高等数学不定积分的计算教学(课堂PPT).ppt

Nanjing College of Information and Technology,*,第四章 不定积分,第一节 不定积分的计算,第四章 不定积分,第一节 不定积分的概念,第二节 不定积分的计算,1,第一节 不定积分的概念,一,.,换元积分法,二,.,分部积分法,本节主要内容,:,(,一,),第一类换元积分法,(,二,),第二类换元积分法,2,一,.,换元积分法,(一)第一类换元积分法(凑微分法),引例,:,求导数验证结果,求导数验证结果,3,解决方法,利用复合函数的中间变量,进行换元,.,说明结果正确,4,将上例的解法一般化,:,设,则,如果,（可微）,将上述作法总结成定理,使之合法化,可得,换元法积分公式,5,定理,4.2.1,设,f,(,u,),具有原函数,F,(,u,),(,u,),是连续函数,那么,难,易,使用此公式关键在于将要求的积分,转化为,说明,凑,6,例,2,计算,解,:,原式,我们总结出凑微分法求不定积分的情况如下,:,.,被积函数是一个复合函数,与公式作对比,公式中自变量,x,变成了,ax,+,b,的形式,这时设,ax,+,b,为中间变量，,7,8,例,3,计算,1.,被积函数中含有两个多项式,其中一个多项式的次数比另一个多项式的次数高一次，设高一次的多项式为中间变量，目的是约去另一个因式,.,.,被积函数是两个函数乘积形式,(1),原式,9,例,3,计算,(2),原式,10,例,4,计算,2,被积函数中,其中一部分函数“正好”是另一部分函数的导数,.,例,5,计算,11,例,4,计算,原式,2,、被积函数中,其中一部分函数“正好”是另一部分函数的导数。,12,例,5,计算,原式,13,例,6,计算,14,例,6,计算,原式,15,第一类换元积分法（凑微分法）是一种非常有效的积分法。首先，必须熟悉基本积分公式，对积分公式应广义地理解，如对公式 ，应理解为,其中,u,可以是,x,的任一可微函数,;,其次，应熟悉微分运算，针对具体的积分要选准某个基本积分公式，凑微分使其变量一致,.,16,常用的凑微分形式有,:,17,例,7,计算,例,7,计算,18,例,7,计算,19,例,7,计算,20,例,7,计算,例,7,计算,21,例,7,计算,解法一,22,例,7,计算,解法二,23,例,7,计算,24,例,8,计算,有理分式积分,例,8,计算,注意：分母因式分解后拆项,练习,求,25,例,8,计算,练习,求,例,8,计算,注意：分母凑完全平方,练习,求,26,例,8,计算,注意：分子比分母少一次,例,8,计算,例,8,计算,例,8,计算,27,例,8,计算,注意：分式拆项是常用的技巧,(1),有理分式积分,28,例,8,计算,注意：分母因式分解后拆项,练习,求,原式,29,例,8,计算,练习,求,30,例,8,计算,注意：分母凑完全平方,练习,求,31,例,8,计算,练习,求,注意：分子比分母少一次,32,例,8,计算,33,例,8,计算,34,例,8,计算,35,(2),被积函数含有,e,x,例,9,36,例,9,37,例,9,38,例,10,被积函数含有三角函数,注意：偶次方用倍角公式降次,例,10,注意：拆开奇次项凑微分,39,例,10,注意：当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分,.,例,10,例,10,例,10,40,例,10,(3),被积函数含有三角函数,注意：偶次方用倍角公式降次,41,例,10,注意：拆开奇次项凑微分,42,例,10,注意：当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分,.,43,例,10,44,例,10,45,例,10,46,例,11,计算,例,12,47,例,11,计算,48,例,12,49,第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法,不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循，,只能具体问题具体分析,.,要掌握好这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的微分因子,.,50,练一练,51,练一练,52,(,二,),第二类换元积分法,定理,4.2.2,函数,x,(,t,),有连续的导数且,(,t,),0,，又,f,(,t,),(,t,),有原函数,F,(,t,),，则,其中,t,-1,(,x,),是,x,(,t,),的反函数,.,53,1.,根式代换,.,被积分函数中含有 （根号里是一次式）类型,-,根式代换法,，令,例,1,计算,例,2,计算,例,3,计算,例,4,计算,54,例,1,计算,令 则 于是,55,例,2,计算,令 则 于是,56,例,3,计算,令 则 于是,57,例,4,计算,令 则 于是,58,练一练,59,2.,三角代换,.,被积分函数中含有 类型,-,三角代换法,例,5,计算,例,6,计算,例,7,计算,60,例,5,计算,令 则,61,x,a,t,把变量,t,换为,x,.,为简便起见,画一个直角三角形，称它为辅助三角形，如图,.,62,例,6,计算,令 则,根据 作辅助三角形,如图,.,a,x,t,63,其中,C,=,C,1,-ln,a,.,64,例,7,计算,令 则,根据 作辅助三角形，如图,.,a,x,t,65,其中,C,=,C,1,ln,a,.,66,第二类换元积分法是基本积分方法之一,使用第二换元积分法的关键在于选择适当的变换,消除被积式中的根号,最常见的形式有,:,（,1,）被积函数中含有：设,（,2,）被积函数中含有：设,n,为,n,1,、,n,2,的最小公倍数,（,3,）被积函数中含有：设,（,4,）被积函数中含有：设,（,5,）被积函数中含有：设,在作三角替换时,可以利用直角三角形的边角关系确定有关三角函数的关系,以返回原积分变量,.,67,例,8,计算,解法一,三角代换法,令,x,=tan,t,，,于是得,则,d,x,=sec,2,t,d,t,，,68,根据,tan,t,=,x,，,作辅助三角形，,得,=ln|csc,t,cot,t,|+,C,1,x,t,69,解法二,根式代换法,于是有,70,练一练,71,二,.,分部积分法,设函数,u,=,u,(,x,),v,=,v,(,x,),具有连续导数,:,u,=,u,(,x,),v,=,v,(,x,),，根据乘积微分公式,于是有,即,d(,uv,)=,u,d,v,+,v,d,u,，,分部积分公式,72,难,易,说明：,1.,分部积分法适合求,两个不同类型函数乘积,的积分,.,2.,用法：,把被积函数,f,(,x,),分解为两部分因式相乘的形式,其中一部分因式看作,u,另一部分因式看作,v,而后套用公式,把求不定积分 的问题转化为求不定积分 的问题,.,3.,关键,:,u,v,选择要得当,73,例,1,计算,比 更难求,失败！,可见运用分部积分公式的关键是,恰当选择,u,，,v,.,74,当被积函数是两种不同类型函数的乘积时，我们可以按照“,反、对、幂、指、三,”（即反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数）的顺序，选择排列次序在前的函数作为,u,，,而将排在后的另一个函数选作,v,.,75,例,3,计算,当应用分部积分公式后得到的积分,还需用分部积分公式时，可以继续使用，,直到可以求出积分结果为止。,76,例,4,计算,例,5,计算,例,6,计算,例,7,计算,例,8,计算,例,9,计算,例,10,计算,例,11,计算,例,12,计算,77,例,4,计算,78,例,5,计算,练习,求,79,例,6,计算,80,例,7,计算,81,例,8,计算,移项,两边除以,2,并加积分常数,得,当两次应用分部积分法后又出现了原积分时,我们是用解方程的方法求出积分结果的,.,注意,82,例,9,计算,83,例,10,计算,令 则 于是,84,例,11,计算,求上式右端的不定积分,用第二换元法,.,85,则,d,x,=2,t,d,t,于是有,=2(,t,arctan,t,)+,C,代入,得,86,例,12,计算,令,ln,x,=,t,则,x,=,e,t,d,x,=,e,t,d,t,于是,87,练一练,88,内容小结,:,1.,换元积分法,2.,分部积分法,第一类换元法,第二类换元法,(,注意常见的换元积分类型,),(,代换,:),89,