时，,0,=0,，则有：,把系统的动能、势能等代入拉格朗日方程，得到得到两端弹性支承单跨多盘转子系统的涡动微分方程可写成一个,16,阶矩阵式和一个转动方程：,第,2,章,磁悬浮轴承转子系统的涡动特性,2.1,磁悬浮轴承概述；,2.2,磁悬浮轴承的电磁力；,2.3,磁悬浮轴承刚性转子的涡动；,内容提要：,2.4,磁悬浮轴承弹性转子系统的稳态涡动特性；,第,2,章,磁悬浮轴承转子系统的涡动特性,图,2-1,两端磁悬浮轴承弹性转轴偏置转子动力学模型,2.1,磁悬浮轴承概述,2.1.1,磁悬浮轴承特点,（,1,）,无接触、无摩擦、无润滑。由于没有机械磨损，不但维护费用低，而且工作寿命长，它的使用寿命取决于电气系统的寿命。,磁悬浮轴承也称为磁力轴承，是利用磁力将转子悬浮于空间，使转子与定子之间没有接触的一种新型高性能轴承。与传统的滑动轴承、滚动轴承以及油膜轴承相比，具有如下特点优点：,（,2,）,转速高。允许转子高速旋转，其转速只受材料强度的限制。速度的提高为设计全新大功率机器提供了可能性。,（,3,）,低功耗。轴承的功耗低，仅是传统轴承功耗的,1/5-1/20,，是空气轴承的,1/5-1/10,。,（,4,）,精度高。转子的控制精度,(,回转精度,),主要取决于控制回路信号测量精度、控制策略等,（,5,）,动态性能可调。磁悬浮的动态性能主要取决于所采用的控制策略。,（,6,）,承载力可测量。,2.1,磁悬浮轴承概述,2.1.2,磁悬浮轴承的种类,（,1,）,主动磁力轴承,(Active Magnetic Bearing,简称,AMB),、被动磁力轴承,(Passive Magnetic Bearing,简称,PMB),、混合磁力轴承,(Hybrid Magnetic Bearing,简称,HMB,；,磁力轴承具有多种分类，主要分类如下：,（,2,）,按结构可分为立式、卧式、内转子型和外转子型；,（,3,）,按作用力可分为吸力式和斥力式；,（,4,）,按接触方式可分为完全非接触型和部分接触型；,（,5,）,按磁场力的来源分类，可以分为永久,(,超导,),磁铁型、电磁铁型以及混合磁铁型三种；,（,6,）,按磁场力是否可以人为控制分为被动型和主动型。永久,(,或超导,),型磁铁只可能是被动型，电磁铁型以及混合磁铁型则可以是主动型，也可以是被动型；,（,7,）,按电磁铁控制类型可分为交流控制式和直流控制式。,2.1,磁悬浮轴承概述,2.1.3,磁悬浮轴承的结构,(a),径向磁悬浮轴承,（,b,）磁悬浮轴承转子,图,2-2,磁悬浮轴承转子示意图,主动磁力轴承的机械部分一般由径向轴承和轴向轴承组成。,径向磁悬浮轴承中的电磁铁可按磁极的排列方向分为轴向布置和周向布置，其中周向布置又可分为,NSSN,和,NSNS,两种。,2.2,磁悬浮轴承的电磁力,2.2.1,感应强度计算,图,2-3,磁路,联立以上各式，得到：,由于铁芯中,，,铁芯中的磁化强度经常被略去，这时,上式,可简化为：,2.2,磁悬浮轴承的电磁力,2.2.2,无扰动时的电磁力计算,在平衡位置，磁悬浮轴承气隙中的磁感应强度,。,因此，左右电磁铁产生的吸力为：,假设储存在气隙中的能量为,。,当磁路气隙中的磁场均匀时，存储能量,服从,其中,为气隙的体积。根据虚位移原理，电磁力,f,等于场能 对气隙的偏导：,2.2,磁悬浮轴承的电磁力,2.2.3,受扰动时轴向轴承电磁力,图,2-4,转子与上下磁体之间的气隙,电磁吸力盘受到的电磁吸力分别为：,，,则电磁吸力盘受到向上的合力为：,如期望转子在静平衡状态时悬浮于轴承的几何中心，则应有：,2.2,磁悬浮轴承的电磁力,2.2.3,受扰动时轴向轴承电磁力,图,2-4,转子与上下磁体之间的气隙,上式表明，系统在静平衡时，平衡转子自重的电磁力是依靠反馈电流,来实现。