大整数乘法问题.doc

2.4 大整数乘法问题
算法设计思想：
(1) 大整数的存储
我们知道，在编译系统中，整型数据类型的最大存储空间为8字节，也就是最大能存储232的数据。即使使用双精度浮点数据类型（double），也只能存储最大1.798×10308的数据。如果需要计算10200数量级的整数的乘法，利用的现有的数据类型就无法实现了。所以，为了实现大整数的乘法，需要自己定义一种数据类型，以及对应的基本运算。
在该算法中，为了调试和处理方便，我们采用静态整型数组来存放大整数，即用数组的每一个元素存放大整数一位上的数字。然后，分别定义用数组存放的大整数的加法、减法和移位运算。这样，我们就可以用定义的大整数进行后面分治乘法的运算。
(2) 分治思想
将位数是2的次幂的n位的十进制大整数X和Y各分为2段，每段的长为n/2位。则有，X=A×10n/2+B ，Y=C×10n/2+D。这样，乘积问题变为这样的分治问题：
XY=(A×10n/2+B)(C×10n/2+D)=AC×10n+(AD+CB)×10n/2+BD ①
如果按①式计算XY，我们可得时间复杂度T(n)=O(n2)（详细论证在课本上）。显然，用①式来计算X和Y的乘积并不比乘法竖式更有效。为了改进算法的计算复杂性，我们把XY写成另一种形式：
XY=AC×10n+[(A-B)(D-C)+AC+BD]×10n/2+BD         ②
用解递归方程的套用公式法可得②式的时间复杂度T(n)=O(nlog3)=O(n1.59)，该结果有效地减小了算法的时间复杂度。因此，根据②式，我们得到了大整数相乘的分治算法。
(3) 高位补0的位数处理方法
我们提出的分治思想在理论上是可行的，但是在算法具体实现中，程序的递归过程要求每次进行分治计算，即带入②式的大整数X和Y有如下要求：
1．X和Y的位数相同。
2．X和Y的位数是2的次幂。
按照这样的限制，我们只能计算n×n位（n=1,2,4,8,16...）的整数乘法。显然，这样的算法有很大的局限性，它不能处理像132×12758这样更为普遍的问题。
因此，我们在算法里采用这样的处理方法：当大整数需要进行分治乘法时，在两个乘数的高位补0，使它们的位数达到相同的2的次幂；分治结束后，将得到的乘积的高位多余的0去除，进行加减等非分治算法运算；以此类推。
采用这种高位补0的位数处理方法，实现了任意位大整数的乘法。
除了上述三点之外，程序对鲁棒性做了增强，对非法输入和文件错误进行了检测。
程序设计代码：
/*头文件 大数乘法问题.h*/
#ifndef KNAP_H
#define KNAP_H
#include <iostream>
#include <fstream>
#include <string>
using namespace std;
/*定义数制，范围2到10*/
#define SCALE 10
/*整数的最大位数*/
const int Max = 1000;
/*表示整数的结构体*/
struct Integer
{
bool positive; //整数的正负
short num[Max]; //整数的各位数字，下标从0开始
int length; //整数的位数
};
/*两个整数的乘法类*/
class Multiply
{
public:
Multiply(char *in, char *out); //构造函数
~Multiply(); //析构函数
void OutputProduct(); //输出大整数的乘积
protected:
short CharToInt(char ch); //将数字字符转化成整型
int AddDigit(Integer &X, Integer &Y); //将位数补充到相同2的次幂位
void InitialInteger(Integer &integer, ifstream &in); //文件初始化大整数
void OutputInteger(Integer integer); //输出大整数integer
void ClearZero(Integer &integer); //去除大整数高位多余的0
bool PositiveXGreaterThanY(Integer X, Integer Y); //判断是否非负X大于非负Y
bool EqualsToZero(Integer integer); //判断是否等于0
Integer Zero(); //返回大整数0
Integer GetAbsolute(Integer integer); //返回大整数integer的绝对值
Integer GetNegative(Integer integer); //返回大整数integer的负值
Integer GetLeft(Integer integer); //取大整数integer左一半
Integer GetRight(Integer integer); //取大整数integer右一半
Integer LeftShifting(Integer integer, int digit); //大整数向左移digit位，低位补0
Integer Plus(Integer X, Integer Y); //大整数加法
Integer Subtract(Integer X, Integer Y); //大整数减法
Integer SameSignPlus(Integer X, Integer Y); //同号大整数加法
Integer SameSignSubtract(Integer X, Integer Y); //同号大整数减法
Integer OneDigitMultiply(Integer X, Integer Y); //非负1位大整数乘法
Integer FreeMultiply(Integer X, Integer Y); //任意大整数乘法
Integer NDigitsMultiply(Integer X, Integer Y, int n); //2的n次幂乘法，高位补0
private:
Integer integer_X, integer_Y; //数组存储的大整数
ofstream fout; //输出结果文件
};
#endif
/*函数实现文件 大数乘法问题.cpp*/
