动量与动量矩.doc

第三章 动量和动量矩

（一）动量定理
牛顿自己在叙述牛顿第二定律时，不用加速度来表示，而是用的动量．他将质点的质量 与质点的速度 的乘积定义为质点的动量，我们把它记作 ．按定义
（3．l）
动量K是矢量，以速度 的指向为其指向，动量的大小则等于质量 与速率 的乘积．
在古典力学的适用范围内，质点的质量 是常数，因而牛顿第二定律可表为
（3．2）
这是牛顿本人所采用的第二定律表达式，我们称它为质点动量定理的微分形式．质点受到其他物体的作用力，则动量发生变化，质点动量的时间变化率就等于其他物体施于该质点的力．
为了研究力的时间累积效果，即力施加于质点而经历一段时间间所产生的效果，将上述动量定理对时间积分一次．
(3. 3)
这里 与 指质点在t1时刻的速度与动量， 与 则是t2时刻的，I为冲量，定义为
（3．4）
式（3．3）即
（3．5）
这称为动量定理的积分形式．
冲量是矢量，对于不变的力 ， ．如果力随时间而变，在短时间中力的变化还是很微小的，因而极短时间内的冲量也可以认为就是力与作用时间的乘积．
积分形式的质点动量定理，特别适宜于研究冲击作用对质点运动的影响．因为冲击作用历时极为短暂，质点在这短暂的时间内是来不及显著移动的，即它的位置几乎没有改变．但质点的动量却由K1变为K2，速度 由变为 。而这种改变只取决于冲量I这个总的效果，无需深究力F随时间变化的细致情况．这样，冲击作用对质点运动的影响完全可以用它的冲量表明．
假如用 或微分形式的动量定理来研究冲击作用，就不得不考察力在短暂时间内的急剧变化情况，这无疑是很不方便的．
若质点受的力F为零，此时I也等于零，则
， （3. 6）
如果质点不受其他物体作用，则动量不随时间而变，此即动量守恒原理．
动量定理是矢量方程，应用时可写成分量式．这样，如果质点所受的力 ，但F的某个分量，例如 分量 守恒，虽然动量K本身并不守恒．
（二）质点组的动量定理
质点组由N个质点组成，组内成员之间的互相作用力叫内力，质点组以外的物体对质点组内的质点的作用力叫外力．对质点组来说，如果写出每一个质点的运动方程来求解那是很困难的．我们通过质点组的动量定理对它的运动总趋向加以研究。
1. 质组的质心
每个质点组都有一个质心，它的质量 是整个质点组质量之和，它的位置
坐标为

（3．7）
如果质点组不是很大，组内各质点所受的重力都可以认为是竖直向下且互相平行的，那么质点组的质心就与它的重心相重合。
2．质心运动定理
将各个质点的动量定理相加．因为内力都是成对出现的，大小相等方向相反，作用在质点组内不同的质点上，相加后即互相抵消，因此可得质心运动定理．
（3．8）
式中 表示第i个质点受到的外力， 是质心的加速度．质心运动定理说明了质点组质心的运动情况，也即是表明了这个质点组运动的总趋向．它也可以表为质点组的动量定理
（3．9）
式中K是质点组的总动量，
（3。10）
为各质点动量的矢量和．这是质点组动量定理的微分形式．将上式积分一次可得质点组动量定理的积分形式
（3．11）
质点组动量的改变，等于组内各质点在这段时间内所受外力冲量的矢量和．
3. 质点组的动量守恒原理
如果作用于质点组的外力矢量和为零，则
（3．12）
或
（3．13）
这就是质点组的动量守恒原理．至于质点组内各个质点的动量则不一定守恒，但它们的矢量和，即质点组的总动量则保持不变．
此时，质心运动定理为
（3．14）
即，质心动量守恒，我们从质心的定义可以看出质心的动量就是质点组的总动量．

三）动量矩定理
下面研究质点相对于某一根指定的直线的运动，这根直线称为“轴线”．这时着重的是力矩而不是力．
1．力对于轴线的力矩

图3－1
力F对轴线AB的力矩等于力F在垂直于轴线的平面S中的投影F⊥再乘以其与轴线AB的垂直距离d（一般称之为力臂）．如果力F本身就在与AB垂直的平面内，力矩就等于 F乘以F与AB的垂直距离d。力F对轴线AB的力矩记为 ，
⊥ （3．15）
通常按右手法则来规定力矩的指向，将右手的四指捏成拳状以表示力矩驱使物体转动的趋势，伸直的大拇指的指向即力矩的指向
2．对于轴线的动量矩和动量矩定理
（1）质点与轴连结．
如果质点与轴AB相连结，则质点必在垂直于AB的平面内作圆周运动．质点所受外力对AB轴的力矩为
（3．16）
是质点的动量，R是动量与轴AB间的垂直距离．仿照力矩，我们将 与R的乘积称为质点对于AB轴的动量矩（角动量） ，
即
（3. 17）
这就是动量矩定理．
（2）转动惯量．
将上式中的 以质点绕轴转动的角速度 表示
（3. 18）
称为质点对AB轴的转动惯量，记为IAB ，则

