高等数学-第六章定积分的应用习题课(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六章 定积分应用习题课,1,一、定积分应用的类型,1,几何应用,平面图形的面积,特殊立体的体积,平面曲线弧长,旋转体的体积,平行截面面积为已知立体的体积,2,物理应用,变力作功,水压力,引力,2,二、构造微元的基本思想及解题步骤,1.,构造微元的基本思想,无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。,元素法的实质是局部上“以直代曲”、“以不变代变”、,“以均匀变化代不均匀变化”的方法，其“代替”的原则必须,是无穷小量之间的代替。将局部,上所对,应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成,定积分,3,2.,在求解定积分应用问题时，主要有四个步骤：,选取适当的坐标系；,三、典型例题,1.,几何应用,定积分的几何应用包括求平面图形的面积、特殊立体的,体积和平面曲线的弧长。解决这些问题的关键是确定面积元,素、体积元素和弧长元素。,在,上求出微元解析式,把所求的量表示成定积分,确定积分变量和变化范围 ；,4,【,例,1】,求由 所围成图形的面积。,分析：在直角坐标系下,由给定曲线所围成的几何图形,如图所示。如果取 为积分变量,则,设区间 所对应的曲边梯形面积为 则面积元,素,就是在,上以“以直代曲”所形成的矩形面积。,解,：,(,1),确定积分变量和积分区间：,的交点为 和,取 为积分变量,则,由于曲线,和,5,（,2,）求微元：任取,如果将图形上方直线的纵坐标记为,将图形下方抛物线的纵坐标记为,那么，就是区间 所对应的矩形的面积。因此,（,3,）求定积分：所求的几何图形的面积表示为,计算上面的积分得：,6,分析：在直角坐标系下，由给定曲线所围成的面积如图,【,例,2】*,求位于曲线 下方，该曲线过原点的切线,的左方以及 轴上方之间的图形的面积。,所示。如果取 为积分变量，则 设区间,所对应的曲边梯形,就是在 上,“,以直代曲,”,所形成的矩形面积。,面积为,则面积元素,7,考虑到当 和,时,上所对应曲边梯形不同，所以，相对应矩形面积的表达式也,不同，因此微元,应该分别去求,.,解：（,1,）确定积分变量和积分区间：设切点 的坐标为,则过原点且与 相切的切线方程为：,由 得 的坐标为,.,故得到切线方程为,.,所以选取 为积分变量,.,（,2,）求微元：任取,则当,时,那么面积元素,就是,区间 所对应的矩形的面积，,8,（,3,）求定积分：所求的几何图形的面积可表示为：,解上面的积分得：,即,当 时,那么面积元素,就是区间,所当对应的矩形的面积，,即,9,【,例,3】,求由摆线,的一拱,与 轴所围成图形的面积,.,分析：曲线的方程为参数方程，围成图形如图所示，,设区间 所对应的曲边梯形面积为,则面积元素 就是在 上“以直代曲”,所形成的矩形面积。,如果取,为积分变量,则,.,10,解,:(,1),确定积分变量和积分区间：选取,为积分变量，,(2),求微元：,那么面积元素 就是区间,所对应的,矩形的面积，即,.,(3),求定积分：所求的几何图形的面积可表示为：,11,【,例,4】,求曲线 围成的图形的面积,.,分析：在极坐标系下，由给定曲线所围成的面积如图所示。