,假定转子静态时处于轴承的几何中心，上、下磁极中的偏置电流分别为,和 。,当转子受到外力扰动，产生位移偏移量,y,和动态控制电流 。这一对磁极间产生的合力为：,相应的，,x,方向的电磁合力为：,2.2,磁悬浮轴承的电磁力,2.2.3,受扰动时轴向轴承电磁力,图,2-4,转子与上下磁体之间的气隙,考虑到转子正常工作范围保持在平衡点附近,，,将电磁力用,Taylor,级数在平衡点展开,：,又因为,，可得,2.2,磁悬浮轴承的电磁力,2.2.3,受扰动时轴向轴承电磁力,图,2-4,转子与上下磁体之间的气隙,同理，,将 式中的,y,换成,x,，,并且令式中,的反馈电流等于,0,，可得,其中：,2.3,磁悬浮轴承刚性转子的涡动,图,2-5,刚性磁悬浮轴承转子系统,根据欧拉动力学方程得到磁悬浮轴承刚性转子的运动微分方程,：,2.3,磁悬浮轴承刚性转子的涡动,将上式展开整理得,无量纲化为,2.4,磁悬浮轴承弹性转子系统的稳态涡动特性,2.4.1,磁悬浮轴承弹性转子系统模型,图,2-6,转子变形在,oxz,平面内的投影,图,2-7,转子变形在,oyz,二维平面上的投影,（,1,）圆盘与支承的位移,设在任意瞬时，形心,的坐标及截面转角分别为：,如果在,形心处转轴受集中力,P,或者力矩,M,作用而只有支承点发生位移，则,2.4,磁悬浮轴承弹性转子系统的稳态涡动特性,2.4.1,磁悬浮轴承弹性转子系统模型,图,2-6,转子变形在,oxz,平面内的投影,图,2-7,转子变形在,oyz,二维平面上的投影,整合以上两式，得：,2.4,磁悬浮轴承弹性转子系统的稳态涡动特性,2.4.1,磁悬浮轴承弹性转子系统模型,（,2,）不计支承弹性的弹性转轴的刚度矩阵,（,3,）圆盘与支承的动能,由动力学对称转动刚体的动能表达式，得圆盘的动能：,两端支承的动能：,2.4,磁悬浮轴承弹性转子系统的稳态涡动特性,2.4.1,磁悬浮轴承弹性转子系统模型,（,4,）圆盘与支承的势能,1,）,平面内的弹势能,2,）,平面内的弹性势能,（,5,）广义力,2.4,磁悬浮轴承弹性转子系统的稳态涡动特性,2.4.2,磁悬浮轴承单圆盘偏置转子系统的涡动微分方程,写成矩阵形式：,2.4,磁悬浮轴承弹性转子系统的稳态涡动特性,2.4.3,算例,求：,(1),画出弹性转子涡动频率与自转角速度的关系曲线图，,(2),分别讨论偏磁电流,和 对弹性转子系统临界转速的影响。,(3),转轴为刚性时，分析转子系统的涡动特性。,（,1,）弹性转子涡动频率与自转角速度的关系,解：,图,2-8,涡动频率与自转角速度的关系曲线图,分析临界角速度时，涡动微分方程是其次方程，方程右端为,0,，,当转子系统稳态时，对于刚度项，只需考虑：,2.4,磁悬浮轴承弹性转子系统的稳态涡动特性,2.4.3,算例,分别取不同的,利用,mathematics,软件可求解到对应,的解析解。如下表格,a.,同步正向涡动：,当,时，得转子系统的临界转速为 ，,b.,同步反向进动：,当,时，得转子系统的临界转速为 ，,。,2.4,磁悬浮轴承弹性转子系统的稳态涡动特性,2.4.3,算例,（,2,）,偏磁电流对转子系统临界角速度的影响,偏置电流对转子系统的临界角速度有较明显的影响。随着偏置电流的增大，弹性转子系统正向涡动的临界角速度整体出现上升趋势。