#include "大数乘法问题.h"
Multiply::Multiply(char *in, char *out) : fout(out)
{
try //非法输入检测
{
ifstream fin(in);
if( !fin )
throw "输入文件无法打开！\n";
InitialInteger(integer_X, fin); //文件初始化大整数integer_X
fin.ignore(100, '\n'); //冲掉回车
InitialInteger(integer_Y, fin); //文件初始化大整数integer_Y
fin.close(); //关闭文件
if( !fout )
throw "输出文件无法打开！\n";
}
catch(char *string)
{
cout << string;
system("pause");
exit(0);
}
}
Multiply::~Multiply()
{
if(fout)
fout.close();
}
void Multiply::OutputProduct()
{
Integer temp = FreeMultiply(integer_X, integer_Y);
ClearZero(temp);
OutputInteger(temp);
}
short Multiply::CharToInt(char ch)
{
short temp;
switch(ch)
{
case '0' : temp = 0; break;
case '1' : temp = 1; break;
case '2' : temp = 2; break;
case '3' : temp = 3; break;
case '4' : temp = 4; break;
case '5' : temp = 5; break;
case '6' : temp = 6; break;
case '7' : temp = 7; break;
case '8' : temp = 8; break;
case '9' : temp = 9; break;
default : temp = -1; break;
}
if(temp == -1)
throw "Error : 输入存在非数字字符！\n";
if(temp >= SCALE)
throw "Error : 输入不符合数制！\n";
return temp;
}
int Multiply::AddDigit(Integer &X, Integer &Y)
{
int digit = 0;
if(X.length > Y.length)
digit = X.length;
else
digit = Y.length; //取二者最大位数
int i;
for(i = 0; pow(2.0, i) < digit; i++);
digit = (int)pow(2.0, i); //取满足二者的最小2的次幂
for(i = digit-1; i >= X.length; i--)
X.num[i] = 0;
for(i = digit-1; i >= Y.length; i--)
Y.num[i] = 0; //高位补0，使位数达到2的次幂
X.length = Y.length = digit; //改变二者的位数
return digit; //返回2的次幂
}
void Multiply::InitialInteger(Integer &integer, ifstream &in)
{
if(in.peek() == '-')
{
in.get();
integer.positive = false;
}
else
integer.positive = true;
int i;
char temp[Max];
for(i = 0; in.peek() != '\n' && !in.eof(); i++) //读到回车处或文件结束
in >> temp[i];
integer.length = i;
for(i = 0; i < integer.length; i++)
integer.num[i] = CharToInt(temp[integer.length - i - 1]);//将每一位字符转化为整型
}
void Multiply::OutputInteger(Integer integer)
{
if(integer.length == 0) //结果为0
fout << integer.num[0];
else
{
if(integer.positive == false) //结果为负数
fout << '-';
for(int i = integer.length - 1; i > -1; i--)
fout << integer.num[i];
}
}
void Multiply::ClearZero(Integer &integer)
{
for(int i = integer.length-1; integer.num[i] == 0 && i >= 0; i--)
integer.length--;
}
bool Multiply::PositiveXGreaterThanY(Integer X, Integer Y)
{
if(X.length > Y.length) //X位数大于Y
return true;
else if(X.length < Y.length) //X位数小于Y
return false;
else
for(int i = X.length-1; i >= 0; i--) //从高位逐位比较
if(X.num[i] > Y.num[i]) //某一位X大于Y
return true;
else if(X.num[i] < Y.num[i]) //某一位X小于Y
return false;
return true; //X=Y返回true
}
bool Multiply::EqualsToZero(Integer integer)
{
for(int i = integer.length-1; i >= 0; i--)
if(integer.num[i] != 0)
