两个随机变量的函数的分布(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第五节 两个随机变量的函数的分布,Z=X+Y,的分布,Z=YX,及,Z=XY,的分布,M=,max(,X,Y,),及,N=,min(,X,Y,),的分布,课堂练习,在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论,:,当随机变量,X,Y,的联合分布已知时，如何求出它们的函数,Z,=,g,(,X,Y,),的分布,?,例,1,若,X,、,Y,独立，,P,(,X,=,k,)=,a,k,k,=0,1,2,P,(,Y,=,k,)=,b,k,k,=0,1,2,求,Z,=,X,+,Y,的概率函数.,解,=,a,0,b,r,+,a,1,b,r,-1,+,a,r,b,0,由独立性,r,=0,1,2,一、的分布,解 依题意,例,2,若,X,和,Y,相互独立,它们分别服从参数为,的泊松分布,证明,Z,=,X,+,Y,服从参数为,于是,i,=0,1,2,j,=0,1,2,的泊松分布,.,r,=0,1,即,Z,服从参数为 的泊松分布,.,例,3,设,X,和,Y,的联合密度为,f,(,x,y,),求,Z,=,X,+,Y,的概率密度,.,这里积分区域,D,=(,x,y,):,x+y,z,解,Z,=,X,+,Y,的分布函数是,:,它是直线,x+y,=,z,及其左下方的半平面,.,化成累次积分,得,固定,z,和,y,对方括号内的积分作变量代换,令,x=u-y,得,变量代换,交换积分次序,由概率,密度与分布函数的关系,即得,Z,=,X,+,Y,的概率密度为,:,由,X,和,Y,的对称性,f,Z,(,z,),又可写成,以上两式即是,两个随机变量和的概率密度的一般公式,.,特别地,，当,X,和,Y,独立，设,(,X,Y,),关于,X,Y,的边缘密度分别为,f,X,(,x,),f,Y,(,y,),则上述两式化为,:,下面我们用,卷积公式来求,Z,=,X,+,Y,的概率密度,.,卷积公式,为确定积分限,先找出使被积函数不为,0,的区域,例,4,若,X,和,Y,独立,具有共同的概率密度,求,Z,=,X,+,Y,的概率密度,.,解 由卷积公式,也即,暂时固定,故,当 或 时,当,时,当,时,于是,例,5,若,X,和,Y,是两个相互,独立,的随机变量,具有相同的分布,N,(0,1),求,Z=X+Y,的概率密度,.,解 由卷积公式,令,得,可见,Z=X+Y,服从正态分布,N,(0,2).,用类似的方法可以证明,:,若,X,和,Y,独立,结论又如何呢,?,此结论,可以推广到,n,个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论.,若,X,和,Y,独立,具有相同的分布,N,(0,1),则,Z=X+Y,服从正态分布,N,(0,2).,有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.,即,更一般地,可以证明:,若 相互独立，则,二、,Z=YX,Z=XY,的分布,设,(X,Y),的概率密度为,f,(,x,y,),，则,Z=YX,的密,度函数为,当,X,Y,独立时,解,例,6,三、,M=,max(,X,Y),及,N=,min,(X,Y),的分布,设,X,，,Y,是两个相互独立的随机变量，它们的分,布函数分别为,F,X,(,x,),和,F,Y,(,y,),我们来求,M=,max(,X,Y,),及,N,=min(,X,Y,),的分布函数,.,F,M,(,z,)=,P,(,M,z,),=,P,(,X,z,Y,z,),由于,X,和,Y,相互独立,于是得到,M=,max(,X,Y,),的分布函数为,:,=,P,(,X,z,),P,(,Y,z,),F,M,(,z,),1.M,=,max(,X,Y,),的分布函数,即有,F,M,(,z,)=,F,X,(,z,),F,Y,(,z,),即有,F,N,(z)=1-1-,F,X,(,z,)