且在低阶正向涡动的临界角速度呈现较大的近似线性增幅，而高阶临界转速增幅相对较小且呈现微弱的非线性。,图,2-9,偏置电流对临界角速度的影响曲线,2.4,磁悬浮轴承弹性转子系统的稳态涡动特性,2.4.3,算例,（,3,）轴承间隙对临界角速度的影响,轴承间隙对转子系统的临界角速度有较明显的影响。与偏置电流对临界角速度的影响相反，随着间隙的增大，弹性转子系统涡动的临界角速度整体出现下降趋势。但达到某一定值后，曲线趋于平稳，间隙对临界角速度的影响可以忽略。同时，低阶正向涡动的临界角速度呈现较大的下降趋势，而高阶临界角速度呈现微弱的降幅。,图,2-10,间隙对临界角速度的影响曲线,2.4,磁悬浮轴承弹性转子系统的稳态涡动特性,2.4.3,算例,（,4,）刚性转轴转子系统的涡动特性,当转轴为刚性时，转轴无弹性势能。,分别取不同的,利用,mathematics,软件可,求解到对应,的解析解。如下表格：,2.4,磁悬浮轴承弹性转子系统的稳态涡动特性,2.4.3,算例,（,4,）刚性转轴转子系统的涡动特性,图,2-11,涡动频率与自转角速度的关系曲线图,可求得刚性转子系统涡动临界角速度：,a.,同步正向涡动：,当,时，的转子系统的临界角速度为：,b.,同步反向进动：,当,时，得转子系统的临界角速度为：,刚性转子系统转轴为刚性，不存在固有振动频率，所以仅存在一个正向与反向涡动临界角速度，为磁悬浮轴承弹性支撑的固有振动。而弹性转子系统的转轴为弹性，故在其涡动临界角速度中包含了弹性转轴的固有振动频率。,第,3,章 多轴转子系统动力分析的整体传递矩阵法,3.1,整体传递矩阵法的基本原理；,3.2,转子系统的整体传递矩阵；,3.3,临界转速及振型的求解；,内容提要：,3.4,整体传递矩阵法计算临界转速及振型算例；,3.5,基于,Riccati,变换的整体传递矩阵法。,3.1,整体传递矩阵法的基本原理,3.1.1,计算模型及子结构划分,整体传递矩阵法可用于分析计算复杂的多转子、多支承系统的固有频率与临界转速以及其稳态不平衡响应。它的基本思路是把一个完整转子系统按自然条件或需要特别关注的关键部分人为地分割成若干个子结构。,子结构划分具体实例：,图,3-1,某发动机双转子模型简图,3.1,整体传递矩阵法的基本原理,3.1.1,计算模型及子结构划分,简化转子系统时，按下述原则确定：,(1),不考虑转子上的局部凸台；,(2),转子形面的母线为曲线时，在单元中简化为直线；,(3),在转子厚度发生变化处，两相邻单元中假定相同，取平均半径；,(4),转子系统为轴对称结构。,在推导分析整体传递矩阵方程过程中，暂且不考虑内、外机匣的影响，将该转子模型划分为两个子结构即高压转子和低压转子。,3.1,整体传递矩阵法的基本原理,3.1.2,整体传递矩阵法的基本思想,图,3-2,某四自由度弹簧振子系统简图,3.1,整体传递矩阵法的基本原理,3.1.2,整体传递矩阵法的基本思想,在段，有,记为：,在段，系统,和,通过弹簧 连接在一起，根据,D,Alembert,原理可以写出,3,截面和,2,截面的状态矢量之间的关系为,记为：,3.1,整体传递矩阵法的基本原理,3.1.2,整体传递矩阵法的基本思想,记为：,记为：,段与段类似，有,在段，可以得到,3.1,整体传递矩阵法的基本原理,3.1.2,整体传递矩阵法的基本思想,根据传递矩阵的思想，得到,根据截面,1,和截面,5,处的边界条件,可以得到这个四自由度系统的频率方程为,3.2,转子系统的整体传递矩阵,3.2.1,各向同性非耦合单元的整体传递矩阵,图,3-3,某双转子系统示意图,3.2,转子系统的整体传递矩阵,3.2.1,各向同性非耦合单元的整体传递矩阵,设,、,转子第 