动量矩定理（3．17）即
（3．19）
式中 是质点绕轴转动的角加速度，这与牛顿第二定律 多么相似！从这类比中还可以看出， 与 相对应， 反映绕轴转动的惯性，所以称为转动惯量．
（3）质点并不与轴连结．

图3－2
所讨论的质点并不与轴AB连结，也不一定是绕轴转圈，只是相对于轴来研究质点的运动情况．为了方便，取AB为直角坐标系的Z轴．如质点的动量 在 平面内，它相对于z轴的动量矩为
（3．20）
若动量 不在 平面内，我们可以将它分解为与 平面垂直和与 平面平行的分量，其中与 平面垂直的动量分量对Z轴的动量矩为零．所以只要考虑在 平面内的动量分量．
动量矩的正负和力矩一样，也用右手法则决定，和Z轴正指向相同者取正值，反之为负值．
由牛顿第二定律可以导出一般情况下的动量矩定理
（3．21）
这是它的微分形式．
注意在一般情况下，此定理不宜表为 ，除非质点的转动惯量I是常数．一般说来，质点运动时，它与转轴的距离不是常数，所以I也不是常数．
我们还可以考察力矩的时间累积效果，将上式积分一次,得
（3．22）
式中 与 分别表示质点在时刻 及 的动量矩，力矩对时间的积分称为冲量矩．这就是对z轴动量矩定理的积分形式，适宜用来研究冲击作用．
3．动量矩守恒原理
如果质点所受的力对于Z轴的力矩为零，这时冲量矩自然也为零，由动量矩定理可得出

或 = （3．23）
上面两式的意义相同，它们指出如果质点所受的力对Z轴的力矩为零，则质点对该轴的动量矩守恒．
如果质点与轴线连结而绕轴转动，则动量矩守恒原理为
常数 （3．24）
式中R为质点与轴线间的垂直距离， 为质点绕轴转动的角速度，上式意味着质点绕轴转动的角速度不变．
如果质点并非固定连结于轴上，则动量矩守恒原理为
常数 （3．25）
例如在舞蹈或滑冰表演中，演员常绕自身的轴旋转．略去摩擦，他所受的重力对转轴的力矩为零，动量矩守恒．当演员将两手合抱于胸前，旋转就加快起来；演员将两臂伸展出去，旋转就减慢。
（四）质点组的动量矩定理
1．对于轴线的动量矩定理
质点组包含N个质点．考察各质点对于Z轴的动量矩，由各质点的动量矩定理得
（3. 26）
这里 为第 个质点对Z轴的动量矩， 为作用于 质点的外力对Z轴的力矩， 为质点k作用于质点i的内力对Z轴的力矩．将上式累加起来．注意内力 与 大小相等，指向相反，沿着同一条直线，它们在 平面中的投影必然也是大小相等，指向相反，沿着同一条直线，因而它们对Z轴的力矩之和为零．这样，在累加的结果中只出现外力的力矩，不出现内力的力矩．
（3．27）
将质点组各质点对Z轴的动量矩之和定义为质点组对Z轴的动量矩J
（3. 28）
这就是质点组对轴线的动量矩定理的微分形式。
将上式积分一次，就得到质点组对轴线的动量矩定理的积分形式。
（3. 29）
质点组对Z轴的动量矩的改变，等于组内各质点在这段时间内所受外力对Z轴的冲量矩之和．
2．质点组的动量矩与质心的动量矩
前文已指出，质点组的动量就等于质心的动量，那么质点组的动量矩是否也等于质心的动量矩呢？这却未必，通过下面的例子很容易说明这一点．
一物体绕通过其质心的Z轴转动，Z轴是固定不动的．质心既然不动，它对Z轴的动量矩必定为零．而物体的动量矩 却不等于零．可见物体的动量矩一般不等于质心的动量矩．
通过计算可以证明，质点组对某轴线的动量矩，等于质心对该轴线的动量矩 再加上质点组对于通过质心和该轴平行的轴的动量矩 之和，即
（3．30）
3．动量矩守恒
如果质点组所受的外力对Z轴的力矩之和等于零， 即

那么，质点组的动量矩守恒，即

或 = （3. 31）