,所对应的曲边扇形的面积为,所求图形的面积,则面积元素 就是用区间,所对应的扇形面积代替曲边扇形的面积,面积,因为曲线关于 轴对称，所以只须考虑第一象限中的情况,.,取,为积分变量,则 设区间,12,解：,(1),确定积分变量和积分区间,:,取 为积分变量，,(2),求微元：任取,则面积,元素 就是区间,所对应的扇形面积,(3),求定积分：第一象限图形的面积表示为,则所求的几何面积为,13,【,例,5】,设由曲线,，,及 围成,平面图形,绕 轴,轴旋转而成的旋转体的体积。,分析：此题为求解旋转体体积的问题，绕,轴旋转时，,取 为积分变量,;,绕 轴旋转时,取 为积分变量。,设区间,对,或对,或 所对应的曲边梯形为,是以直代曲,所形成的矩形为 则绕,轴、轴旋转而成的旋,转体的体积微元 就是矩形 分别绕,轴、轴,旋转而成的体积,.,14,解,:(,一,),求 绕轴旋转而成的旋转体的体积,（,1,）确定积分变量和积分区间：绕,轴旋转如图,旋转体体积元素 是 对应的矩形绕 轴所得的,旋转体的体积，即,（,2,）求微元：对,取 为积分变量,则,15,（,3,）求定积分：绕 轴旋转而成的旋转体的体积表示为,计算积分得：,（,1,）确定积分变量和积分区间：绕 轴旋转如图,取 为积分变量,则,(,二,),求绕,轴旋转而成的旋转体的体积,16,（,2,）求微元：对,旋转体的体积元素,是 对应的矩形绕,轴所得的旋转体体积,即,（,3,）求定积分：绕 轴所得的旋转体的体积表示为,17,计算积分得,:,通过例,5,，同样可求出绕平行于 轴和平行于,轴的直线,旋转而成的旋转体的体积，见例,6,。,18,对 设区间,所对应的曲边梯形为,旋转而成的旋转体的体积。,【,例,6】,设由曲线,及 围成,平面图形 试求平面图形,绕直线 旋转而成的,旋转体的体积。,的旋转体的体积微元 就是矩形 分别绕直线,分析：此题为求解旋转体体积的问题，因为直线,以直代曲所形成的矩形为,则绕直线 旋转而成,平行于 轴,所以绕直线,旋转时,取 积分变量。,19,解,:(,1),确定积分变量和积分区间：,(2),求微元：对,轴所得的旋转体的体积，即,取,为积分变量,则,绕直线 旋转如图，,旋转体的体积元素 是 对应的矩形绕,20,计算积分得：,(3),求定积分：绕 轴旋转而成的旋转体的体积表示为,21,【,例,7】,计算底面是半径为,2,的圆，而垂直于底面上一条固定,直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积。,分析：此题为平行截面面积为已知的立体的体积。若选择,积分变量为,如果能求出平面,所截立体的截面面积 那么，,所对应的体积元素为,.,建立如图所示的坐标系，,解,:(,1),确定积分变量和积分区间：,则底圆方程为,取 为积分变量,所以,22,（,2,）求微元：因为过点 的截面为等边三角形（如图），,其边长为 高为,所以截面积为,因此,对 所对应的体积元素为,（,3,）求定积分：所求立体的体积为,23,【,例,8】,计算半立方抛物线了 被抛物线,截得的一段弧的长度。,分析：所给定的曲线弧如图所示。,对 把区间 上,所对应的曲线段长 用切线段长,代替，则得到弧长的微元,的解析式,.,取积分变量为 则,取 为积分变量,则,解,:(,1),确定积分变量和积分区间：计算两曲线的交点,的横坐标得,24,(2),求微元：,区间,所对应的曲线段长 用切线段长,来代替,得弧长元素,由于,从而,(3),求定积分：所求的曲线弧长可表示成定积分计算得,25,【,例,9】,求星形线 的全长,.,分析：曲线为参数方程，由于星形线关于,轴都对称,所以只须考虑第一象限中的情况。取参数,为积分变量，,对 把区间,上所对应的曲线,段长 用切线段长,代替,则得到曲线弧长的微元,的解析式。