站的状态向量分别为,根据单转子系统的传递矩阵法，其各自的传递关系为,矩阵形式为,记为：,3.2,转子系统的整体传递矩阵,3.2.1,各向同性非耦合单元的整体传递矩阵,考虑剪切变形时,：,其中：,3.2,转子系统的整体传递矩阵,3.2.2,各向同性耦合单元传递矩阵,图,3-4,双转子耦合单元,3.2,转子系统的整体传递矩阵,3.2.2,各向同性耦合单元传递矩阵,转子的协调方程：,写成矩阵形式：,3.2,转子系统的整体传递矩阵,3.2.2,各向同性耦合单元传递矩阵,转子的协调方程,：,写成矩阵形式：,3.2,转子系统的整体传递矩阵,3.2.2,各向同性耦合单元传递矩阵,两矩阵合并,：,记为：,3.2,转子系统的整体传递矩阵,3.2.3,各向异性耦合单元传递矩阵,各向异性阻尼耦合单元的刚度和阻尼由,8,个参数决定：,状态向量为：,图,3-6,各向异性耦合单元示意图,3.2,转子系统的整体传递矩阵,3.2.3,各向异性耦合单元传递矩阵,根据耦合单元圆盘两侧几何关系有：,弯矩平衡方程：,剪力平衡方程如下：,对 ，方向：,3.2,转子系统的整体传递矩阵,3.2.3,各向异性耦合单元传递矩阵,对 ，方向：,对 ，方向：,对 ，方向：,由于有阻尼作用，设该系统的自由涡动频率为复频率,，则圆盘 ，的形心,位移可写为,，,3.2,转子系统的整体传递矩阵,3.2.3,各向异性耦合单元传递矩阵,，,故有,整理得,3.2,转子系统的整体传递矩阵,3.2.3,各向异性耦合单元传递矩阵,，,最终合并成矩阵形式,矩阵,为,中参数的系数矩阵，也就是该耦合单元的传递矩阵。令：,其中：,3.3,临界转速及振型的求解,3.3.1,求解多转子系统的临界转速,，,多转子系统的临界转速可分为三种情况,(,以双转子为例说明,),：,根据已知条件计算复杂转子系统的固有振动频率，在这种情况下，各个转子以自身的角速度旋转，计算得到的是复杂转子系统的涡动角速度；,已知两个转子的转速比，计算与内,(,外,),转子同步的临界转速，与计算转子系统的固有频率类似；,转速比未知，需要先计算绘制出双转子系统的临界转速图谱，然后根据试验或者现场测试得到双转子系统内外转子的工作转速变化关系曲线与计算所得临界转速图谱的交点就可以确定各阶临界转速。,通常要计算同步正进动即时的临界转速，在给定误差精度下，使用二分法或者弦割法求解频率方程就可得需要的各阶临界转速。,3.3,临界转速及振型的求解,3.3.2,求解转子的振型,，,整体传递矩阵法计算临界转速及振型的编程设计步骤,（,1,）输入和生成单元信息；,a,单元划分及编号；,b,读入单元基本数据信息；,包括：单元数；节点数；单元质量；极转动惯量；直径转动惯量；节 点坐标；单元弹性模量；泊松比；外径；内径；单元支承信息；耦合单元信息；虚设单元信息（其质量和长度为零）等。,c,自动生成节点编号；单元长度；单元截面积；单元剪切模量；,（,2,）计算剩余量；,（,3,）二分法求解临界转速；,（,4,）求解振动模态（主振型）。,3.3,临界转速及振型的求解,3.3.2,求解转子的振型,，,由于转子在制造和安装上的误差，难免产生偏心。稳态不平衡响应就是研究转子系统在其旋转结构本身存在的不平衡量所产生的激励力作用下的频率响应特性。求解转子系统的不平衡响应与临界转速的求法大致相同。