return false;
return true;
}
Integer Multiply::Zero()
{
Integer temp;
temp.length = 0; //0的位数定义为0
temp.positive = true;
temp.num[0] = 0; //0的第一位默认为0
return temp;
}
Integer Multiply::GetAbsolute(Integer integer)
{
if(integer.positive == false)
integer.positive = true;
return integer;
}
Integer Multiply::GetNegative(Integer integer)
{
if(integer.positive == true)
integer.positive = false;
else
integer.positive = true;
return integer;
}
Integer Multiply::GetLeft(Integer integer)
{
Integer temp;
temp.length = integer.length / 2; //位数为一半
temp.positive = true; //默认是正数
for(int i = 0; i < temp.length; i++) //取原整数左一半
temp.num[i] = integer.num[i+temp.length];
ClearZero(temp); //去除高位多余的0
return temp;
}
Integer Multiply::GetRight(Integer integer)
{
Integer temp;
temp.length = integer.length / 2; //位数为一半
temp.positive = true; //默认是正数
for(int i = 0; i < temp.length; i++) //取原整数右一半
temp.num[i] = integer.num[i];
ClearZero(temp); //去除高位多余的0
return temp;
}
Integer Multiply::LeftShifting(Integer integer, int digit)
{
if(!EqualsToZero(integer))
{
for(int i = integer.length + digit - 1; i >= digit - 1; i--)
integer.num[i] = integer.num[i-digit]; //原有位向高位移digit位
for(int i = digit - 1; i >= 0; i--)
integer.num[i] = 0; //低位补0
integer.length = integer.length + digit; //位数加digit
}
return integer;
}
Integer Multiply::Plus(Integer X, Integer Y)
{
if(X.positive == Y.positive) //同号
return SameSignPlus(X, Y);
else //异号
if(X.positive) //X正Y负
{
Y = GetNegative(Y); //Y取负得正
return SameSignSubtract(X, Y);
}
else //Y正X负
{
X = GetNegative(X); //X取负得正
return SameSignSubtract(Y, X);
}
}
Integer Multiply::Subtract(Integer X, Integer Y)
{
if(X.positive == Y.positive) //同号
return SameSignSubtract(X, Y);
else
{
Y = GetNegative(Y); //Y取负得正
return SameSignPlus(X, Y);
}
}
Integer Multiply::SameSignPlus(Integer X, Integer Y)
{
int i;
int carry_flag = 0; //进位
for(i = 0; i < X.length && i < Y.length; i++)
{
if(X.num[i] + Y.num[i] + carry_flag > SCALE-1) //当为加法需要进位
{
X.num[i] = (X.num[i] + Y.num[i] + carry_flag) % SCALE;
carry_flag = 1;
}
else
{
X.num[i] = X.num[i] + Y.num[i] + carry_flag;
carry_flag = 0;
}
}
if(i < X.length) //被加数位数大于加数
{
while(i < X.length)
{
if(X.num[i] + carry_flag > SCALE-1) //需要进位
{
X.num[i++] = (X.num[i] + carry_flag) % SCALE;
carry_flag = 1;
}
else
{
X.num[i++] = X.num[i] + carry_flag;
carry_flag = 0;
}
}
}
else if(i < Y.length) //加数位数大于被加数
{
while(i < Y.length)
{
if(Y.num[i] + carry_flag > SCALE-1) //需要进位
{
X.num[i++] = (Y.num[i] + carry_flag) % SCALE;
carry_flag = 1;
}
else
{
X.num[i++] = Y.num[i] + carry_flag;
carry_flag = 0;
}
}
}
if(carry_flag == 1) //最高位存在进位
{
X.num[i] = 1;
X.length = i+1;
}
else
{
X.length = i;
}
return X;
}