,解,:(,1),确定积分变量和积分区间,:,取参数 为积分变量,26,(2),求微元：把区间,上所对应的曲线弧长,用切线段长,代替,得弧长元微元,(3),求定积分：所求的曲线弧长可表示成定积分计算得,则所求曲线弧长为,27,注：若曲线用极坐标的形式表出，也可转化为直角坐标,来做，但积分时要注意积分上下限的确定。,以上例,1-9,给出了定积分在求几何图形面积，旋转体体积，截面面积为已知的立体的体积和曲线弧长方面的应用。下面的例,10,给出了定积分的综合应用。,【,例,10】*,设曲线 与 交于点,过坐标原点,和点 的直线与曲线 围成一平面图形，,问 为何值时,该图形绕 轴旋转一周所得到的旋转体的,体积最大？最大体积是多少？,28,分析：此题为定积分应用的最值问题，首先应先求出交点,的方程与曲线 围成一平面图形绕 轴旋转一周,所得到的旋转体的体积可看成直线 绕 轴旋转一周,所得旋转体的体积减去曲线,绕 轴旋转一周所得,旋转体的体积,见图,最后求驻点，即可得,.,解：求交点：,的坐标，确定 的范围,然后求出直线 的方程,直线,解得,29,直线 方程为,直线,与曲线 围成一平面图形绕,轴旋转一周,所得到的旋转体的体积为,30,令 得 为唯一驻点,.,所以，当 时旋转体的体积最大,2.,物理应用,定积分的物理应用包括作功、水压力和引力等问题。本节,仅给出作功、水压力和引力问题的例子。,重点强调应用元素法如何确定功元素、水压力元素和引力元素。,特别指出的是，在应用定积分解决物理应用方面的问题时，选,取合适的坐标系，有利于积分式的简化，从而实现计算简单。,31,【,例,11】,将半径为 的半球形水池内注满水,若将满池水,全部抽出，需作多少功？,分析：吸水作功是水的重力在作功问题，此问题可理解成,将水一层一层吸出的。取坐标原点在水平面，,轴铅直向下,如果设,所对应的薄层的体积为,那么在 上以直代曲，便得体积元素,从而得到重力作功的功元素,解,:(,1),确定积分变量和积分区间：,建立如图所示的坐标系,.,32,则半圆的方程为,取 为积分变量,则,(2),求微元,:,对 把区间,所对应的薄层的体积用圆柱体体积代替,得到,由于将这一薄层水吸出是这一薄层水的重力在作功，设水的,比重为 所以功的元素为,(3),求定积分：将满池水全部抽出所作的功为,33,【,例,12】,一底为,8,厘米，高为,6,厘米的等腰三角形片，铅直沉,入水中，顶在上，底在下，底与水平面平行，顶距水面,3,厘,米，求每面所受的压力。,分析：由于水压力等于受力面积乘以压强。如果取如图所,示的坐标系，,压力可理解水深 处的压强乘上受力面积,.,的矩形面积 代替,所以水压力元素为,对应的受力面积,可用相应,那么,在 窄条所受的水,34,解,:(,1),确定积分变量和积分区间：建立如图所示的,坐标系，则直线,的方程为 取 为积分,变量，则,(2),求微元：,且 窄条,上所受的压强为 窄条,的,面积 用对应矩形的面积 近似代替,得到,所以的水压力元素为,(3),求定积分：每面所受的压力为,35,【,例,13】*,有一半径为 得均匀半圆弧，质量为 求它对,位于圆心处的单位质量质点的引力。,分析：圆弧对质点的引力可采用元素法，将,对应的弧长看成一个质点，由物理学中两点的引力公式，得引力元素,解,:(,1),确定积分变量和积分区间：,建立如图的坐标系,.,(2),求微元：对 且,设线密度为,取 为积分变量，则,36,将 对应的弧长质量看成一个质点，则,对应的弧长质量为,所以它对单位质点的引力元素为,由对称性知 所以有,37,(3),求定积分：把对位于圆心处的单位质量质点的引力,表示成定积分计算得,故圆弧对质点的引力为 方向从圆心指向半圆弧的中点，即,轴方向,.,38,