主要区别在于：计算临界转速的基本方程是线性齐次方程组；而计算稳态不平衡响应的基本方程是线性非齐次方程，方程式右边存在着仅与不平衡量及自转角速度有关的项。对于给定的每一个转速值，由该非齐次方程组可以解出各个未知状态参数，由此可以计算出在该转速下系统各个节点的状态参数值，即在给定不平衡量及该转速下的稳态响应。,3.4,整体传递矩阵法计算临界转速及振型算例,，,例,3-1,：计算无阻尼轴对称双转子系统的固有频率与振型,图,3-7,具有两个中介支承的无阻尼双转子轴对称系统,图,3-7,为具有两个中介支点的无阻尼轴对称双转子系统的计算模型，转子系统的原始参数列于表,3-1,。,，,例,3-1,：计算无阻尼轴对称双转子系统的固有频率与振型,3.4,整体传递矩阵法计算临界转速及振型算例,，,3.4.1,单元划分,图,3-8,单元划分及虚设单元,3.4,整体传递矩阵法计算临界转速及振型算例,，,3.4.2,计算固有频率,整体传递矩阵法计算的固有频率结果如表,3-2,所示：,3.4,整体传递矩阵法计算临界转速及振型算例,，,3.4.3,转子的各阶振型,3.4,整体传递矩阵法计算临界转速及振型算例,一般多转子系统有 个子结构，可整体划分为 个单元。下面仍以图,3-1,所示的双转子发动机,为例，不考虑机匣的影响，推导基于,Riccati,变换的双转子系统的运动方程。假定的理想单元与前面相同，计算时考虑陀螺力矩和剪切变形的影响。,对于双转子计算模型，在整体传递过程中，从第 站到第 站的传递形式为：,3.5,基于,Riccati,变换的整体传递矩阵法,，,3.5.1,转子系统基于,Riccati,变换得传递矩阵,单根轴的第 个单元，其状态向量为：,3.5,基于,Riccati,变换的整体传递矩阵法,，,3.5.1,转子系统基于,Riccati,变换的传递矩阵,根据,Riccati,基本原理引入如下变换,:,将变换代入上式：,得到双转子系统基于,Riccati,变换的传递矩阵公式：,上式可展开为,:,3.5,基于,Riccati,变换的整体传递矩阵法,，,3.5.2,耦合矩阵的,Riccati,变换,如图,3-7,所示，转子,和转子,弹性连接。根据受力关系有如下矩阵关系：,上式可写为：,上式展开为：,3.5,基于,Riccati,变换的整体传递矩阵法,，,3.5.2,耦合矩阵的,Riccati,变换,又：,得：,求得后，就可继续向右传递。当遇到耦合点时，按照上式进行类似的变换，直到传递到整个转子系统的末端截面。根据末端截面条件，列出转子系统的频率方程。,(1),给定初值 ，形成单元传递矩阵 。,(2),令传递矩阵初值 ，迭代形成第,i,步传递矩阵：,同时记录 ，。,(3),传递到最后一个单元，利用 求出最后单元末端位移向量。,(4),由递推公式,从右往左递推，就可求任一截面上的复数位移向量。,(5),各个截面得到的向量求得模的大小和相位角，并存储起来。,(6),改变 的值并重复,1-5,步，将结果存储起来。,(7),将存储的结果画成三维图。,3.5,基于,Riccati,变换的整体传递矩阵法,，,3.5.3,基于,Riccati,变换的整体传递矩阵法计算不平衡响应,算法步骤为：,3.5,基于,Riccati,变换的整体传递矩阵法,，,3.5.3,基于,Riccati,变换的整体传递矩阵法计算不平衡响应,算例,3-2,：计算某航空发动机的不平衡响应,如算例,3-1,所示，在节点,4,和节点,10,上加上较小的偏心量，按照上述的算法可算得各个节点的频域响应图，如图,3-10,、图,3-11,所示。