Integer Multiply::SameSignSubtract(Integer X, Integer Y)
{
if(PositiveXGreaterThanY(X, Y)) //如果绝对值X>=Y
{
int i;
int carry_flag = 0; //借位
bool first_0 = true; //高位第一次出现0
int top_digit_0 = 0; //记录结果最高位+1的下标
int top_digit = 0; //记录结果最高位下标
for(i = 0; i < Y.length; i++)
{
if(X.num[i] - carry_flag < Y.num[i]) //需要向高位借位
{
X.num[i] = (X.num[i] - carry_flag + SCALE - Y.num[i]);
carry_flag = 1;
}
else
{
X.num[i] = X.num[i] - carry_flag - Y.num[i];
carry_flag = 0;
}
if(X.num[i] == 0) //高位出现0
{
if(first_0) //且是第一次出现0
{
first_0 = false; //再出现0则不是第一次出现0
top_digit_0 = i; //记录结果最高位+1的下标
}
}
else
{
first_0 = true;
top_digit = i;
}
}
if(carry_flag == 1) //最高位存在借位
{
X.num[i] = X.num[i] - carry_flag;
if(X.num[i] == 0 && first_0)
top_digit_0 = i;
}
if(top_digit < X.length - 1) //如果被减数更高位还有数字
top_digit = X.length;
if(top_digit_0 && top_digit_0 > top_digit) //top_digit_0==0表示没有改变
X.length = top_digit_0; //调整结果的位数
return X;
}
else //如果X<Y
{
X = SameSignSubtract(Y, X); //先用Y-X
X = GetNegative(X); //再去负值
return X;
}
}
Integer Multiply::OneDigitMultiply(Integer X, Integer Y)
{
Integer temp;
temp.positive = true;
int product; //乘积
product = X.num[0] * Y.num[0];
int i;
for(i = 0; product != 0; i++) //存储到数组中
{
temp.num[i] = product % SCALE;
product /= SCALE;
}
temp.length = i;
return temp;
}
Integer Multiply::FreeMultiply(Integer X, Integer Y)
{
bool sign; //乘积符号
if(X.positive == Y.positive) //同号
sign = true; //乘积是正数
else //同号
sign = false; //乘积是负数
X = GetAbsolute(X);
Y = GetAbsolute(Y); //取两数绝对值
if(EqualsToZero(X) || EqualsToZero(Y)) //如果有0，乘积为0
return Zero();
Integer temp;
if(X.length == 1 && Y.length == 1) //只剩1位乘法
temp = OneDigitMultiply(X, Y); //返回1位乘积
else
{
int n = AddDigit(X, Y); //X和Y位数补充到2的次幂位
temp = NDigitsMultiply(X, Y, n); //分治法得到乘积
}
temp.positive = sign; //赋符号
return temp; //返回递归结果
}
Integer Multiply::NDigitsMultiply(Integer X, Integer Y, int n)
{
Integer A = GetLeft(X); //返回X的左一半
Integer B = GetRight(X); //返回X的右一半
Integer C = GetLeft(Y); //返回Y的左一半
Integer D = GetRight(Y); //返回Y的右一半
Integer AxC = FreeMultiply(A, C); //返回A*C
Integer BxD = FreeMultiply(B, D); //返回B*D
Integer A_B = Subtract(A, B); //返回A-B
Integer D_C = Subtract(D, C); //返回D-C
Integer A_BxD_C = FreeMultiply(A_B, D_C); //返回(A-B)*(D-C)
Integer AxDtBxC = Plus(A_BxD_C, Plus(AxC, BxD)); //返回A*D+B*C
Integer AxC_2n = LeftShifting(AxC, n); //返回A*C左移n位结果
Integer AxDtBxC_2n2 = LeftShifting(AxDtBxC, n/2); //返回A*D+B*C左移n/2位结果
return Plus(Plus(AxC_2n, AxDtBxC_2n2), BxD); //函数返回一次乘法结果
}
/*主函数文件 test.cpp*/
#include "大数乘法问题.h"
int main()
{
char *in = "input.txt"; //输入文件
char *out = "output.txt"; //输出文件
Multiply multiply(in, out); //文件初始化SCALE进制大整数
multiply.OutputProduct(); //计算并输出大整数的乘积
return 0;
}