1-,F,Y,(,z,),=1,-,P,(,X,z,Y,z,),F,N,(,z,)=,P,(,N,z,),=1,-,P,(,N,z,),2.,N=,min(,X,Y,),的分布函数,由于,X,和,Y,相互独立,于是得到,N=,min(,X,Y,),的分布函数为,:,=1,-,P,(,X,z,),P,(,Y,z,),F,N,(,z,),设,X,1,X,n,是,n,个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为,我们来求,M=,max(,X,1,X,n,),和,N=,min(,X,1,X,n,),的分布函数,.,(,i,=1,n,),用与二维时完全类似的方法，可得,N=,min(,X,1,X,n,),的分布函数是,M=,max(,X,1,X,n,),的分布函数为,:,特别地，当,X,1,X,n,相互独立且具有相同分布函数,F,(,x,),时，有,例,7,设系统,L,由两个相互独立的子系统 连接而成,连接的方式分别为,(i),串联,(ii),并联,(iii),备用,(,当系统 损坏时,系统 开始工作,),如下图所示,.,设 的寿命分别为 已知它们的概率密度分别为,其中 且 试分别就以上三种连接方式写出 的寿命 的概率密度,.,X,Y,X,Y,X,Y,X,Y,解,(i),串联的情况,由于当系统 中有一个损坏时,系统,L,就停止工作,所以此时,L,的寿命为,因为,X,的概率密度为,所以,X,的分布函数为,当,x,0,时,当,x,0,时,故,类似地,可求得,Y,的分布函数为,于是 的分布函数为,=1-1-,F,X,(,z,)1-,F,Y,(,z,),的概率密度为,X,Y,(ii),并联的情况,由于当且仅当系统 都损坏时,系统,L,才停止工作,所以此时,L,的寿命为,故 的分布函数为,X,Y,于是 的概率密度为,(iii),备用的情况,因此整个系统,L,的寿命为,由于当系统 损坏时,系统 才开始工作,当,z,0,时,当,z,0,时,当且仅当,即 时,上述积分的被积函数不等于零,.,故,于是 的概率密度为,例,8,设相互独立的两个随机变量,X,Y,具有同一,分布律,且,X,的分布律为,于是,解,需要指出的是，当,X,1,X,n,相互独立且具有相同分布函数,F,(,x,)时,常称,M=,max(,X,1,X,n,),，,N=,min(,X,1,X,n,),为极值,.,由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值,.,三、课堂练习,设 是相互独立的随机变量,它们都服从正,态分布,.,试验证随机变量,具有概率密度,1,设随机变量,且满足,PX,1,X,2,=0=1,，求,（,1,）,(X,1,X,2,),的联合概率分布；,（,2,）,PX,1,X,2,；,（,3,）,PX,1,=X,2,。,2.,设随机变量,X,与,Y,独立，其中,X,的概率分布为,而,Y,的概率密度为,f(y),，求随机变量,U=X+Y,的概率密度,g(u).,3.,设二维随机变量,(X,Y),的概率分布为,0 1,0 0.4,a,1,b,0.1,已知随机事件 与 相互独立，,则有（,B,）,(A)a=0.2,b=0.3 (B)a=0.4,b=0.1,(C)a=0.3,b=0.2 (D)a=0.1,b=0.4,4.,设随机变量,X,与,Y,独立分布,且,X,的概率分布为,记,求,(,U,V,),的概率分布,;,解 易知,U,V,的可能取值均为,:1,2.,且,5.,设,X,1,X,2,独立同分布，且,X,1,的分布律为,X,1,1 2 3 4,P 0.1 0.2 0.3 0.4,Y=maxX,1,X,2,，求,（,1,）,Y,的概率分布：,（,2,）,(Y,X,1,),的联合概率分布。,为确定积分限,先找出使被积函数不为,0,的区域,6.,若,X,和,Y,独立,具有共同的概率密度,求,Z,=,X,+,Y,的概率密度,.,解 由卷积公式,也即,暂时固定,故,当 或 时,当,时,当,时,于是,