,图,3-10,内转子的不平衡响应图谱,图,3-11,外,转子的不平衡响应图谱,3.5,基于,Riccati,变换的整体传递矩阵法,，,3.5.3,基于,Riccati,变换的整体传递矩阵法计算不平衡响应,为了更清楚地看出某个节点随频率变化的响应，绘制了各个节点的频响幅值谱图，如图,3-12,图,3-23,所示。,图,3-12 1,节点的不平衡响应图谱,图,3-13 2,节点的不平衡响应图谱,图,3-14 3,节点的不平衡响应图谱,图,3-15 4,节点的不平衡响应图谱,3.5,基于,Riccati,变换的整体传递矩阵法,，,3.5.3,基于,Riccati,变换的整体传递矩阵法计算不平衡响应,图,3-16 5,节点的不平衡响应图谱,图,3-17 6,节点的不平衡响应图谱,图,3-18 7,节点的不平衡响应图谱,图,3-19 8,节点的不平衡响应图谱,3.5,基于,Riccati,变换的整体传递矩阵法,，,3.5.3,基于,Riccati,变换的整体传递矩阵法计算不平衡响应,图,3-20 9,节点的不平衡响应图谱,图,3-21 10,节点的不平衡响应图谱,图,3-22 11,节点的不平衡响应图谱,图,3-23 12,节点的不平衡响应图谱,第,4,章 转子系统动力优化设计方法,4.1,转子系统临界转速的灵敏度分析；,4.2,转子系统不平衡响应的灵敏度分析；,4.3,转子系统的动力学优化设计；,内容提要：,4.4,智能算法在转子系统优化设计中的应用。,第,4,章 转子系统动力优化设计方法,优化方法选择：,通过一定的数学方法，计算出转子的动态特性参数随转子结构设计变量的变化灵敏度，然后选择那些对动态特性影响较大，或者动态特性对它们的变化较为敏感的设计参数，作为修改参数，并依灵敏度值的大小与正负，对设计参数作修正。,主要研究对象：,转子,-,轴承耦合系统模型,4.1,转子系统临界转速的灵敏度分析,4.1.1,转子,-,轴承系统参数的灵敏度,设某转子,-,轴承系统有,L,个支承，,N,个圆盘,，转子系统圆盘中心的位移向量,Y,R,，轴承座中心的位移向量,Y,B,，则转子,-,轴承系统的特征方程为：,其中：,设转子系统某参数,p,j,有微小改变，那么,对,p,j,求偏导,4.1,转子系统临界转速的灵敏度分析,4.1.1,转子,-,轴承系统参数的灵敏度,经简化得,其中：,称为第,i,阶临界转速对参数,p,j,的灵敏度。,4.1.1.1,临界转速对抗弯刚度的灵敏度,考虑转子系统第,j,个轴段的抗弯刚度有微小变化,，设不计可能由此引起的第,j,个轴段两端圆盘质量的变化，则,：,4.1,转子系统临界转速的灵敏度分析,4.1.1.1,临界转速对抗弯刚度的灵敏度,简化得：,可见，第,i,阶临界转速对轴段长度的灵敏度与第,i,阶主振型中，第,j,个轴段左右两端线位移和角位移幅值以及第,j,个轴段长度,l,j,有关。,4.1,转子系统临界转速的灵敏度分析,4.1.1.2,临界转速对抗弯刚度的灵敏度,简化得：,可见，第,i,阶临界转速对轴段长度的灵敏度与第,i,阶主振型中，第,j,个轴段左右两端线位移和角位移幅值以及第,j,个轴段弯曲刚度和长度,l,j,有关。,4.1,转子系统临界转速的灵敏度分析,4.1.1.3,临界转速对圆盘转动惯量的灵敏度,简化得：,临界转速对圆盘质量的灵敏度为负值，说明当圆盘质量增加时，将导致各阶临界转速值下降，而且在该正则化振型中，如,较大，则该阶临界转速对 的变化是灵敏的，反之是不灵敏的。,4.1,转子系统临界转速的灵敏度分析,4.1.1.4,临界转速对轴承支座等效质量的灵敏度,简化得：,其中，,为第,j,个支承处转子结点的编号,；,为,j,个轴承座上转子结点的正则化振幅。,当轴承座的等效质量增加，将导致各阶临界转速值下降。,4.1,转子系统临界转速的灵敏度分析,4.1.1.5,临界转速对轴承支座等效静刚度的灵敏度,设 ；,当轴承座的等效,静刚度,增加，将导致各阶临界转速值,上升,。,即考虑转子系统第,j,个轴,承支座的等效静刚度有微小变化，则：,4.1,转子系统临界转速的灵敏度分析,4.1.1.6,临界转速对轴承油膜刚度的灵敏度,设 ；,当,油膜刚度,增加，将导致各阶临界转速值,上升,。,即考虑转子系统第,j,个轴,承支座的,油膜,刚度有微小变化，则：,4.1,转子系统临界转速的灵敏度分析,4.1.1.7,临界转速对轴承刚度的灵敏度,设 ；,当,支承刚度,增加，将导致各阶临界转速值,上升,。,即考虑转子系统第,j,个支承的,刚度,系数,有微小变化，则：,4.1,转子系统临界转速的灵敏度分析,4.1.2,某燃气轮机转子灵敏度分析,已知燃汽轮机转子的一级轮盘和一级动叶片总质量为（,289+60.42,）,kg,，二级轮盘和二级动叶片总质量为（,288+64.98,）,kg,，其简化为刚性薄圆盘后的直径如图,4-1,所示。燃汽轮机转子主轴材料采用合金钢,30Cr,2,MoV,，其材料的弹性模量,E,为,2.06,10,11,N/m,2,，密度,为,7.86,10,3,kg/m,3,，泊松比,为,0.3,。,燃汽轮机转子物理结构尺寸,4.1,转子系统临界转速的灵敏度分析,4.1.2.1,转子模态求解,由燃汽轮机转子的模型可知，其包含,9,个轴段，轴段划分如图,4-2,所示：,燃汽轮机转子的轴段划分,4.1,转子系统临界转速的灵敏度分析,燃汽轮机转子的各轴段直径和长度、各轴段划分成的盘轴单元数目和各盘轴单元长度，见表,4-1,。,轴段序号,轴段直径,(m),轴段长度,(m),盘轴单元数目,盘轴单元长度,(m),1,0.150,0.154,2,0.077,2,0.160,0.172,2,0.086,3,0.320,0.052,1,0.052,4,0.160,0.266,2,0.133,5,0.360,0.802,3,0.267,6,0.300,0.080,1,0.080,7,0.190,0.300,2,0.150,8,0.460,0.072,1,0.072,9,0.460,0.088,1,0.088,表,4-1,燃汽轮机转子的相关数据,4.1,转子系统临界转速的灵敏度分析,求得离散化后等效的各个刚性薄圆盘质量和转动惯量以及各个轴段的刚度，如图,4-3,：,等效后各盘的质量和转动惯量以及各轴段的刚度,4.1,转子系统临界转速的灵敏度分析,根据转子支承的简化原则，将燃汽轮机转子支承简化为两个弹性支承，它的刚度系数约为,2,10,7,1,10,10,N/m,。现分别取弹性支承为：,k,7,=,1,10,9,(N/m),和,k,13,=,1.5,10,9,(N/m),。阻尼很小，通常忽略不计。,经计算得到燃汽轮机转子的振型,如下所示,。,(a),第一阶振型曲线,(b),第二阶振型曲线,(c),第三阶振型曲线,(d),第四阶振型曲线,4.1,转子系统临界转速的灵敏度分析,根据转子支承的简化原则，将燃汽轮机转子支承简化为两个弹性支承，它的刚度系数约为,2,10,7
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